快速幂运算 1.什么是快速幂 2.快速幂的“小数”运算 3.高精度（大数）的快速幂 1.什么是快速幂 快速幂，是指在进行幂运算的时候，用一种快速方法得出答案。...2.快速幂的“小数”运算 对于系统内置类型的整型，暂且叫他“小数”，这个时候进行快速幂运算，代码如下: #include #include #include using namespace std; const long long int mod = 1000000000007; //对答案取模 int main() { long long int...取模的最终值是：", n); while (n > 0) //快速幂模板 { if (n%2 == 1) ans = (ans%mod * temp%mod) % mod; n /= 2; temp...用一张图来表示 3.高精度（大数）的快速幂 上面的代码发现当n的值稍微大一点就不行了，但是用高精度运算就不要有这种限制。
int superPow(int a, vector& b); 要求你的算法返回幂运算a^b的计算结果与 1337 取模（mod，也就是余数）后的结果。...你怎么把这个数组作为指数，进行运算呢？ 二是如何得到求模之后的结果？按道理，起码应该先把幂运算结果算出来，然后做% 1337这个运算。...比如在二分查找中，我们求中点索引时用(l+r)/2转化成l+(r-l)/2，避免溢出的同时得到正确的结果。...所以说只要简单扩展刚才的思路，即可给幂运算求模： int base = 1337; // 计算 a 的 k 次方然后与 base 求模的结果 int mypow(int a, int k) {...至此，Super Pow 就算完全解决了，包括了递归思想以及处理模运算、幂运算的技巧，可以说这个题目还是挺有意思的，你有什么有趣的题目，可以留言分享一下。
int superPow(int a, vector& b); 要求你的算法返回幂运算a^b的计算结果与 1337 取模（mod，也就是余数）后的结果。...你怎么把这个数组作为指数，进行运算呢？ 二是如何得到求模之后的结果？按道理，起码应该先把幂运算结果算出来，然后做% 1337这个运算。...比如在二分查找中，我们求中点索引时用(l+r)/2转化成l+(r-l)/2，避免溢出的同时得到正确的结果。...但是既然说到幂运算了，不妨顺带说一下如何高效计算幂运算吧。 如何高效求幂 快速求幂的算法不止一个，就说一个我们应该掌握的基本思路吧。利用幂运算的性质，我们可以写出这样一个递归式： ?...至此，Super Pow 就算完全解决了，包括了递归思想以及处理模运算、幂运算的技巧，可以说这个题目还是挺有意思的，你有什么有趣的题目，可以留言分享一下。
模幂运算求解 递归求解用数组表示的指数：a[1,5,6,4]=a4×a[1,5,6,0]=a4×(a[1,5,6])10 防止栈溢出的模运算：(a∗b)%k=(a%k)(b%k)%k class Solution...(k--) { res *= a; // 由于(a * b) % k = (a % k)(b % k) % k, 故每次乘法结果均取余base，否则遇大幂会栈溢出
所谓取模运算，就是计算两个数相除之后的余数，符号是%。如a % b就是计算a除以b的余数。...实际上，虽然结果不一样，不过取模运算完全遵从统一的规则： a \% b = a- \lfloor\frac{a}{b}\rfloor * b 其中\lfloor\frac{a}{b}\rfloor表示...，这个应该来说是比较简单的，而且无论符号是什么，我们都只计算这个值； 对于有负号的，不管负号在哪个数字，都去除负号，然后计算步骤1的结果； 接下来根据负号的位置分为3种情况，假设除数是K，去掉负号后取模的结果是...M： 2个数都是负数，直接等于-M 被除数是负数，除数是正数，由于是向下舍入，最后相当于会多加上一个K，也就是说模一定是大于0的，结果是K-M 被除数是正数，除数是负数，刚好相反，结果是M-K，注意这里的...K是除数的绝对值，是正数 简单归纳： 不管有没有负数，先按正数求模得到M 2个数都为负数，结果是-M 只有1个数为负数，负数在上，记住结果一定是正的，大数-小数（除数-余数），那么就是K-M 只有1个数为负数
