大 O 符号是一种数学符号，用于计算机科学中描述算法的效率，特别是时间复杂度和空间复杂度。 它提供了一个上限，描述了随着输入数据大小增加，算法的运行时间或内存使用量的增长速度。...大 O 符号主要用于表达以下内容： 时间复杂度：衡量算法的运行时间如何随着输入大小的变化而变化。例如，时间复杂度为 O(n) 的算法表示其运行时间随着输入大小的线性增长。...01 O(1) - 恒定时间 运行时间恒定，不随输入大小变化。 典型应用 通过索引访问数组中的元素。 插入或删除哈希表中的一个元素（平均）。...02 O(n) - 线性时间 运行时间随输入大小线性增加。 典型应用 遍历列表或数组。 查找未排序数组中的最大或最小元素。 检查未排序数组中是否存在元素。...09 O(sqrt(n)) - 平方根时间 运行时间与输入大小的平方根成比例增长。 典型应用 涉及在一定范围内搜索的算法，如查找 n 以内所有素数的 Eratosthenes 筛法。
为了描述一个算法的效率，就用到了这个大O，包括： O(n) 线性时间操作 O(1) 常数时间操作 O(log n) 对数时间操作 例如在 Redis 的文档中，对每个命令都会给出复杂度描述 ? ?...明白大O的作用有助于我们提高程序的效率，下面看看他们的具体含义 O(n) 线性时间操作 假设有一个盒子，其中有多个印着数字的卡片（例如 1, 2, 3, 4, … 16） 现在我们被要求找出数字6的卡片...（1, 2, 3, 4, … 16），在盒子外面写上盒子中有16个数字 当有人问我们盒子里有多少个数字的时候，我们看一眼盒子上的标记就可以马上告诉他有16个 这就是常数操作，记为 O(1) O(log...这就是指数型操作，记为 O(log n) 小结 可以看到，O(1) 最牛，不管数据量有多大，都是一下就完成，O(n) 最惨，数据量大时就有的忙了，O(log n) 虽然与数据量成正比，但所需时间是指数型下降的...，很不错 知道了大O的含义，我们也就可以更好的选择算法，例如 redis 中的 keys命令，他的复杂度是 O(n)，我们就要慎用了
时间复杂度与“大O记法” 我们假定计算机执行算法每一个基本操作的时间是固定的一个时间单位，那么有多少个基本操作就代表会花费多少时间单位。...对于算法的时间效率，我们可以用“大O记法”来表示。...“大O记法”： 对于单调的整数函数 f，如果存在一个整数函数 g和实常数 c>0，使得对于充分大的 n总有 f(n)的一个渐近函数（忽略常数），记为 f(n)=O(g...如何理解“大O记法” 对于算法进行特别具体的细致分析虽然很好，但在实践中的实际价值有限。对于算法的时间性质和空间性质，最重要的是其数量级和趋势，这些是分析算法效率的主要部分。...+ 3，根据结论，用常数1代替加法常数，3替换为1；保留最高阶项2n，去除与最高阶项相乘的常数，所以该算法的时间复杂度为O(n)。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。...一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数...在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同...“大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。...下面是一些常用的记法： 访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。
1.2算法时间复杂度 1.2.1大O记法 定义： 在进行算法分析时，语句总的执行次数 T(n) 是关于问题规模 n 的函数，进而分析 T(n) 随着 n 的变化情 况并确定 T(n) 的...它表示随着问题规模 n 的增 大，算法执行时间 的增长率和 f(n) 的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，其中 f(n) 是问题规模 n 的某个函数。...在这里，我们需要明确一个事情： 执行次数 = 执行时间 用大写 O() 来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大 O 记法。...如果最高阶项存在，且常数因子不为 1 ，则去除与这个项相乘的常数； 所以，上述算法的大 O 记法分别为： 算法一： O(1) 算法二： O(n) 算法三： O(n^2) 1.2.2...所以其执行次数为 n^2, 第二个嵌套 for 循环内只执行 了一行代码， 所以其执行次数为 n^2, 那么 main 方法总执行次数为 n+n^2+n^2=2n^2+n 。
Big O Notations 如何计算程序的时间复杂度呢？最常用的度量方式叫做 Big O Notations 翻译过来叫大O标记法。...使用大O标记法前要先了解它的几个要点： 相同配置的计算机进行一次基本运算的时间是一定的，因此我们将程序基本运算的执行次数作为时间复杂度的衡量标准。...比如有些涉及到排序的程序，执行时间往往依赖于程序的输入，可以分为最好、最坏、平均情况的时间复杂度，这种时候使用大 O 标记法时我们只用关注最坏的情况，因为最坏情况对衡量程序效率的好坏具有实际意义。...在大O标记法中，常见的时间复杂度有一下几类。...O(n^n) 在写程序时，我们要注意时间复杂度增量的问题，尽量避免爆炸级增长。 了解完时间复杂度的大O标记法后，接下来我们看下怎么把我们平时接触的代码转化为其对应的时间复杂度。
