特殊毕达哥拉斯三元组 毕达哥拉斯三元组是三个自然数a < b < c组成的集合，并满足 a2 + b2 = c2 例如，32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52。...有且只有一个毕达哥拉斯三元组满足 a + b + c = 1000。求这个三元组的乘积abc。
欧拉计划提供了几百道由易到难的数学问题，你可以用任何办法去解决它，当然主要还得靠编程，但编程语言不限，已经有Java、C#、Python、Lisp、Haskell等各种解法，当然直接用google搜索答案就没什么乐趣了...在欧拉计划的官网上注册账号后，如果得出了某题的正确答案，可以在论坛里参与相关的讨论，看看其他人的解题思路和源代码，获得一些灵感。 ?...素数 欧拉是一个数学家，所以欧拉计划中题型以数学题为主，而其中与素数有关的问题特别多。...第39题 直角三角形 第42题 编码三角形数 第44题 五边形数 第45题 三角形数、五边形数和六角形数 主要的语法或算法： 字符与ASCII码的转换 一元二次函数的求根公式 第十二部分 密码学 这里有两道初级的黑客问题...但它的局限性也是显然的，实际的软件项目中几乎很难遇到素数判断、质因子、大整数以及全排列生成的这些算法。
文章目录 欧拉函数的内容 一、欧拉函数的引入 二、欧拉函数的定义 三、欧拉函数的性质 四、欧拉函数的计算方法 （一）素数分解法 （二）编程思维 1.求n以内的所有素数 2.求φ(n) 3.格式化输出...全部原根 （三）应用三：RSA算法 测试 （一）termcolor库的使用 （二）全局变量和局部变量 欧拉函数的内容 欧拉函数的引入 欧拉函数的定义 欧拉函数的基本性质 欧拉函数的计算方法 欧拉函数的相关定理以及证明...函数表： 三、欧拉函数的性质 当p是素数时，φ§=p-1。 欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数。...四、欧拉函数的计算方法 （一）素数分解法 1.对于一个正整数N的素数幂分解N=P1q1P2q2…Pnqn，其中，Pi为素数（1≤i≤n)。...（七）定理7：欧拉函数的一般计算方法 对于一个正整数n的素数幂分解n=P1q1P2q2…Pnqn，其中，Pi为素数（1≤i≤n)，则φ(n)=n(1-1/P1)…(1-1/Pn).
欧拉猜想 欧拉猜想是欧拉提出的对费马最后定理引出的猜想，欧拉猜想每个大于2的整数n，任何n- 1个正整数的n次幂的和都不是某正整数的n次幂，1966年L. J. Lander和T. R....1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，提出了一个猜想：任何一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和，即77=53+17+7；又如461可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。...即发现“任何大于5的奇数都是三个素数之和。” 1742年6月30日欧拉先生给哥德巴赫回信了：这个命题看来是正确的，但是暂给不出严格的证明。...同时欧拉对上述命题做了修改：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。这个欧拉版本是现在常见的猜想陈述，当然，他到死也没能给予证明。 大数学家没能解决的问题，当然吸引人。...欧拉纪念邮票 欧拉在研究费马最后定理（前面提到的费马猜想）时引出一个猜想，每个大于2的整数n，任何n- 1个正整数的n次幂的和都不是某正整数的n次幂。即 ? 比如，当n=4时，即 ?