参考链接： Python中的numpy.true_divide 基本算术运算符+、-和*隐式关联着通用函数add、subtract和multiply 在数组的除法运算中涉及三个通用函数divide、true_divide...和floor_division，以及两个对应的运算符/和// 1....数组的除法运算 import numpy as np # divide函数在整数和浮点数除法中均只保留整数部分(python3中的np.divide == np.true_divide) a =...] # /运算符相当于调用divide函数 print (a/b,b/a) # (array([2, 3, 1]), array([0, 0, 0])) # 运算符//对应于floor_divide...模运算 # 计算模数或者余数，可以使用NumPy中的mod、remainder和fmod函数。
,你就知道6.1的1080这种卡, 不适合双精度运算.因为它的双精度性能只有单精度性能的3%左右(1/32) 而你会发现, 6.0的卡(GP100), 却具有32 / 64 = 50%的相对峰值单精度性能的双精度性能...继续谈一下这章说的较慢的高精度的数学运算和较快的低精度之间的取舍问题.其实手册后面有个表, 大致是各种运算的误差情况.里面有快速版本和高精度版本的误差比较, 单位是ULP (ULP是用最低有效位做单位的..., 不过这个可以看成是某种相对于值本身的相对误差, 例如一个24-bit有效位的float值, 在正常的情况下, 一个ULP误差大约相当于,这个数的值本身的1/2^24这个级别。...类似的, 本章节还说了一些其他方面, 例如a / N (N是2的幂)可以用移位来取代.这个如果N在编译时刻可知的常数.现在的CUDA编译器会自动发现这点, 不需要手工操作了，类似的, 还提到了一些类似_...(可以重用float的浮点运算中, 移位对齐后面的乘法电路)，Fermi和Kepler放弃了它, 改成单独实现的32-bit乘法.而Maxwell/Pascal则提供了16-bit的版本, 依然可以重用
RSA最终加密、解密都要用到模乘的幂运算，简称模幂运算。 ...为了让RSA的加密、解密成为现实，我们必须要找一个好的算法来做模幂运算。 ...2的各次幂相加形式， 然后找到对应每个2的幂次a模乘结果， 然后再把这些结果依次模乘，得到最终结果。 ...： 求各个a的2n阶模乘，所做模乘次数为log2b取整，也就是b的二进制的位数减1； 取相应的2的正整数次幂的模乘结果再做模乘，所做模乘次数为b的二进制中1的个数减1。 ...可惜此问题获得最优解似乎没有很好的算法，甚至远高于RSA可能基于的安全性——大数分解，但存在相对好的算法，从而可以用来改进我们的模幂算法。
（相对浮点数而言，某些二进制表示的数值只能映射为十进制表示的数值的近似值而已） Zero-extend 零扩展运算用于在保持数值不变的前提下，不同字长的整数之间的转换...Addition 注意：位级运算均是模数运算，即加减乘除后均会对运算结果取模，并以取模后的结果作为终止返回。...对于乘数为2的n次幂的情况，乘法公式为：a模。 2. 对于乘数不为2的n次幂的情况 2.1....对于被除数为2的n次幂的情况，除法公式为：a>>n，如6/4等价于6/(2^2)，则可转换为移位操作6>>2即可。然后再对结果取模。 2. 对于被除数不为2的n次幂的情况，则情况复杂不少。...循环执行上述步骤，直到无需再执行高位对齐，那么2.2中得到的余数中间值将作为除法运算的最终余数，否则余数中间值则作为一下轮高位对齐的被除数处理。
（相对浮点数而言，某些二进制表示的数值只能映射为十进制表示的数值的近似值而已） Zero-extend 零扩展运算用于在保持数值不变的前提下，不同字长的整数之间的转换...Addition 注意：位级运算均是模数运算，即加减乘除后均会对运算结果取模，并以取模后的结果作为终止返回。 ...对于乘数为2的n次幂的情况，乘法公式为：a模。 2. 对于乘数不为2的n次幂的情况 2.1....对于被除数为2的n次幂的情况，除法公式为：a>>n，如6/4等价于6/(2^2)，则可转换为移位操作6>>2即可。然后再对结果取模。 2. 对于被除数不为2的n次幂的情况，则情况复杂不少。...循环执行上述步骤，直到无需再执行高位对齐，那么2.2中得到的余数中间值将作为除法运算的最终余数，否则余数中间值则作为一下轮高位对齐的被除数处理。
