) >>> np.matmul(A,B) array([[ 3, 4, 5], [ 9, 14, 19], [15, 24, 33]]) 元素对应运算(Element-wise...Operation)：针对形状相同张量的运算统称，包括元素对应乘积、相加等，即对两个张量相同位置的元素进行加减乘除等运算。...元素对应乘积（element-wise product）或者Hadamard 乘积（Hadamard product），记为 A ⊙ B: >>> A = np.arange(6).reshape(3,2...2.6 特殊类型的矩阵和向量 对角矩阵（diagonal matrix）只在主对角线上含有非零元素，其他位置都是零。 ? ?...行列式等于矩阵特征值的乘积。行列式的绝对值可以用来衡量矩阵参与矩阵乘法后空间扩大或者缩小了多少。如果行列式是 0，那么空间至少沿着某一维完全收缩了，使其失去了所有的体积。
机器学习中的基本数学知识 线性代数（linear algebra） 第一公式 矩阵的操作 换位(transpose) 矩阵乘法 矩阵的各种乘积 内积 外积 元素积(element-wise product.../point-wise product/Hadamard product 加 低等数学 几何 范数(norm) 拉格朗日乘子法和KKT条件 微分（differential） 表示形式 法则 常见导数公式...注：由于在线性代数中，矩阵乘法 ，所以对于表达式 ，严格地说，要把矢量（向量）看做一列的矩阵(而不是一行的矩阵)，才符合数学上的定义。...product, point-wise product, Hadamard product ) $a \circ b$$a \odot b$ numpy.multiply(a, b) $$\begin...元素积(element-wise product/point-wise product/Hadamard product 计算公式 x = numpy.array([1, 3]) y = numpy.array
如果每个元素都属于R，向量有n个元素，向量属于实数集R的n次笛卡儿乘积构成集合，记ℝⁿ。明确表示向量元素，元素排列成一个方括号包围纵列。向量看作空间中点。每个元素是不同坐标轴上的坐标。...两个矩阵A、B矩阵乘积(matrix product)是第三个矩阵C。矩阵A列数必须和矩阵B行数相等。如果矩阵A的形状mn，矩阵B的形状是np，矩阵C的形状是mp。两个或多个矩阵并列放置书写矩阵乘法。...两个矩阵对应元素乘积，元素对应乘积(element-wise product)，Hadamard 乘积(Hadamard product)，记A⊙B。...两个相同维数向量x、y点积(dot product)，矩阵乘积x⫟y。矩阵乘积C=AB计算Ci,j步骤看作A第i行和B的第j列间点积。...矩阵乘积服务分配律(A(B+C)=AB+AC)、结合律(A(BC)=(AB)C)。不满足交换律(AB=BA)。两个向量点积满足交换律x⫟y=y⫟x。矩阵乘积转置 (AB)⫟=B⫟A⫟。
深度学习系列笔记(二) 目录 深度学习系列笔记(二) 线性代数复习 向量索引 向量补集中的索引 张量(tensor) 广播(broadcasting) 矩阵元素对应乘积(element-wise product...矩阵元素对应乘积(element-wise product) 两个矩阵中对应元素的乘积，也叫 Hadamard乘积(Hadamard product)，记为 A ⊙B 。...对于一个长方形对角矩阵 D 而言，乘法 Dx 会涉及 x 中每个元素的缩放，如果 D 是瘦长型矩阵，那么在缩放后的末尾添加一些零；如果 D 是胖宽型矩阵，那么在缩放后去掉最后一些元素。...奇异值分解将矩阵分解成三个矩阵的乘积：A=UDV^T ，假设A是一个m \times n的矩阵， 那么U是一个m\times m的矩阵，D是一个m\times n的矩阵，V是一个n\times n的矩阵...行列式 det(A)=\prod\limits_{i=1}^n \lambda_i 行列式的绝对值可以用来衡量矩阵参与矩阵乘法后空间扩大或者缩小了多少。
[阿里DIN] 从模型源码梳理TensorFlow的乘法相关概念 目录 [阿里DIN] 从模型源码梳理TensorFlow的乘法相关概念 0x00 摘要 0x01 矩阵乘积 1.1 matmul product...（一般矩阵乘积） 1.2 Hadamard product（哈达玛积） 1.3 tf.matmul 1.4 tf.multiply 1.5 重载 1.6 DIN使用 0x02 多维矩阵相乘 2.1 TensorFlow...本文涉及概念有：矩阵乘积，多维矩阵相乘，tile，张量广播等。 0x01 矩阵乘积 这里只介绍一般矩阵乘积和哈达玛积，因为DIN和DIEN有使用到。...1.1 matmul product（一般矩阵乘积） m x p矩阵A与p x n矩阵B，那么称 m x n 矩阵C为矩阵A与矩阵B的一般乘积，记作C = AB ，其中矩阵C元素[cij]为矩阵A、B对应两两元素乘积之和...， 1.2 Hadamard product（哈达玛积） m x n 矩阵A = [aij]与矩阵 B = [bij]的Hadamard积，记为A * B 。
