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    QR分解_矩阵谱分解例题

    例如,最小二乘法所产生的病态矩阵问题主要是由于矩阵求逆所造成的,我们使用QR分解方法来解决。...QR分解 矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和,大体可以分为满秩分解、QR分解和奇异值分解。矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位,常用来解决各种复杂的问题。...而QR分解是工程应用中最为广泛的一类矩阵分解。 QR分解也称为正交三角分解,矩阵QR分解是一种特殊的三角分解,在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要作用。...QR分解定理:任意一个满秩矩阵A,都可以唯一的分解为A=QR,其中Q为正交矩阵,R为正对角元上的三角矩阵。...推广到多维投影矩阵使用如下公式表示: Gram-Schmidt正交化和A的QR分解: 假设有三个不相关的向量a,b,c,如果能够构造出正交的三个向量A,B,C,那么再除以它们的长度就得到了标准正交向量

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    Cholesky分解

    Cholesky分解是一种分解矩阵的方法, 在线性代数中有重要的应用。Cholesky分解把矩阵分解为一个下三角矩阵以及它的共轭转置矩阵的乘积(那实数界来类比的话,此分解就好像求平方根)。...与一般的矩阵分解求解方程的方法比较,Cholesky分解效率很高。Cholesky是生于19世纪末的法国数学家,曾就读于巴黎综合理工学院。Cholesky分解是他在学术界最重要的贡献。...一、Cholesky分解的条件1、Hermitianmatrix:矩阵中的元素共轭对称(复数域的定义,类比于实数对称矩阵)。...正定矩阵A意味着,对于任何向量x,(x^T)Ax总是大于零(复数域是(x*)Ax>0)二、Cholesky分解的形式可记作A = L L*。其中L是下三角矩阵。L*是L的共轭转置矩阵。...反过来也对,即存在L把A分解的话,A满足以上两个条件。如果A是半正定的(semi-definite),也可以分解,不过这时候L就不唯一了。特别的,如果A是实数对称矩阵,那么L的元素肯定也是实数。

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    矩阵分解 -2- 特征值分解

    线性代数中,特征分解(Eigendecomposition),又称谱分解(Spectral decomposition)是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。...定义 线性代数中,特征分解(Eigendecomposition),又称谱分解(Spectral decomposition)是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。...特征值分解 令 A 是一个 N×N 的方阵,且有 N 个线性独立的特征向量 {\displaystyle q_{i},,(i=1,\dots ,N)} 。...这里需要注意只有可对角化矩阵才可以作特征分解。...通过特征分解求反(逆)矩阵 若矩阵 A 可被特征分解并特征值中不含零,则矩阵 A 为非奇异矩阵,且其逆矩阵可以由下式给出: {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf

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    Math-Model(五)正交分解(QR分解)

    正交分解 矩阵的正交分解又称为QR分解,是将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵的乘积的形式。 任意实数方阵A,都能被分解为 。这里的Q为正交单位阵,即 R是一个上三角矩阵。...这种分解被称为QR分解。 QR分解也有若干种算法,常见的包括Gram–Schmidt、Householder和Givens算法。 QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。...用一张图可以形象地表示QR分解: ? 为啥我们需要正交分解呢? 实际运用过程中,QR分解经常被用来解线性最小二乘问题,这个问题我们后面讲述。...Schmidt正交化 定理1 设A是n阶实非奇异矩阵,则存在正交矩阵Q和实非奇异上三角矩阵R使A有QR分解;且除去相差一个对角元素的绝对值(模)全等于1的对角矩阵因子外,分解是唯一的.....用Schmidt正交化分解方法对矩阵进行QR分解时,所论矩阵必须是列满秩矩阵。

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    矩阵分解模型

    矩阵分解模型做如下假设: 1.每个用户可描述为n个属性或特征。比如,第一个特征可以对应某个用户对动作片的喜好程度。 2.每个物品可描述为n个属性或特征。...1.显式矩阵分解 当要处理的数据是由用户所提供的自身的偏好数据时,这些数据被称作显式偏好数据。这类数据包括如物品评级、赞、喜欢等用户对物品的评价。 这些数据大都可以转换用户为行、物品为列的二维矩阵。...对这个矩阵分解,找到他的两个低阶矩阵。假设我们的用户和物品数目分别是U和I,那对应的“用户-物品”矩阵的维度为U*I。那对应的两个低阶矩阵分别是用户的U*k矩阵,和物品的I*k矩阵。...因子分解类模型的的利弊: 利:求解容易,表现出色 弊:不好解释,吃资源(因子向量多,训练阶段计算量大) 2.隐式矩阵分解 隐式矩阵就是针对隐式反馈数据。...从根本上说,矩阵分解从评级情况,将用户和物品表示为因子向量。若用户和物品因子之间高度重合,则可表示这是一个好推荐。

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    分解质因数

    分解质因数是将一个正整数分解为若干个质数的乘积的过程。每个质数都是一个素数,即只能被1和自身整除的数。 分解质因数的一般方法是通过试除法(Trial Division)来进行。...该方法的基本思想是从最小的质数开始,逐个尝试将待分解的整数进行整除。如果整数能够整除某个质数,则将该质数作为其中一个因子,并将被整除后的结果继续分解。重复这个过程,直到无法再整除为止。...具体步骤如下: 1.从最小的质数2开始,尝试将待分解的整数进行整除。2.如果整数能够整除当前的质数,则该质数是其中一个因子。将整数除以该质数,并记录下这个质数。...4.如果无法整除了,将当前质数加一,然后重复步骤2和3,直到待分解的整数等于1为止。 最终,得到的所有质数就是待分解整数的所有质因数。

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    机器学习笔记之矩阵分解 SVD奇异值分解

    0x00 什么是SVD 奇异值分解(singular value decomposition)是线性代数中一种重要的矩阵分解,在生物信息学、信号处理、金融学、统计学等领域有重要应用,SVD都是提取信息的强度工具...谱定理和谱分解 矩阵的对角化是线性代数中的一个重要命题。...这也就是说,正规矩阵,可经由酉变换,分解为对角矩阵;这种矩阵分解的方式,称为谱分解(spectral decomposition)。...1.2 SVD奇异值分解 谱定理给出了正规矩阵分解的可能性以及分解形式。然而,对于矩阵来说,正规矩阵是要求非常高的。因此,谱定理是一个非常弱的定理,它的适用范围有限。...如何解决SVD存在的问题,请听下回分解

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