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Python 解线性方程组

线性方程组是各个方程的未知元的次数都是一次的方程组。解这样的方程组有两种方法：克拉默法则和矩阵消元法。矩阵消元法矩阵消元法。...将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。...当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。这种方法适合手工解方程，通过编写程序来解方程这种方法基本行不通。...用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算 n+1 个 n 阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，...x 了，代码实现比上面那种方法简单太多了，一行代码就能求出解向量，代码如下： # 系数矩阵的逆*常数向量 x = inv(a)@b for i in range(5): print(f'x{i

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SOR迭代法解线性方程组

·数值算例对于下列的稀疏方程组，其精确解是X=[1,1,...,1]。 ?

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Jacobi迭代法解线性方程组

当线性方程组的规模比较大时，采用高斯消元法需要太多时间。这时就要采用迭代法求解方程组了。高斯消元法是一个O(n^3)的浮点运算的有限序列，在经过有限步计算之后理论上得到的是精确解(无舍入误差时)。...而迭代法在经过有限步迭代之后一般不产生精确解，迭代法在计算过程中逐渐减小误差，当误差小于容许值时停止迭代计算。方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵时，迭代总是收敛的。...继续迭代过程最终会收敛到解[1，2].这个迭代过程就是Jacobi迭代。对于方程组u+2v=5，3u+v=5，由于方程组的系数矩阵不是严格对角占优矩阵时，因此迭代不收敛。来看迭代过程： ?

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共轭梯度法解线性方程组

在n维的优化问题中，共轭梯度法最多n次迭代就能找到最优解（是找到，不是接近），但是只针对二次规划问题。

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Gauss-Seidel迭代法解线性方程组

系数矩阵是严格对角占优的，因此迭代将收敛到精确解[2，-1，1]。 Gauss-Seidel方法的Fortran程序 ?

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解线性方程组的直接法

解线性方程组的直接法 0. 问题描述 1. 消元法 1. 三角方程组 1. 对角方程组 2. 下三角方程组 3. 上三角方程组 2. Gauss消元法 3....问题描述这一章节考察的就是如何求解线性方程组： {...⎝⎜⎜⎛a11a12a22.........a1na2nann⎠⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎛x1x2...xn⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛b1b2...bn⎠⎟⎟⎞ 可以解得...{LyUx=b=y 分别解上述两个方程，即可得到最终的解： {...1l21ln11...ln2...1⎠⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎛d1d2...dn⎠⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎛1l121.........l1nl2n1⎠⎟⎟⎞ 此时，我们可以解得

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解线性方程组的迭代法

解线性方程组的迭代法 0. 问题描述 1. Jacobi迭代 1. Jacobi迭代方法 2. Jacobi迭代矩阵 3. Jacobi迭代收敛条件 4. python伪代码实现 2....问题描述这一章节要解的问题和上一章是一样的，依然还是元线性方程组的求解问题。...此时，如果满足收敛条件，那么就会收敛到的一组解当中，上述问题同样可以得到解答。 1. Jacobi迭代 1....逆矩阵的计算原则上来说其实算是上述解线性方程组的一个特殊应用，事实上解个单元向量然后将其解拼接一下就能得到我们的逆矩阵了。

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线性方程组

，只是此线性方程组与前面我们求解的线性方程组具有相同的解。...” 显然，求解线性方程组，即写出其增广矩阵，然后通过初等行变换化成阶梯形矩阵（包括最终的单位矩阵），从而得到原线性方程组的解。这种方法称为高斯（Gauss）消元法。...” 正如你所知，线性方程组的系数和常数项为有理数时，线性方程组的解有三种可能：无解、有唯一解、有无穷多个解。...否则，有解：若阶梯形矩阵的非零行数（用表示）等于未知量的数，即，则原方程组有唯一解；若$r 以上简要说明了利用矩阵求解线性方程组的方法，当然，这种方法是用手工计算完成的。...不妨对线性方程组的系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵：观察阶梯形矩阵可知，原线性方程组有解，且$r=3,n=4,r 这个解称为原线性方程组的一般解，其中称为自由变量。