为欧拉函数） 质数和素数 质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。...比如12=223那么φ（12）=12（1-1/2）(1-1/3)=4 特例 若n是质数p的k次幂， ? ，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。...一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下： 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？...即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。...公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三 ，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。
定义 欧拉函数ϕ(n)是不超过n且和n互质的正整数的个数。...定理1 对于素数p，ϕ(p)=p−1。 定理2 ϕ(pn)=pn−pn−1，因为素数幂pn不互质的只有p的倍数，一共有pn/p=pn−1个。...定理3 若m、n互质，ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)，所以欧拉函数是积性函数。 因为mn互质，和m互质的数乘上和n互质的数就会和mn互质。...定理4 设n=p1a1p2a2...pkak为正整数n的素数幂分解，那么ϕ(n)=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)。...对于素数p，ϕ(p)=p−1，大于2的素数是奇数，那么它的欧拉函数就是偶数。
埃拉托斯特尼(Eratosthenes)筛法 问题：多个输入，问关于素数相关的问题。 如果用上述方法肯定爆。多组输入的最好解决办法是打表。...而欧拉筛在埃氏筛的基础上进行优化，达到O(n)的复杂度。...所以一个数被分解到最后都是素数的次幂相乘！很重要！这样能够省的更多的时间。可以参考素数筛模板。...求欧拉函数代码的方式：直接求和打表 欧拉函数的作用：一个数n，求小于n的互质的个数。...所以解题思路大致有两个： 欧拉函数的角度： 欧拉是最明显的，要找出大于这个数最小的那个phi[i],如果==单个欧拉函数求会TL==所以需要欧拉打表。
✨欧拉函数 在C语言中，可以使用算法来计算欧拉函数（Euler's Totient Function）。欧拉函数，也被称为φ函数，用于计算小于或等于给定数字n的正整数中与n互质的数的个数。...以下是一个用C语言编写的计算欧拉函数的示例代码： #include int gcd(int a, int b) { if (b == 0) return a...最后，程序输出计算得到的欧拉函数值。可以运行上述代码，输入一个正整数，程序将计算并输出该数的欧拉函数值。...表示： 定义：1～n中与n互质的数的个数 求欧拉函数 : int phi(int x) { int res = x; for (int i = 2; i <= x / i; i ++...: int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数,cnt存储每个素数的下标 int euler[N]; // 存储每个数的欧拉函数 bool st[N]; // st[x
id=2478 求欧拉函数的模板。 初涉欧拉函数，先学一学它主要的性质。 1.欧拉函数是求小于n且和n互质(包含1)的正整数的个数。 记为φ(n)。 2.欧拉定理：若a与n互质。...那么有a^φ(n) ≡ 1(mod n),经经常使用于求幂的模。 3.若p是一个质数,那么φ(p) = p-1。注意φ(1) = 1。...4.欧拉函数是积性函数： 若m与n互质，那么φ(nm) = φ(n) * φ(m)。 若n = p^k且p为质数，那么φ(n) = p^k – p^(k-1) = p^(k-1) * (p-1)。...6.基于素数筛的求欧拉函数的重要根据： 设a是n的质因数，若(N%a == 0 && (N/a)%a == 0) 则 φ(N) = φ(N/a)*a; 若(N%a == 0 && (N/a)%a !...该题就是基于性质六，在线性时间内求欧拉函数。
问题：求[L, R]中K ( 假设φ(n)表示1..n-1中与n互质的数的个数。...解：用欧拉函数求解 φ(n)，一般被称为欧拉函数。其定义为：小于n的正整数中与n互质的数的个数。 ...，则 φ(n) = n – 1 这是显然的 (3) 若n = p^k，p为素数（即n为单个素数的整数幂），则φ(n) = (p-1)*p^(k-1) n 是 p 的整数幂，因此所有...，就可以得到递推求解φ(n)的算法： isPrime[] = true primeList = [] phi = [] // phi[n]表示n的欧拉函数 primeCount = 0 For i...){ int l,r,min=N-1; cin >> l >> r; for(int i=0;i<=r;i++){ ou[i]=i; } //求欧拉函数
