几何 从这一节开始涉及渲染器最为核心的灵魂，数学是一切魔法的开始。 三角形和三角剖分 在图形学中三角形的重要性已经没有必要去描述了。它的质性简单，可以让显卡的插值器更加简单高效的工作。...我们管这个过程叫三角剖分，可见三角剖分是联系复杂多边形和三角形之间的桥梁。 复杂的多边形 如何定义多边形？在计算几何里面也是一个比较麻烦的问题，常见的多边形可以是下图这样的。...对上面这个多边形进行硬件加速渲染，就需要对它进行三角剖分，如下图红色虚线构成的三角形网格。 这里有一个问题，类似于圆这样的“多边形”应该如何处理？...时至今日三角剖分算法已经是计算机图形学中一个成熟的话题了。常见的三角剖分算法比如 “Monotone”、“EarCut” 等等。...其中 Mapbox（一家专注以地图渲染的公司）就开源了一个袖珍精巧的基于“Earcut”的剖分算法。还有一些剖分算法对生成的三角形的形状具有有一定的约束，比如“符合德劳内的三角剖分算法”。
Build.cs中增加模块 // Fill out your copyright notice in the Description page of Proj...
今天对计算几何中的Voronoi多边形（即泰森多边形）和Delaunay三角剖分进行了学习，整理资料如下（摘自百度百科）。...用这个多边形内所包含的一个唯一气象站的降雨强度来表示这个多边形区域内的降雨强度，并称这个多边形为泰森多边形。如图，其中虚线构成的多边形就是泰森多边形。泰森多边形每个顶点是每个三角形的外接圆圆心。...定义 Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。...要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合两个重要的准则： 1、空圆特性：Delaunay三角网是唯一的（任意四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。...如下图所示： 2、最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则化的“的三角网。
题目 给定 N，想象一个凸 N 边多边形，其顶点按顺时针顺序依次标记为 A[0], A[i], ..., A[N-1]。 假设您将多边形剖分为 N-2 个三角形。...对于每个三角形，该三角形的值是顶点标记的乘积，三角剖分的分数是进行三角剖分后所有 N-2 个三角形的值之和。 返回多边形进行三角剖分后可以得到的最低分。...示例 1： 输入：[1,2,3] 输出：6 解释：多边形已经三角化，唯一三角形的分数为 6。 示例 2： ?...输入：[3,7,4,5] 输出：144 解释：有两种三角剖分， 可能得分分别为：3*7*5 + 4*5*7 = 245， 或 3*4*5 + 3*4*7 = 144。 最低分数为 144。...示例 3： 输入：[1,3,1,4,1,5] 输出：13 解释：最低分数三角剖分的得分情况为 1*1*3 + 1*1*4 + 1*1*5 + 1*1*1 = 13。
题目描述 给定 N，想象一个凸 N 边多边形，其顶点按顺时针顺序依次标记为 A[0], A[i], ..., A[N-1]。 假设您将多边形剖分为 N-2 个三角形。...对于每个三角形，该三角形的值是顶点标记的乘积，三角剖分的分数是进行三角剖分后所有 N-2 个三角形的值之和。 返回多边形进行三角剖分后可以得到的最低分。...输入： [3,7,4,5] 输出： 144 解释： 有两种三角剖分，可能得分分别为：3*7*5 + 4*5*7 = 245，或 3*4*5 + 3*4*7 = 144。最低分数为 144。...示例3 输入： [1,3,1,4,1,5] 输出： 13 解释： 最低分数三角剖分的得分情况为 1*1*3 + 1*1*4 + 1*1*5 + 1*1*1 = 13。...这样的话，多边形 就会出现两条内边，那么这种多边形就很难用简单的二维状态来表示了，程序中很难实现。 最后就能用二维动态规划来递归求解了。用 表示多边形 ，其中只有 是内边。
概述 对于平面上的点集，通过Delaunay三角剖分算法能够构建一个具有空圆特性和最大化最小角特性的三角网。...空圆特性其实就是对于两个共边的三角形，任意一个三角形的外接圆中都不能包含有另一个三角形的顶点，这种形式的剖分产生的最小角最大。...利用这个特性，可以将一个多边形剖分成Delaunay三角网，开源工具CGAL就正好提供了这个功能。 2....关于网格化以及三角网剖分，在CGAL中提供了非常详尽繁复的解决方案，我这里选择了CGAL::refine_Delaunay_mesh_2这个接口，这个接口能够将多边形区域构建成一个Delaunay三角网...并且会形成边界密集，中间稀疏的网格效果。在一些图形、图像处理中，会用到这种自适应网格（Adaptive Mesh）。 4. 参考 Delaunay三角剖分学习笔记