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克莱姆法则应用_克莱姆和克拉默法则

克莱姆法则（由线性方程组的系数确定方程组解的表达式）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组。概念含有n个未知数的线性方程组称为n元线性方程组。...有唯一解，其解为记法2：若线性方程组的系数矩阵A可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组有唯一解，其解为其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式...，即记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。...推论 1）n元齐次线性方程组有唯一零解的充要条件是系数行列式不等于零，系数矩阵可逆（矩阵可逆=矩阵非奇异=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性无关）； 2）n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零...（一般没有计算价值，计算量较大，复杂度太高） 2.应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解： 1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解； 2）如果方程组无解或者有两个不同的解

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MATLAB非线性方程组解法全攻略

解决非线性方程组的难点在于，与线性方程组不同，它们往往没有解析解，或者解析解非常复杂，难以直接求得。这时，我们通常需要借助数值方法来获得近似解。...使用fsolve函数解非线性方程组fsolve是MATLAB中最常用的解非线性方程组的函数，它基于牛顿法或拟牛顿法等迭代算法。...但是这个方程组实际上有多组解！如果我们换一个初始猜测值x0 = [-1; -1]，就会得到另一组解：x ≈ -1.7321, y ≈ -0.5774。这也是非线性方程组的一个特点：可能存在多组解。...自定义牛顿法解非线性方程组有时候，为了更好地控制求解过程或者处理特殊的方程组，我们可能需要自己实现牛顿法。牛顿法的基本思想是通过线性近似和迭代来逼近非线性方程组的解。...：由于非线性方程组可能有多组解，或者在某些初始值下难以收敛，所以尝试多个不同的初始值是个好习惯。

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用Python的Numpy求解线性方程组

维基百科将线性方程组定义为：在数学中，线性方程组（或线性系统）是两个或多个涉及同一组变量的线性方程的集合。解决线性方程组的最终目标是找到未知变量的值。...在矩阵解中，要求解的线性方程组以矩阵形式表示AX = B。...该变量X包含方程式2的解，并输出如下： [ 5. 3. -2.] 未知数x，y和的值分别是5、3 z和-2。您可以将这些值代入公式2并验证其正确性。...使用solve（）方法在前两个示例中，我们使用linalg.inv()和linalg.dot()方法来找到方程组的解。...但是，Numpy库包含该linalg.solve()方法，该方法可用于直接找到线性方程组的解： print(X2) 输出： [ 5. 3. -2.] 您可以看到输出与以前相同。

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线性代数之线性方程组

线性方程组 1. 解的个数齐次线性方程组：只有零解：当系数矩阵的秩等于未知量的个数 n 时，即 rank()=rank(A)=n。...齐次线性方程组的解基础解系：齐次线性方程组的基础解系是指一组线性无关的解向量，使得所有解都能表示为这些向量的线性组合。...非齐次线性方程组的解解的结构：非齐次线性方程组的解集可以表示为一个特解加上齐次方程组的所有解。求解步骤：求特解：通过数值方法或符号计算求出一个特解 xp。...-0.5] 从上面的结果可以看出：对于齐次线性方程组，我们得到了两个特征值 4 和 2，以及对应的特征向量。特征向量代表了齐次方程组的解向量。...对于非齐次线性方程组，我们得到了未知量 x 的解为 [0.5,0,−0.5][0.5,0,−0.5]。

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线性代数知识汇总

解线性方程组的问题是最简单的线性问题。...定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 . 定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零....齐次线性方程组的相关定理定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零. 1....问题：什么是线性方程组的解的结构？...答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．

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用Python的Numpy求解线性方程组

维基百科将线性方程组定义为：在数学中，线性方程组（或线性系统）是两个或多个涉及同一组变量的线性方程的集合。解决线性方程组的最终目标是找到未知变量的值。...在矩阵解中，要求解的线性方程组以矩阵形式表示AX = B。...该变量X包含方程式2的解，并打印如下： [ 5. 3. -2.] 未知数x，，y和的值分别是5、3 z和-2。您可以将这些值代入公式2并验证其正确性。...使用solve（）方法在前两个示例中，我们使用linalg.inv()和linalg.dot()方法来找到方程组的解。...但是，Numpy库包含该linalg.solve()方法，该方法可用于直接找到线性方程组的解： print(X2) 输出： [ 5. 3. -2.] 您可以看到输出与以前相同。

