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    【组合数学】组合恒等式 ( 变下项求和 3 组合恒等式 | 变下项求和 4 组合恒等式 | 二项式定理 + 求导 证明组合恒等式 | 使用已知组合恒等式证明组合恒等式 )

    文章目录 一、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1 二、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1 证明 ( 二项式定理 + 求导 ) 三、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 2...四、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 2 证明 ( 使用已知恒等式证明 ) 一、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1 ---- 组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 : \sum...证明方法 : 二项式定理 : 使用 二项式定理 + 求导 可以证明该组合恒等式 ; 组合恒等式代入 : 使用 已知组合恒等式代入 , 消去变系数 ; 即使用之前的 3 个递推式 , 简单和 , 交错和..., 5 个组合恒等式 代入 ; 二、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1 证明 ( 二项式定理 + 求导 ) ---- 使用二项式定理 + 求导方法证明下面的恒等式 : \sum_{k=...k 随着求和的项不断变化 , 变化范围 0 ~ n ; 证明方法 : 二项式定理 : 使用 二项式定理 + 求导 可以证明该组合恒等式 ; 组合恒等式代入 : 使用 已知组合恒等式代入 , 消去变系数

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    【组合数学】组合恒等式 ( 递推 组合恒等式 | 变下项求和 组合恒等式 简单和 | 变下项求和 组合恒等式 交错和 )

    文章目录 一、组合恒等式 ( 递推式 ) 二、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 简单和 二、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 交错和 一、组合恒等式 ( 递推式 ) ---- 组合恒等式 ( 递推式 ) :...\dbinom{n}{k} = \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1} , 作用 : 求和时拆项 , 将一个组合数拆分成两项之和 , 或两项之差 , 然后合并...; 二、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 简单和 ---- 简单和 : \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n 1....应用场景 : 在序列求和场景使用 ; 二、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 交错和 ---- 交错和 : \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \dbinom{n}{k} = 0 1....证明 ( 组合分析 ) : 将等号 左边 和 右边 各看做某个 组合计数问题的解 , 完全展开上述组合数 , 这里需要先移项 , 将 k 为奇数的情况下 , (-1)^k 为 -1 , 将这种情况的分项移到右边

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    Excel VBA多数据级联组合框示例

    标签:VBA,组合框 这是thesmallman.com中的一个示例,展示了一个多数据级联组合框的例子,非常好!...很多人都知道级联组合框,就是第二个组合框会随着第一个组合框的选择而改变,而第三个组合框会随着第二个组合框的选择而改变,以此类推。...而本文介绍的这个多数据级联组合框不仅仅如此,当第一个组合框中选择好数据后,后面的组合框中的数据已经随之而改变了,同样,第二个组合框选择好数据后,随后的组合框中的数据改变,等等。...也就是说,用户可以随意改变其中的任一组合框,而相应的组合框中的数据会随之变化。 这是一组链接的组合框,它不依赖于按给定的组合框顺序选择。需要注意的是,第一个组合框是控制组合框。...因此,需要先填充第一个组合框。 示例演示如下图1所示。 图1 一旦在第一个组合框中选择了类别,后面可以选择任何组合框。可以选择1和4,1、2和3或者4个组合框的任意组合。

    1.1K10

    C++ Qt开发:ComboBox下拉组合框组件

    是一个跨平台C++图形界面开发库,利用Qt可以快速开发跨平台窗体应用程序,在Qt中我们可以通过拖拽的方式将不同组件放到指定的位置,实现图形化开发极大的方便了开发效率,本章将重点介绍ComboBox下拉组合框组件的常用方法及灵活运用...在Qt中,ComboBox(组合框)是一种常用的用户界面控件,它提供了一个下拉列表,允许用户从预定义的选项中选择一个。...如下图所示,我们分别增加三个ComboBox组件,其中前两个组件是默认的,最后一个是Font ComboBox字体选择框,其实该选择框也是标准选择框的模板,只不过其默认为我们初始化了系统字体方便选择而已但在使用上与...ComboBox组件与前几章中所示案例保持一致,只需要通过ui->comboBox_Main->调用不同的属性即可实现赋值或取值,此处我们来演示一个更复杂的需求,实现选择组件的联动效果,即用户选择主选择框时自动列出该主选择框的子项...<< one.toStdString().data() << " | " << two.toStdString().data() << std::endl; } 运行后输出效果如下,当读者选择主选择框时子选择框将被填充

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    C++ Qt开发:ComboBox下拉组合框组件

    是一个跨平台C++图形界面开发库,利用Qt可以快速开发跨平台窗体应用程序,在Qt中我们可以通过拖拽的方式将不同组件放到指定的位置,实现图形化开发极大的方便了开发效率,本章将重点介绍ComboBox下拉组合框组件的常用方法及灵活运用...在Qt中,ComboBox(组合框)是一种常用的用户界面控件,它提供了一个下拉列表,允许用户从预定义的选项中选择一个。...如下图所示,我们分别增加三个ComboBox组件,其中前两个组件是默认的,最后一个是Font ComboBox字体选择框,其实该选择框也是标准选择框的模板,只不过其默认为我们初始化了系统字体方便选择而已但在使用上与...ComboBox组件与前几章中所示案例保持一致,只需要通过ui->comboBox_Main->调用不同的属性即可实现赋值或取值,此处我们来演示一个更复杂的需求,实现选择组件的联动效果,即用户选择主选择框时自动列出该主选择框的子项...cout 框时子选择框将被填充