这几天学习了一下树链剖分，顺便写一下我的理解、 早上看了一下别人的讲解，云里雾里，终于算是搞懂了、 树链剖分是解决在树上进行插点问线，插线问点等一系列树上的问题 假如现在给你一棵树，然后没两条边之间有一条权值...那么我们就可以在线段树上进行操作了，树链剖分就是这样的一个算法。...当然编号不是简单的随便编号，如果我们进行随便的编号，然后建立一个线段树，如果要更新一个边的权值，是log2（n）的复杂度，而查找的话，我们要枚举x--y的之间的所有的边，假如我们随便以一个点为根节点进行编号...那么就要想想办法了，我们能不能把x--y之间的一些边一块儿查找，这就是关于树链剖分的重边和轻边， 重边：某个节点x到孩子节点形成的子树中节点数最多的点child之间的边，由定义发现除了叶子节点其他节点只有一条重边...所以这样查找的时间复杂度相当于log2（n） 其实树链剖分就是把边哈希到线段树上的数据结构。 实现的话很简单，用两个dfs处理数数的信息，重边以及轻边，然后就是一些线段树的操作了。
点集合的三角剖分是指如何将一些离散的点集合组合成不均匀的三角形网格，使得每个点成为三角网中三角面的顶点。...在实际工作中，使用最多的三角剖分是Delaunay三角剖分。通过Delaunay三角剖分算法能够构建一个具有空圆特性和最大化最小角特性的三角网。...空圆特性其实就是对于两个共边的三角形，任意一个三角形的外接圆中都不能包含有另一个三角形的顶点，这种形式的剖分产生的最小角最大。...这些特性可能有些难以理解，但是我们可以先谨记一点：Delaunay三角网是一种特性最优的三角剖分。...比如这里的构建Delaunay三角网，并没有新的点对象生成出来，只是对点集进行了组织，点还是原来哪些点，并没有变化。
其每一个边都将整个2D屏幕划分成为左右两边，连接每一边的第一个端点和要测试的点得到一个矢量v，将两个2维矢量扩展成3维的，然后将该边与v叉乘，判断结果3维矢量中Z分量的符号是否发生变化，进而推导出点是否处于凸多边形内外...泰森多边形是对空间平面的一种剖分，其特点是多边形内的任何位置离该多边形的样点（如居民点）的距离最近，离相邻多边形内样点的距离远，且每个多边形内含且仅包含一个样点。...由于泰森多边形在空间剖分上的等分性特征，因此可用于解决最近点、最小封闭圆等问题，以及许多空间分析问题，如邻接、接近度和可达性分析等。 ? 也就是我们常说的Voronoi图，百度讲的也比较清楚。...最常用的生成方法是Delaunay 剖分方法。TIN在表示复杂表面方面具有许多优越性，国面被广就应用于数字制用、地用表面的模型化及分析以及LIS中。...分形作为一类例证，为数学理论与实践中所蕴涵的美，给出了一类精彩的注记。充分反映了数学科学中的简单、和谐、统一的内涵！
拆分为三角形的过程被称为三角剖分，常用的三角剖分算法是耳切法（Ear Clipping），比较成熟的方案是Mapbox的earcut，对于有 公式 个顶点的多边形，其时间复杂度为 公式 ，值得注意的是，...三角剖分的解可能是不唯一的，任何一种剖分方式都能够渲染得到面，但细小的三角形更容易使面中的同一像素绘制多次，造成过度绘制(Overdraw)，因此根据多边形特征做一些剖分次序的调整可以作为一个优化点。...[ea28ed7c940c4022bc97cabe8d622915~tplv-k3u1fbpfcp-watermark.image] 对于非简单多边形，使用三角剖分只能得出较为满意的结果，但不能保证其正确性...从下图四个顶点构成的非简单多边形的三角剖分结果可以看到，多边形渲染时会丢失顶点并且产生错误的三角形，无法还原数据真实情况。...2、根据多边形计算外接矩形，减少细节 3、根据三角剖分结果剔除多余顶点，重新生成简单多边形 以上三个方案对于多边形的细节保留由少到多，但并不是完全还原真实数据。
（此点不一定在多边形内部），然后将平面多边形进行三角剖分, 然后平面多边形的面积就等于剖分出来的三角形的面积之和. ?...正确的姿势应该是首先将n个顶点的多边形（可以凸，可以凹）剖分成 n 个三角形. 例如下图 ?...三维多面体的体积和重心 有了前面多边形的面积和重心的学习，我们立刻知道了，要考虑三维多面体的体积（确切讲，是有向体积）和重心，同样是三角剖分，当然，既然到了三维空间，所谓的三角 指的就是四面体，而非三角形了...受平面多边形的三角剖分启发，可以选定空间中任意一点 O 作为所有四面体的一个顶点——当然，你可以选择 O 为坐标原点，这样的好处是 4 阶行列式蜕化为 3 阶的行列式....但是这样的话，剖分出来的是底面为平面多边形（可能不是三角形）的多棱锥. 例如下图是五棱锥 O-ABCDE ? 所以要进一步将平面多边形（上图中的 ABCDE） 做三角剖分.