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高斯消元

通过矩阵来解线性方程组。高斯消元最大的用途就是用来解多元一次方程组。...前置技能 1.线性方程组线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如 2 元 1 次方程组） 2.增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。...输出格式如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共行，其中第行输出第个未知数的解，结果保留两位小数。如果给定线性方程组存在无数解，则输出“ ”。如果给定线性方程组无解，则输出“ ”。...但是我们要考虑怎么使用代码来实现这个简单的过程先考虑解的情况线性方程组无非有三种情况（也可以根据矩阵的秩来判断）有唯一解无解无穷多组解无解的情况非常容易想到就是等号左边不等于等号右边了...无穷多组解的情况就是现有的方程组个数不足以解出当前所有的未知数剩下的情况不就是有唯一解的情况了吗！

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线性代数--MIT18.06(一)

即为方程组的解。...更确切的讲: 如果两条直线相交于一点，那么该方程组有且仅有一个解，即为交点的坐标；如果两条直线重合，那么说明这两条直线方程实际上是同一条直线，此时直线上的所有点的坐标均为方程组的解；如果两条直线平行但不重合...更确切的讲如果三个平面有且只有一个交点，那么此时方程组有且仅有一个解，即为交点坐标；如果三个平面相交于一条直线，那么这条直线上的所有点的坐标均为方程组的解；如果三个平面重合，那么平面上的点的坐标均为方程组的解...的解向量 ? 。现在，我们还有一个问题，线性方程组 ? 在什么情况下有解？首先我们考虑对于任意的 ? 维列向量 ? ，当 ? 变动时， ? 也在变动，当 ?...因此为了解得方程组的解，实际上就转化为求方程组的系数构成的矩阵 ? 的逆矩阵

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线性代数精华3——矩阵的初等变换与矩阵的秩

线性方程组的解我们理解了矩阵的秩的概念之后，我们现学现用，看看它在线性方程组上的应用。我们之前在介绍行列式的时候，曾经介绍过n元n个等式的方程组的解，可以用行列式表示。...我们利用系数矩阵A和增广矩阵B=(A,b)的秩，可以和方便地看出线性方程组是否有解。...可以取任意值，所以方程有无数解。上面写出的解的形式即是线性方程组的通解。齐次线性方程组如果我们将上面的线性方程组的常数项都置为0，就称为齐次线性方程组，如下： ?...时一定有解，称为方程组的零解。我们还通过增广矩阵来判断，写出来其实还是刚才一样的形式： ? 和非齐次线性方程组不同的是，我们可以断定 ? ，如此一来就不存在无解的情况。...线性方程组的解的公式和计算本身其实并不重要。因为在实际的算法领域，用到的也不多。

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非线性方程组求解迭代算法&图像寻初始值讲解

前段时间过冷水在学习中遇到了一个解非线性方程组的问题，遇到非线性方程组的的问题过冷水果断一如既往、毫不犹豫的 fsolve()、feval()函数走起，直到有人问我溯本求源的问题——非线性方程组求解算法...于是过冷水就去查了一下解非线性方程组的算法，觉得Newton-Raphson method算法针对我们的问题比较合适，本期过冷水就给大家讲讲该算法思路已知方程f(x)=0有近似根xk将函数f(x)在xk...这就是解一元非线性方程的牛顿迭代法公式，我们的问题是非线性方程组，需要把一元扩展到二元。...复杂的非线性方程组往往会存在多解的情况，用算法或者matlab自带函数很难一次性求出全部解，都是给出初始值附近的解（局部解），过冷水就行如果能够用三维图绘制出线性方程组的解区间示意图该多好。...两条两条线的交点就是该方程组的解。如图。 ? 图像代码如下：

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Python也能干大事

2.解线性方程组在Anaconda代码编辑区输入以下代码，按F5运行。当然，我们可以自己编写代码，比如用高斯消去法解线性方程组，输入以下代码，也能得到方程组的解。...PS：高斯消去法解线性方程组的算法可参考相关书籍文献。

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matlab高斯消元法求解线性方程组

高斯消元法的基本原理是通过一系列行变换将线性方程组的增广矩阵转化为简化行阶梯形式，从而得到方程组的解。其核心思想是利用矩阵的行变换操作，逐步消除未知数的系数，使得方程组的求解变得更加简单。...它可以减少舍入误差对计算结果的影响，保证所得到的解更加精确和可靠。...fprintf('matlab内置函数求逆求解\n'); xx=A^(-1)*b; disp(rats(xx)); diff=x-xx; stem(1:100,diff); 与matlab内置求逆的解相比

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