向量乘法 向量乘法有两种：点积(Dot product) 和 Hadamard乘积(Hadamard product)。 点积 两个向量的点积是一个标量。...y = np.array([1,2,3]) x = np.array([2,3,4]) np.dot(y,x) = 20 Hadamard乘积 Hadamard 乘积是元素相乘，它的输出是一个向量。...矩阵的 Hadamard 乘积 Matrix Hadamard product 矩阵的Hadamard 乘积是一个元素运算，就像向量一样。对应位置的值相乘产生新的矩阵。...a * b [[ 6, 12], [10, 18]] 在 numpy 中，只要矩阵和向量的维度满足 broadcasting的要求，你便可以对他们使用 Hadamard 乘积运算....矩阵的乘法定义了一系列关于矩阵相乘生成新矩阵的规则。
向量乘法 向量的乘法有两种类型：一种是点积，另一种是 Hadamard 积。 点积 两个向量的点积结果是一个标量。向量和矩阵（矩阵乘法）的点积在深度学习中是最重要的运算之一。...Hadamard 积 Hadamard 积是元素之间的乘积，并得出一个向量。从下图可以看出来 Hadamard 积就是将向量对应元素相乘积。 ?...矩阵 Hadamard 乘积 Hadamard 乘积同样是矩阵间的运算，即两个矩阵间相同位置的元素相互乘积。 ?...Hadamard 乘积只需要两个矩阵满足 broadcasting 机制的要求就行。...步骤 矩阵乘法的步骤和向量点积的过程是相似的，它们都是由对应位置的元素进行乘积并相加而得出。
向量乘法 向量乘法有两种类型：点积和 Hadamard乘积 。 点积 两个向量的点积是一个标量。 向量和矩阵的点积（矩阵乘法）是深度学习中最重要的操作之一。...y = np.array([1,2,3]) x = np.array([2,3,4]) np.dot(y,x) = 20 Hadamard乘积 Hadamard乘积 是元乘法，它的输出是一个向量。...矩阵Hadamard乘积 矩阵的 Hadamard 乘积是一个元素运算，就像向量一样。 相应位置的值通过乘法运算来产生一个新的矩阵。...broadcasting 要求，就可以用Numpy对矩阵和向量进行 Hadamard 乘积运算。...  M × N 矩阵和 N × K 矩阵的乘积是 M × K 矩阵。 新矩阵取第一个矩阵的行和第二个矩阵的列。 步骤 矩阵乘法依赖于点积与行列元素的各种组合。
Hadamard（乘法） Hadamard 乘积用于执行逐元素乘法并返回一个向量。...矩阵乘法 请记住，矩阵是向量的集合。相同的操作适用于向量，但在涉及行和列时还有一些规则需要注意。...通过这个视图，就可以清楚如何在矩阵上执行点积。发生乘法的唯一方法是第一个矩阵中的行数与第二个矩阵中的列数匹配。...积 Hadamard 乘积是逐元素乘法，因此其执行方式与加法和减法相同。...积 Hadamard 积的性能符合预期，并在 3D 张量的矩阵中按元素相乘。
该网络的核心是卷积调制操作，它通过仅使用卷积和Hadamard乘积来简化自注意力机制。...卷积调制操作：与自注意力通过矩阵乘法生成注意力矩阵不同，卷积调制操作直接使用k×k深度可分离卷积来产生权重，并通过Hadamard乘积重新加权值表示。...不是通过查询和键之间的矩阵乘法生成注意力矩阵，而是直接使用k × k深度可分离卷积来产生权重，通过Hadamard乘积（⊙：Hadamard乘积；⊗：矩阵乘法）重新加权值。 图3....正如论文题目写的那样，卷积调制空间自注意力的实现原理非常简洁，它不是通过Q和K之间的矩阵乘法生成注意力矩阵，而是直接使用k × k深度可分离卷积来产生权重，通过Hadamard乘积（哈达玛积，也叫基本积...，即：两个矩阵同阶，对应元素相乘的结果矩阵）生成特征优化结果。