为了方便计算所消耗的时间，需要先作2个假设： 算法与计算机的软硬件无关（硬件好理解，软件比如编程语言、执行器、编译器等）； 代码中的每个语句所消耗的时间都一样，记作一个时间单位； 举个例子 for (int...T(n)=2n3+3n2+2n+1的最大量级是n3，因此可简化为T(n)=O(n3)，这就大O表示法。...(0).isEmpty(); } O(n) O(n)表示算法的复杂度是线性增长的，与数据集的大小成正比。...O(n2) O(n2)表示算法的复杂度与数据集大小的平方成正比，一般的循环嵌套就是这种，随着嵌套的层级增加可能是O(n3)、O(n4)等。...2n) O(2n)表示算法的复杂度与数据集大小成指数增长，比如递归 int Fibonacci(int number) { if (number <= 1) return number; return
目录 1.1数据结构与算法的概念及介绍编辑 1.2时间复杂度(Time complexity)的引入 1.3时间复杂度和大O记法的练习 1.1数据结构与算法的概念及介绍 1.2时间复杂度(Time...我们引入 时间复杂度 一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数是成正比的。哪个算法语句执行的次数多，它花费的时间就多。...时间复杂度T(n)[Time complexity]:一个程序最终执行的次数来衡量算法的优劣-------eg: T(n)=2n^2 大o记法O(n)[Big O notation]:为时间复杂度的o...T(n)=O(f(n))--->时间复杂度的O渐进法(大O技法) 如果时间复杂度T(n)=一个常数, 那么其大O记法 O(n)=O(1),因为 n 的最高次幂是 0 eg:T(n)=100100000,...相当于T(n)= 100100000*n^0 那么 其O(n)=O(1) 1.3时间复杂度和大O记法的练习 Exercise: 1.
引言 什么是ChatGPT4o？ ChatGPT4o是一款由OpenAI开发的高级自然语言处理模型，属于GPT（Generative Pre-trained Transformer）系列的最新版本。...与前代相比，ChatGPT4o在文本生成的自然性、上下文理解的准确性，以及多模态信息处理能力上都有了显著提升。...2.chatgpt4o数学建模 常见的数学建模专业术语及其简要说明 变量（Variable）： 在模型中，变量是能够取不同值的量，通常用字母表示，如 x、y、z 等。...3.主题：火焰魔法师 在画面中，一位大约25岁的女性魔法师站在一片被火焰照亮的神秘森林中。...伙伴场景：魔法师与一只巨大的火焰元素生物一起，在森林中探险。 对决场景：魔法师与另一位掌握冰雪魔法的敌人展开激烈的对决。 5.chatgpt4o代码编程 1.如何用Python进行网络爬虫？
对应着就是F(n)去掉次要项以及常数项后的g(n)函数，此时称g(n)为F(n)的渐进函数，然后通过大O记法来表示时间复杂度T(n)，此时T(n) = O(g(n))； 非正式术语。...由于我们不关心基本操作数的细节，只关心数量级和趋势，因此虽然不同算法的F(n)可能不同，但是通过大O记法的时间复杂度总归是那么几种情况，因此相应的为这几种情况进行一个非正式的命名。...下面以执行基本操作总数3n^2 + 2n + 1，即F(n) = 3n^2 + 2n + 1为例，来详细说明一下计算时间复杂度的大致过程。...根据上图可以看出这些常见时间复杂度的大小关系，需要记住下面的大小关系： ? 下面简单举几个例子，左边部分是O里面是算法执行的总的基本操作数，通过大O记法变成右边时间复杂度的形式。...O(5) ==> O(1) O(2n + 1) ==> O(n) O(n^2 + n + 1) ==> O(n^2) O(3n^3 + 1) ==> O(n^3) 根据常见时间复杂度的大小关系可以得出上面
2、单靠时间绝对可信吗？ 假设我们将第二次尝试的算法程序运行在一台配置古老性能低下的计算机中，情况会如何？很可能运行的时间并不会比在我们的电脑中运行算法一的397.615515秒快多少。...那么如何才能客观的评判一个算法的优劣呢？ 3、时间复杂度与“大O记法” 我们假定计算机执行算法每一个基本操作的时间是固定的一个时间单位，那么有多少个基本操作就代表会花费多少时间单位。...对于算法的时间效率，我们可以用“大O记法”来表示。 ...“大O记法”：对于单调的整数函数f()，如果存在一个整数函数g()和实常数c>0，使得对于充分大的n总有f(n)的一个渐近函数（忽略常数），记为f(n)=O(g(n))。...所消耗的时间从小到大:O(1) O(logn) O(n) O(nlogn) O(n2) O(n3) O(2n) O(n!)