一旦为e选择了一个值，接下来开始计算相对应的值d，d将成为私钥的一部分。...要对缓冲区中C中的第（i）组密文进行解密，使用私钥(d,n)来获取Ci的数值部分，对其求d次幂，然后再对n取模。这将产生一组明文Mi。...，所以模的幂运算不能直接运算，比如如果我先直接计算Mie，由于Mi有可能是很大的数，这样它的e次幂就会是一个超级数字，计算机无法计算和存储 所以这里我们就需要对模幂运算进行优化，就涉及到了蒙哥马利算法...我们先设计一个简单的算法，先将模幂运算转化为模乘运算 关于模运算，有如下几个公式： 结合律 (a%p*b)%p=(a*b)%p 同理((a*b) % p * c)% p = (a*b*c) % p...总结 从上面的分析可以看出，在RSA算法中模运算占据着重要的位置，整个过程中包含了模乘法逆元、费马小定理、蒙哥马利算法、欧拉函数等等数学知识，可以说非常复杂繁琐。
模运算在数论、群论、环论、电脑代数、密码学、计算机科学等学科中都有着广泛地应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子算经中的问题到凯撒密码问题，都充斥这模运算的身影。...模运算渗透了人类生活的方方面面，因此如何在当下计算系统中更加高效的运用模运算也是一个十分关键的问题，尤其在面对比较消耗资源的大数幂模运算时更应该注重此类算法的高效性。...当计算一些高次幂模时，普通计算器由于按顺序计算，在幂运算时产生大数导致后续无法进行，而加法链操作则由于分解了幂运算，使得每次的中间过程变量都限制在了模范围内，因此可以计算更加复杂的幂模运算。 ?...反汇编上述算法后，发现虽然该算法有效的解决了幂模过程中幂运算产生大数的问题，但在实际计算模运算时仍旧采用了除法指令，且采用除法指令的次数和幂运算的指数正相关，而我们知道在计算机系统除法指令是一个相当耗时的指令...现在我们知道如果利用此公式在计算机中不可避免的将使用除法进行运算，于是在大型幂模计算时是不可取的，那么我们考虑一种更原始的计算模的运算——减法： ?
这种方法比使用取模运算hash % capacity更高效，因为位运算的速度通常比取模运算快得多。 02 位运算的高效性 使用位运算代替取模运算可以显著提高HashMap的性能。...位运算通常比取模运算更快，因为它们直接操作二进制位，而不需要进行除法或乘法运算。...; 在这个例子中，使用位运算的index和使用取模运算的indexWithMod应该得到相同的结果，但是位运算的版本通常更快。...首先，当使用位运算（如&运算）来计算索引时，2的幂次方能够提供非常快速且均匀的数据分布。这是因为位运算可以直接操作二进制位，避免了取模运算的复杂性和性能开销。...通过将哈希值与(length - 1)进行位与运算，可以快速得到索引值，这种计算方式比取模运算更加高效。 其次，2的幂次方长度使得HashMap的扩容过程更加简便和高效。
基于二进制进行运算的芯片，包括 CPU，都可以轻松实现高效的加法、乘法、位移等运算；然而取模、除法等运算则一直是硬件电路难以啃下的硬骨头，计算效率十分低下，显然 Paillier 加密运算中存在不可避免的取模和幂运算...众所周知，幂运算由若干乘法组成，而模幂运算 ? ，可以由大名鼎鼎的快速幂算法拆解为若干少量的模乘运算 ? 。 那么是否存在一种算法，无需单独取模，就可以实现模乘运算呢？...一定位于区间[0,2M），从而可以通过一次数值比较和减法，将最终结果限制在[0,M），无形中完成了幂运算。基于蒙哥马利模乘运算 ? ，再实现 ? 就成为了非常简单的操作，实现的方法也有很多。...一个 Paillier 处理器中包含了模幂、随机数生成等所需的运算功能，此 HLS 设计中例化了若干 Paillier 处理器以实现运算的并行处理。...通过观察蒙哥马利模乘运算的两重循环，可以整理出，整个运算包含 ? 次乘法，因此，如果我们例化了 n 个乘法器，每个乘法器需要运行 t 个时钟周期，则理想中整个蒙哥马利模乘的时钟周期为 ? 。
HTTPS为什么访问比较慢为什么消耗CPU资源呢？同样也是因为它很重。HTTPS的重，体现在如下几方面： 1. 大量的计算。SSL的每一个字节都涉及到较为复杂的计算。...目前线上使用到的主要密钥交换算法主要是如下三类： 算法名 主要数学运算 优点 缺点 ECDHE_RSA 1.ECC加法、乘法2.模幂、模乘计算 1.支持PFS，更加安全；2.性能相比DHE要好 性能相比...RSA要差20% DHE_RSA 模幂、模乘计算 安全、支持PFS 性能最差 RSA 模幂、模乘计算 1.算法简单可靠；2.性能在三者中最好 1.不支持PFS，安全性稍差；2.不支持false start...分析上述运算方程有什么意义呢？ 可以看出RSA和DH的主要计算都是模幂计算。如果指数比较小，比如几十甚至几百，CPU计算会非常快。...但是如果指数接近2的2048次方这样大的一个天文数字，这种模幂计算就非常消耗CPU了。即使集合全世界性能最强劲的CPU，也无法在短时间内暴力破解出2048位及以上的RSA密钥。