根据链式法则，目标函数的导数可以根据矩阵乘法的形式写为： ? 其中，链式乘法中的每一项都是雅可比矩阵（Jacobian matrix）。...计算这种链式矩阵乘法首先需要注意的就是确定乘法的顺序，因为矩阵的乘法分为左乘和右乘，且不同的乘法顺序会影响计算的效率，所以我们需要确定矩阵乘法的计算顺序。...这种寻找最优乘法序列的任务称为矩阵链式排序问题。在本案例中，因为向量左乘矩阵还是得到一个向量，所以我们只需要从左往右进行矩阵乘积就能进行高效的计算。 ?...在本案例中，雅可比矩阵是一个对角矩阵，那么向量和雅可比矩阵的乘积就等价于向量对应元素间的乘积，因此我们就能避免构建一个 m-x-m 的雅可比矩阵。 ?...为了进一步简化，令 b 指代向量-雅可比乘积（即 backwards()、Left operator、grad_func），使用 Hadamard 乘积的符号表示元素对应乘积。
A = np.arange(4).reshape(2, 2) B = np.full((2, 2), 10) A + B # 矩阵的加法 A - B # 矩阵的减法 A * B # Hadamard乘积...，对应元素相乘 A / B # 矩阵对应元素相除 A.dot(B) # 矩阵的乘法 A.T # 矩阵的转置 image.png 向量和矩阵的运算 在机器学习中除了矩阵和矩阵的运算外，还有一种运算使用的也比较多...Hadamard 乘积（对应元素相乘），这个同样是运用广播机制，将向量扩充成矩阵，然后再与矩阵进行 Hadamard 乘积。...print(v * A) ''' array([[0, 2], [2, 6]]) ''' 向量和矩阵之间可以进行矩阵的乘法，此时是将向量看成是行向量或列向量。...np.linalg.inv(A) # 计算矩阵A的逆矩阵 在线性代数中，原矩阵和逆矩阵（或逆矩阵和原矩阵）进行矩阵相乘的运算，结果为单位矩阵。
40% LSMR迭代最小二乘法时间减少50% 新的Reconstruction SVD算法——使用SVD来估算丢失的数据，比mean imputation方法好约30% 稀疏矩阵运算速度提高50％——并行化.../wiki/Matrix_chain_multiplication Element Wise矩阵乘法将复杂度从O(n^3)降低到O(n^2)：https://en.wikipedia.org/wiki.../Hadamard_product_(matrices) 将矩阵运算简化为Einstein Notation：https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_notation...尽可能使用 Einstein Notation和Hadamard Products。 仅计算需要计算的内容（计算矩阵对角线，而不是整个矩阵）。...访问旧算法和令人兴奋的新算法 矩阵补全算法——非负最小二乘法，NNMF 批相似性隐含狄利克雷分布（BS-LDA） 相关回归（Correlation Regression） 可行的广义最小二乘法FGLS
rate 学习速率 forward pass 前向传导 hypothesis 假设值 error term 残差 weighted average 加权平均值 feedforward pass 前馈传导 Hadamard...product 阿达马乘积 forward propagation 前向传播 off-by-one error 缺位错误 bias term 偏置项 numerically checking 数值检验...non-convex optimization problem 高度非凸的优化问题 conjugate gradient 共轭梯度 diffusion of gradients 梯度的弥散 Greedy layer-wise...training 逐层贪婪训练方法 autoencoder 自动编码器 Greedy layer-wise training 逐层贪婪训练法 Stacked autoencoder 栈式自编码神经网络...prior probability 先验概率 source features 源特征 the energy function 能量函数 regularized 正则化 least squares 最小二乘法
这个表达式在实际中非常有用，因为许多矩阵库都能提供快速的矩阵乘法，向量加法和向量化。 我们间接的计算 ? image.png 这个值非常有用，我们将zl命名为：网络l层的加权输入。...Hadamard乘积s⊙t 后向传播算法是基于通用的线性代数运算——就像向量加法，矩阵乘向量等等。但是有一个操作平常很少用到。...特别的，假设s和t是相同维数的两个向量，那么我们使用s⊙t来表示两个向量元素级的乘法。 ? image.png 这种元素级的乘法有时叫做 Hadamard乘积或者Schur乘积。...我们将把它叫做Hadamard乘积。好的矩阵库一般都能提供Hadamard乘积的快速实施，因此在实施后向传播时候就非常方便。...image.png 我们给这个值取了个名字叫敏感度矩阵，或者误差矩阵！ ?