而当 n = 2 时，两者效率相同；当 n > 2时，算法 A 就开始优于算法 B 了，随着 n 的增加， 算法 A 比算法 B 越来越好了，得出结论，算法 A 好过 算法 B 判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略...其中f(n)是问题规模n的某个函数。 用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，称之为大O记法。 一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。...2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。 3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数，得到的结果就是大O阶 3、常数阶 高斯算法，时间复杂度不是O(3)，而是O(1)。...这种与问题的大小无关（n的多少）,执行时间恒定的算法，我们称之具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。...由2× = n ，得到 x = ㏒2n (2缩小)。所以这个循环的时间复杂度为O(㏒n)。 6、平方阶 下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。
一、时间频度： 一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成比例，哪个算法中语句执行的次数多，它花费时间就多。 一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。...n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值是一个不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同量级函数，记做T(n)=O(f(n))，称O(f(...2）T(n)不同，但时间复杂度可能相同，如T(n)=n2+7n+6与T(n)=3n2+2n+2,他们的T(n)不同，但时间复杂度相同，都为O(f(n))。...O(n)O(nlog2n)O(n2) O(n3) O(nk)O(2n)O(n)!...O(nn)）—简单记法：长对幂指阶 ○我们应该尽可能避免(8)指数阶的算法 3.时间复杂度的规则 1）加法规则 T（n）=T1(n)+T2(n)=O(f(n)+O(g(n)=O(max(O(f(n)
在生活中，人们都希望花最少的钱，最短的时间，办最大的事，算法也是一样的思想。...算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作：T(n)=O(f(n))。 它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同， 称作算法的时间复杂度，简称为时间复杂度。...其中f(n)是问题规模n的某个函数。 这样用写大O()来体现的时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。...2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。 3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常熟。 得到的结果就是大O阶。...+19 O(nlogn) nlogn阶 6n³+2n²+3n+4 O(n³) 立方阶 2^n O(2^n) 指数阶 常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是： O(1)O(logn)O(n)O
数组是一种基本的线性表数据结构，它用一段连续的内存空间来存储一组具有相同类型的数据。 线性表, Linear List, 即数据排成一条线似的的结构，比如数组/链表/栈/队列。...与之相反的是非线性表，比如二叉树/堆/图，其数据之间并不是简单的前后关系。 原理 正是因为“内存连续+类型相同”的内存模型，数组的基本特点就是支持随机访问。...在平时的业务开发中，我们可以直接使用编程语言提供的容器类，因为方便。...eg.当空间利用率低于25%时，就释放掉一半的空间 均摊 O(1) 在空数组中连续插入 n 个元素，总插入/拷贝的次数为 n+n/2+n/4+... 2n 从一次扩容到下次释放，至少需要再删除 n...- 2n*0.25 = 0.5n 次 总结 数组是一种基本的线性表数据结构，它用一段连续的内存空间来存储一组具有相同类型的数据。
1.时间复杂度 衡量算法的好坏，使用大写的o来表示时间复杂度，通俗的讲，就是一个算法执行的次数； 时间复杂度就是数学里面的函数表达式；本质上是一个函数； 下面举几个例子： (1)这里的执行次数是N*N+...N，当有几项进行相加的时候，我们选择次数最高的，因为随着N的变大，次数低的项对表达式的影响越来越小，所以我们可以忽略，写作时间复杂度的形式就是o(N*N); (2)如果是2个循环，一个执行M次，一个执行...N次，他们的阶数相同，我们就写作o(M+N); (3)这里是常数次，可以忽略不计，统一使用o(1)进行表示，这里的o(1)不是代表1次，而是代表常数次，就是确定的有限次，条件怎么变化，运算次数是确定的；...（4） 这里的时间复杂度是o(N),因为N无限大的时候，N和2N是没有区别的，while循环里面是有限次 所以跟N比起来就显得微不足道了，也可以忽略； （5）中间结束的情况 如果是对于一个字符串，我们想要寻找某个字符...的是后者控制循环，相同的经过这两次循环里面的2次^就会变成0了，因为i是逐步递增的，所以数组里面少一个元素和i进行^得到0，这个数字在第二次的循环里面就被找到了。