前言： 模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。...虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。...那么今天我们就用几个案例来试试： 1、判断奇偶数： 奇数（英文：odd），正奇数又称单数， 整数中，能被2整除的数是bai偶数，不能被2整除的数是奇数，奇数的个位为1，3，5，7，9。...与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。...、阿姆斯壮数或阿姆斯特朗数（Armstrong number），水仙花数是指一个 3 位数，它的每个位上的数字的 3次幂之和等于它本身（例如：1^3 + 5^3+ 3^3 = 153）。
/（除法）： 示例：10 / 2结果为 5.0（在 Python 3 中，除法结果为浮点数）。 %（取模，求余数）： 示例：10 % 3结果为 1。...%=（取模赋值）： 示例：x = 10，x %= 3后，x 的值变为 1。 **=（幂赋值）： 示例：x = 2，x **= 3后，x 的值变为 8。...总结 在 Python 实际运用中，不同运算符的使用量有所不同。 高频率使用的运算符有： 算术运算符中的 “+”“-”“*”“/” 广泛用于各种数值计算和变量操作中。...低频率使用的包括幂运算符 “**” 和地板除运算符 “//”，它们通常在特定数学运算或特定算法中有偶尔的应用。...总体来说，算术、比较、赋值和逻辑运算符在日常编程中使用频繁，位运算符和特殊算术运算符使用相对较少。
因此，如果一开始就用红黑树结构，元素太少，新增效率又比较慢，无疑这是浪费性能的。 05、HashMap默认加载因子是多少？为什么是 0.75，不是 0.6 或者 0.8 ？...把 hash 值对数组长度取模运算，模运算的消耗很大，没有位运算快。...当 length 总是 2 的n次方时，h& (length-1)运算等价于对length取模，也就是 h%length，但是 & 比 % 具有更高的效率。...09、HashMap数组的长度为什么是 2 的幂次方？ 2 的 N 次幂有助于减少碰撞的几率。...(20) = 32（2 的 5 次幂），也就是说 table 数组的长度总是 2 的次幂。
内存(Memory)也称内存储器，它用于暂时存放CPU中的运算数据，与硬盘等外部存储器交换的数据。...例如华为mate40Pro，8G+128G 8G->内存 128G->存储硬盘 通常来说大容量的存储硬盘可以存储更多数据，较大的内存手机运行速度要相对较快。这也是为什么配置越高价格越高的原因。...a = '123' b = a a = '456' print(b) 运算符 什么是运算符呢？ 回想一下数学中的算术运算符 加减乘除(+-x/)，编程的运算符概念也是类似的。...数学中的运算符主要是进行多个数据之间的运算，程序中的运算符主要用于执行程序代码运算，会针对一个以上操作数进行运算。...- 返回除法的余数 b % a 输出结果 1 ** 幂 - 返回x的y次幂 a**b 为10的21次方 // 取整除 - 向下取接近商的整数 9//2 = 4 -9//2
至此，你可能还不明白上面说这一堆演变的原因，其实很简单，原来是一个的运算，这个运算中的模操作，正常情况下是要通过除法实现的，而除法是一个特别复杂的运算，要涉及到很多乘法，所以在大数运算时，我们要尽量避免除法的出现...蒙哥马利幂模 最后，才说到我们最开始提到的RSA的核心幂模运算，先来看一下普通幂运算的算法是怎么得出来的。...以下资料来自于百度百科 针对快速模幂运算这一课题，西方现代数学家提出了大量的解决方案，通常都是先将幂模运算转化为乘模运算。...， 设E=Sum[i=0 to n](E*2**i)，0<=E<=1 则： D=1 FOR i=n TO 0 D=D*D % N IF E=1 D=D*C % N RETURN D 这样，模幂运算就转化成了一系列的模乘运算...以上就是蒙哥马利算法的全部，通过蒙哥马利算法中的约减运算，我们将大数运算中的模运算变成了移位操作，极大地提高了大数模乘的效率。
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