训练Transformer的所有高消耗的线性运算，都可以写在矩阵乘法（MM）的形式中。...为了抑制异常值，他们提出了Hadamard量化器，它会对激活矩阵的变换版本进行量化。这种变换是块对角Hadamard矩阵，它将离群值中携带的信息传播到矩阵的邻近条目，从而缩小了离群值的数值范围。...Transformer中的所有线性运算都可以写成矩阵乘法(MM)的形式。 为了便于表述，本文考虑以下简单矩阵乘法的加速： 这种MM的最主要用例是全连接层。...Hadamard量化 我们提出了Hadamard量化（HQ）来解决异常值问题。 其主要思想是将另一个具有较少异常值的线性空间中的矩阵进行量化。...激活矩阵中的异常值形成了一个特征结构（feature-wise structure）。 他们通常集中在几个维度上，也就是说X中只有几列显著大于其他列。
上一章PNN用到了向量内积外积来提取特征交互信息，总共向量乘积就这几种，这不NFM就带着element-wise(hadamard) product来了。...DSXiangLi/CTR NFM NFM的创新点是在wide&Deep的Deep部分，在Embedding层和全联接层之间加入了BI-Pooling层,也就是Embedding两两做element-wise...乘积得到 (N*(N-1)/2) 个 (1*K) 的矩阵然后做sum_pooling得到最终 (1*k) 的矩阵。...虽然一个是element-wise product一个是inner product,但区别其实只是做sum_pooling时axis的差异。...注意力部分是一个简单的全联接层，输出的是 (N(N-1)/2) 的矩阵，作为sum_pooling的权重向量，对element-wise特征交互向量进行加权求和。
量子化学计算中除了有大量的线性代数矩阵运算，也有一些张量计算。这些常见的张量计算出现在Fock算符构建、DIIS以及能量对坐标的一、二阶导数上。...常见的例子 矩阵的迹 我们有方阵 A，现在想求它的迹tr(A)。 ? 注意，此时求和结果是个数字(零维张量)没有下标，我们要把箭头右侧留空。...矩阵乘法 矩阵乘法也可写为Einstein notation。例如我们有A、B两个矩阵，它们做矩阵乘法(matrix multiplication)得到C, ?...其他的例子，如叉积、Hadamard积、张量转置然后乘积等等都能用einsum方便计算。 3. 量子化学中的举例 在构造Fock算符中，我们会遇到如下运算， ?...上式是Coulomb对Fock的贡献，它几乎无法转化为矩阵乘法运算，我们只好写循环嵌套，Fock算符的构造比较耗时。Dkl是密度矩阵的矩阵元，(ij|kl)是双电子积分，它是一个四维数组的矩阵元。
上式是l层第j个单个神经元的输出表达式，如果用矩阵来表示某一层所有神经元的输出的话，形式会更加的简单和优美： ? 上式表示了l层神经元的输出与输入（也就是上一层神经元的输出）之间的关系。...为了对上式的矩阵操作看的更加清晰，仍用之前的3层感知器网络举例。 ?...3层感知器 简单回顾下矩阵的乘法的行列约束：Alm·Bmn=Cln，即一个l行m列的矩阵A与一个m行n列的矩阵B相乘，那么结果矩阵C是l行n列。 套用al的公式，计算a2(第二层输出)： ?...推导前的两个准备 Hadamard乘积 在BP1与BP2中都用到了一个符号“⊙”，它连接两个矩阵完全相同的矩阵，表示Hadamard（哈达玛）乘积。...它的运算规则非常的简单（仅次于矩阵加减法），就是两矩阵的对应元素相乘。一个例子： ? Hadamard乘积 链式求导法则 ?
ajl 上式是l层第j个单个神经元的输出表达式，如果用矩阵来表示某一层所有神经元的输出的话，形式会更加的简单和优美： ?...为了对上式的矩阵操作看的更加清晰，仍用之前的3层感知器网络举例。 ?...3层感知器 简单回顾下矩阵的乘法的行列约束：Alm·Bmn=Cln，即一个l行m列的矩阵A与一个m行n列的矩阵B相乘，那么结果矩阵C是l行n列。 套用al的公式，计算a2(第二层输出)： ?...推导前的两个准备 Hadamard乘积 在BP1与BP2中都用到了一个符号“⊙”，它连接两个矩阵完全相同的矩阵，表示Hadamard（哈达玛）乘积。...它的运算规则非常的简单（仅次于矩阵加减法），就是两矩阵的对应元素相乘。一个例子： ? Hadamard乘积 链式求导法则 ?
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