因为遇到大数据下，运行时间就是一个重要的问题。 算法性能用大 O 标记法表示。大 O 标记法是标记相对增长率，精度是粗糙的。比如 2N 和 3N + 2 ，都是 O(N)。...排序算法是为了将一组数组（或序列）重新排列，排列后数据符合从大到小（或从小到大）的次序。这样数据从无序到有序，会有什么好处？ 应用层面：解决问题。...最简单的是可以找到最大值或者最小值 解决"一起性"问题，即相同标志元素连在一起 匹配在两个或者更多个文件中的项目 通过键码值查找信息 系统层面：减少系统的熵值，增加系统的有序度 （Donald Knuth...如果它比前面的熊身高低，则与被比较的交换位置，依次从尾巴到头部进行比较 & 交换位置。最终换到了应该熊 N 所在的位置。这就是插入排序的原理。...以此类推 比较到最后一个元素时，完成排序 时间复杂度是 O(N^2)，最好情景的是排序已经排好的，那就是 O（N），因为满足不了循环的判断条件；最极端的是反序的数组，那就是 O(N^2)。
Merge k Sorted Lists 已知k个已排序链表头节点指针，将这k个链表合并，合并后仍为有序的，返 回合并后的头节点。...思考与分析 最普通的方法，k个链表按顺序合并k-1次，暴力的进行合并。 设有k个链表，平均每个链表有n个节点，时间复杂度: (n+n)+(2n+n)+((k-1)n+n) = (1+2+......+k)n-n=(k^2+k-1)/2 * n = O(k^2*n) ? 是否与更好的方法? 方法1 将kn个节点放到vector中，再将vector排序，再将节点顺序相连。...设有k个链表，平均每个链表有n个节点，时间复杂度: kNlogkN + kN = O(kN*logkN) (比如k=100, n = 10000) logkN = 20， k = 100 #include...设有k个链表，平均每个链表有n个节点，时间复杂度: 第1轮，进行k/2次，每次处理2n个数字;第2轮，进行k/4次，每次处理4n个数字;...; 最后一次，进行k/(2logk)次，每次处理2logkN
算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，基座T（n）=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进算法时间复杂度，简称为时间复杂度。...其中f(n)是问题规模n的某个函数。 02 推导大O阶方法 1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。 2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。...3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。 03 推导示例 01 常数阶 顺序结构的时间复杂度。...所以总的执行次数为: n + (n-1) + (n-2) +...+ 1 = n(n+1)/2 = n^2/n+n/2 用我们推导大O阶的方法，第一条，没有加法常数不予考虑；第二条，只保留最高阶项，因此保留时...+19 O(nlogn) nlog2n阶 6n3+2n2+3n+4 O(n3) 立方阶 2n O(2n) 指数阶 05 最坏情况与平均情况 我们查找一个有n 个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是
步骤： ⑴ 找出算法中的基本语句； 算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句，通常是最内层循环的循环体。...⑵ 计算基本语句的执行次数的数量级； 只需保留f(n)中的最高次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。 ⑶ 用大Ο记号表示算法的时间性能。 将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。...如果算法中包含嵌套的循环，则基本语句通常是最内层的循环体，如果算法中包含并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。...Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为Ο(n²)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n+n²)=Ο(n²)。...注意加法原则：T(n)=O(f(n))+O(g(n))=O(max(fn,gn)) 常见的算法时间复杂度由小到大依次为： Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n²)＜Ο(n³)
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