比如 12=223】 定理： 若 n 是素数 p 的 k 次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了 p 的倍数外，其他数都跟 n 互质 欧拉函数是积性函数——若 m...,n 互质，φ(mn)=φ(m)φ(n) 特殊性质： 当 n 为奇数时，φ(2n)=φ(n) p 是素数，φ(p) = p - 1，φ(p) 称为 p 的欧拉值 若 a 为素数，b mod a=0,φ(...是当前素数个数；phi[i] 为欧拉函数 int make() { phi[1]=1; for (int i=2;i<=n;i++) { if (!...，我们要求出数 Ni 的欧拉函数值不小于 Ai。...给定一个数的欧拉函数值ψ(N)，我们怎么样才能求得最小的 N? 我们知道，一个素数 P 的欧拉函数值ψ(P)=P-1。
可能有同学已经发现了，这个不就是欧拉函数的定义吗，所以今天我们从数学上来分析如何快速求解。 03 欧拉函数 欧拉函数定义如下： 欧拉函数具有几个优秀的性质，先介绍几个常用的数学符号，便于描述。...3.1 性质1 当n为素数时，很明显phi(n)=n-1，因为所有小于n的数都与n互素。 当n为某个素数p的幂次时，即n=p^k，则与n不互素的一定为p的倍数。...3.2 性质2 欧拉函数是一个积性函数，当整数m,n互素时，phi(mn)=phi(m)*phi(n)。...04 计算 有了这2个性质就可以推导出欧拉乘积公式。 接下来就只需要考虑如何对n进行质因素分解。 最简单的方式可以直接枚举，先找到最小的质因子p1，然后除去所有p1因子，再对剩余的数继续分解。...数论是一个大类，在很多地方都有重要的应用，而素数在密码学中应用也很广泛，今天分享的算是数论入门的一个介绍，后面还会分享更多有关数论的知识。 本文原创作者：小K，一个思维独特的写手。
例如，15＝3×5，所以15不是素数 13除了等于13×1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数 1不是质数，也不是合数 公约数只有1的两个数，叫做互质数。...欧拉函数 任意给定正整数n，计算在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示....p )φ( q ); 2.当p为质数，φ( p )=p-1 所以有φ(n)=(p-1)(q-1) 欧拉定理与模反元素 欧拉函数的用处，在于欧拉定理 “欧拉定理”指的是: 如果两个正整数a和n互质...，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的等式成立： a^φ(n)≡1(modn) 也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1 模反元素的推导过程如下: 根据欧拉定理，有： a^φ(n) = a ×...,c求明文的算法 代码如下： import gmpy2 I = gmpy2.invert(q,p) mp = pow(c,dp,p) mq = pow(c,dq,q) #求幂取模运算
第三步，求欧拉函数φ(n)。 任意一个正整数n，在小于等于n的正整数中有多少个数与n构成互质关系？计算这个值的方法叫做欧拉函数。...第五步，求模反元素d 什么是模反元素，如果两个整数e和x互质，那么一定可以找到整数d，使得e*d-1被x整除，这里的x就是我们的欧拉函数。 d的取值也不唯一。...，如果除了1和它本身以外，不能被其他正整数整除，就叫素数 2 计算公共模数 n = p*q 3 欧拉函数 φ(n) = (p-1)(q-1) 4 计算公钥e 1问题，当程序计算步骤6和7的时候，尽管选用了很小的两个素数，尽管是longlong类型，但这依旧无法保证数据不溢出（准确的说是基本上数据都会溢出），在java里面应该有对应的大数处理...我本来是想使用字符类型来保存加密后的字符的，但是一个字符最多255位，图中经过加密的字符在选取的数极小的情况下就可能会超过255，当选取的素数极大时，必然是直接截断，应该这个问题，还耽误了很长时间，所以图中加密字符的显示是改用整形变量来保存的
Diffie和Martin Hellman的思想）；然后阐述如何利用不同的加密秘钥和解密秘钥实现加解密流程，这是RSA算法工作的核心部分；接着介绍其背后的数学原理并证明算法的正确性，主要涉及基础数论知识（例如欧拉函数...，费马定理，欧拉定理等）；为了使算法更具有操作性，还介绍了如何利用”反复平法”算法进行快速的计算幂取模，从而快速的进行加解密运算，以及算法中涉及到其他参数选取（例如大素数p,q选取，e和d的选取和计算）...四、数学原理 要证明Bob能够解密得到明文M，需要用到一点简单的基础数论知识，例如欧拉函数，费马定理，欧拉定理，不过这些知识都是比较容理解的，之前已经梳理过这方面的知识，见现代密码学中的数论基础知识梳理...（1）当M与n互质时，由欧拉定理得： M^{\phi (n)}\equiv M^{(p-1)(q-1)}\equiv 1\;(mod\;n) 简单等价变换得： (M^{\phi (n)})^{k}\cdot...数字签名涉及两个问题：首先消息的接受者要能够确认消息来源，也就是确认该消息确实是所期望的人发送的；其次接受者也能够说服第三方来验证此消息确实是签名者发送的而并非是其他人伪造的签名，这样可以反驳发送者的否认行为