    1.9K10

    【组合数学】集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 )

    多重集排列问题 1 二、 集合排列 和 多重集排列问题 2 三、 找一一对应计算集合排列问题 ( 反向计算 ) 四、 圆排列问题 1 五、 集合交替排列问题 六、 圆排列问题 2 七、 推广的牛顿二项式公式...八、 二项式展开问题 一、集合排列 和 多重集排列问题 1 题目 : 1.条件 : 由 字母 a, b,c,d,e,f 组成 4 个字母的单词 ; 2.问题 1 : 每个字母在单词中 最多 出现一次...=6 , 然后让妻子 坐在丈夫左边 或右边 , 每人两种选择 2^4=16 种选择 ; ② 最终结果是 96 种 ; ---- 七、 推广的牛顿二项式公式 二项式定理 : (x+y)^n=\sum..._{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^ky^{n-k} 牛顿二项式公式 : (1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^k 牛顿二项式公式 变体 : (1+ax...二项式展开问题 题目 : 条件 : (1+2x)^n 展开 , ( 1 \leq k \leq n) 问题 : 其中 x^k 的系数是多少 ; 问题分析 : ① 二项式定理 : (x +

    1.6K10

    VBA代码分享:可搜索的数据验证+组合框

    在mrexcel.com中,提供的可搜索的数据验证+组合框就是解决这个问题的一种方法,它有以下行为: 1.组合框可以通过某些操作显示和隐藏,例如双击单元格。...2.可以在组合框中键入一些关键字,键入时列表将随着键入的值而缩小。 3.对于所有具有数据验证的单元格,只需要一个组合框。...效果演示如下图1: 图1 工作原理: - 在蓝色区域(列B,D,E)中的单元格具有数据有效性 - 双击蓝色区域中的单元格将激活组合框 - 输入关键字搜索,通过空格分隔,例如"fca" - 随着输入,显示的结果会减少...- 搜索忽略关键字顺序, 因此关键字"mala"与"Maryland"和"Alabama"都匹配 - 使用上下箭头选择项目,单击回车键,所选项目会插入到单元格,且组合框会隐藏 - 要关闭组合框:单击TAB

    1.5K20

    Qt Style Sheet实践(二):组合框QComboBox的定制

    导读      组合框是一个重要且应用广泛的组件,一般由两个子组件组成:文本下拉单部分和按钮部分。在许多既需要用户选择、又需要用户手动输入的应用场景下,组合框能够很好的满足我们的需求。...这篇博文重点讲述如何用QSS对组合框进行定制。 基本自定义      组合框的使用非常简单,为了加快叙述速度,我们直接在Qt Designer中拖一个QComboBox控件放到主窗口中。...这样出现的组合框样式很普通:一个文本加一个带箭头号的按钮就完了。既然主题是用QSS来定制组合框,那么我们第一件事就是新建一个.qss文件并添加到资源文件中进行编译。....min-width: 9em; # 组合框的最小宽度 }   我们给组合框3个像素的圆角,边框1个像素宽并将颜色设置为灰色。...这样,当用户点击了选项中的某一个选项时,能够在QComboBox的文本框中显示选中的项。那么,QSS该如何编写呢?

    8.1K70

    VBA代码分享2:可搜索的数据验证+组合框

    在mrexcel.com中,提供的可搜索的数据验证+组合框就是解决这个问题的一种方法,它有以下行为: 1.组合框可以通过某些操作显示和隐藏。...在《VBA代码分享:可搜索的数据验证+组合框》中是通过双击单元格;在本文提供的代码中,是单击选择具有数据有效性的单元格。 2.可以在组合框中键入一些关键字,键入时列表将随着键入的值而缩小。...3.对于所有具有数据验证的单元格,只需要一个组合框。 组合框可搜索内容 下载这个示例工作簿。...效果演示如下图1: 图1 工作原理: - 在蓝色区域(列B,D,E)中的单元格具有数据有效性 - 选择蓝色区域中的单元格将激活组合框 - 输入关键字搜索,通过空格分隔,例如"fca" - 随着输入,显示的结果会减少...- 搜索忽略关键字顺序, 因此关键字"mala"与"Maryland"和"Alabama"都匹配 - 使用上下箭头选择项目,单击回车键,所选项目会插入到单元格,且组合框会隐藏 - 要关闭组合框:单击TAB

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    【Python】基于多列组合删除数据框中的重复值

    在准备关系数据时需要根据两列组合删除数据框中的重复值,两列中元素的顺序可能是相反的。 我们知道Python按照某些列去重,可用drop_duplicates函数轻松处理。...本文介绍一句语句解决多列组合删除数据框中重复值的问题。 一、举一个小例子 在Python中有一个包含3列的数据框,希望根据列name1和name2组合(在两行中顺序不一样)消除重复项。...import numpy as np #导入数据处理的库 os.chdir('F:/微信公众号/Python/26.基于多列组合删除数据框中的重复值') #把路径改为数据存放的路径 df =...由于原始数据是从hive sql中跑出来,表示商户号之间关系的数据,merchant_r和merchant_l中存在组合重复的现象。现希望根据这两列组合消除重复项。...三、把代码推广到多列 解决多列组合删除数据框中重复值的问题,只要把代码中取两列的代码变成多列即可。

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