以上的5个例子都是素数，因此费马就断定都是素数。 那这个猜想到底对不对呢？很多数学家就开始证，直到1732年伟大的数学家欧拉否定了这一猜想，怎么否定的呢？因为当n=5时，有 ?...那有同学就会问了，就这么简单的一个问题，怎么会忽悠了数学家这么多年，因为质数分解这个问题一直都很难解决，直到今天也没有一个很好的方法。 事实上，n=5~11时，结果都不是质数 ?...比如： 13 % 4 = 1 2^2 + 3^2 = 13 29 % 4 = 1 2^2 + 5^2 = 29 这个猜想在1747年，也就是猜想提出来的137年后，被伟大的数学家欧拉证明是成立的...这个猜想也同样是被欧拉在1736年证明的，但后人在整理莱布尼茨的未发表的手稿时，发现他早在1683年用了几乎相同的方式证明了这个猜想。...基本上所有有名气的数学家都试图证明， 其中欧拉在1770年，也就是这个猜想提出来130年后，证明了n=3时定理成立；又过了55年， 高斯和热尔曼同时独立证明了费马大定理5次幂的成立。
欧拉函数 一、欧拉函数引入 二、欧拉函数的定义 三、欧拉函数一些公式，性质 四、三种求解方法 五、 题目 一、月月给华华出题 二、Poj2407（套用模板，简单题） 三、Poj2478（模板求和问题...二、欧拉函数的定义 定义： 欧拉函数φ(n)是一个定义在正整数集上得函数，φ(n)的值等于序列0，1，2，…，n-1中与n互素的数的个数。...三、欧拉函数一些公式，性质 p为质数,n为大于0自然数 φ( p)=p-1 欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数。...欧拉函数，欧拉定理，欧拉降幂 五、 题目 一、月月给华华出题 牛客：月月给华华出题 题目描述 因为月月是个信息学高手，所以她也给华华出了一题，让他求： ∑Ni=1igcd(i,N)∑i=1Nigcd...Poj2478（模板求和问题） Poj2478 模板求和问题 复杂度 O(nlogn) 类似筛法求素数 const int maxn = 1e6+7; ll euler[maxn]; ll ans[maxn
数论–康托展开与逆康托展开模板 数论–组合数（卢卡斯+扩展卢卡斯）模板 数论–Miller_Rabin判断素数 数论–中国剩余定理模板 数论–逆元（拓展欧几里得）模板 数论–逆元（费马小定理）模板...数学–数论–因子和线性筛 （模板) 数学–数论–随机算法–Pollard Rho 大数分解算法（纯模板带输出） 数学–数论–快速幂–最大公约数–位运算模板 线性筛求积性函数的模板 数学–图论–莫比乌斯线性筛模板...数学–数论—欧拉筛 模板 数学–数论–素数
而这其中最基础的问题就是前n个整数里，有多少个质数呢？ 关于这个问题，欧拉曾作出些贡献。欧拉考虑了这样一个乘法级数，取每个质数除以其自身减去1，然后相乘。...我觉得欧拉肯定也想过这个问题，但可能是他需要研究的问题太多了，忙不过来，欧拉最终没有提出质数定理的原型。 ...第三个，也最重要一点是欧拉乘积公式还能扩展，欧拉发现，公式中可以通过指数进行扩展，即： 而且欧拉和后来许多大数学家还发现x不但可以扩展到自然数，还可以扩展到全体实数甚至全体复数平面上。...黎曼猜想就是问黎曼 函数中，自变量x取什么样的值，函数值为0的问题。之前有听众问我为什么"黎曼猜想"蕴含有关质数分布的信息，从这个欧拉函数与黎曼 函数的关系中，可以看到其中的一些端倪。 ...素数最大间隔问题：前n个自然数中，相邻两个质数的最大间隔是多少？这个问题埃尔德什曾提出过一个猜想，并悬赏1万美元。具体内容可以听我之前的一期节目：“素数的邻居住多远？”
欧拉函数 欧拉函数， \varphi(n) ， \leq n 的与 n 互质的数的个数。...欧拉定理 费马小定理 若 p 为素数， \gcd(a,p) = 1 ，则 a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} ....欧拉定理 若 \gcd(a,m) = 1 ， a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m} 费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况，当 m 是素数时， \varphi(m) = m -...： \varphi(x) = \varphi(i) \times \varphi(j) = \varphi(i) \times (j-1) 将计算欧拉函数的式子塞到线性筛素数的框架中。...可以使用扩展欧拉函数减小指数，以简化计算。 先用质因数分解的方法求出 \varphi(m) ，时间复杂度 O(\sqrt{m}) . 随后边读边模，最后用快速幂求解即可。
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