应用：人脸检测的核心技术 代码： #include #include #include ...\n"; } //画出三角剖分的顶点 static void draw_subdiv_point( Mat& img, Point2f fp, Scalar color ) { circle(...img, fp, 3, color, FILLED, LINE_8, 0 ); } //画出三角剖分的边 static void draw_subdiv( Mat& img, Subdiv2D& subdiv...it++) { subdiv.insert(*it); Mat img_copy = img_ori.clone(); // 画三角剖分
2D约束三角剖分，2D和3D Delaunay三角剖分； （2）Voronoi图。2D和3D的点，2D加权Voronoi图，分割Voronoi图等； （3）多边形。...二维多边形2D Polygons 这个包定义了二维多边形类的基本概念和数据结构，提供了多边形的构建，并提供了相关操作，比如边界框、极值点、有符号区域、简单性和凸性测试、方向和点位置。...任何CGAL三角剖分都覆盖其顶点的凸包。三角形是增量构建的，可以通过插入或删除顶点进行修改。包提供了简单的三角剖分(其面取决于顶点的插入顺序)和Delaunay三角剖分。...包充当三角剖分顶点和面的容器，并提供三角剖分的基本组合操作。 二维周期性三角剖分2D Periodic Triangulations 这个包允许在二维平面环面上构建和处理点集的三角关系。...包提供了简单的三角剖分(其面取决于顶点的插入顺序)和Delaunay三角剖分。还提供了加权点集的规则三角剖分。Delaunay和规则三角剖分提供了最近邻查询和原语来构建双Voronoi和power图。
这是跟很简单的计算，对比点坐标和矩形四个角的坐标就行了。...所以在 Canvas 2D 技术领域也通常会借鉴 WebGL 的实现方案，即通过数学方法判断一个点是否位于一个不规则多边形内。...以一个简单图形举例： 上图中的六边形是由四个三角形组成，前端从服务端拿到的数据一般只包括六边形的6个顶点坐标，即v1 - v6，而且这6个坐标点是按照顺时针排列（如果有hole，则hole的顶点是逆时针排列...），如下： [v1,v2,v3,v4,v5,v6] 前端拿到顶点数组后需要使用三角剖分算法将其切割成4个三角形，最后才给到 WebGL 绘制。...当然也不排除有的技术团队在数据制备阶段就进行了三角剖分，但这么干的比较少，因为剖分后数据量会增长很多，会带来额外的存储成本和网络通信耗时。 如果多边形的某条边是曲线怎么办？ 这是一个伪命题。
一：三角剖分概念（Triangulation） 三角剖分最早是俄国数学家Delaunay提出来的，而他获得博士学位时候的老师是Georgy Voronoy，是维诺图概念的提出者，而且维诺是马尔可夫的学生...其基本思想就是对任意多的点，分割为多个三角形，任意一个三角形的外接圆都不应该包含其它顶点，如果包含则继续寻找组合，直到所有点满足此条件，最终得到的多个三角形就是三角剖分，三角剖分在人脸特征迁移、人脸合成与交换...、图像合成与分割等方面应用广泛，最常见的就是通过三角剖分实现合成显示如下： ?...二：OpenCV中相关API支持 Subdiv2D对象是OpenCV中用来生成三角剖分，并且获取三角剖分全部三角形的工具类，主要方法如下： - Subdiv2D subdiv // 定义三角剖分 - initDelaunay... &triangleList); // 获取三角形数据 三：OpenCV基于人脸的三角剖分实现 现在很多人脸识别演示场景都支持实时绘制人脸的三角剖分之后的全部三角形，感觉是非常的帅，特别是大屏投影显示
该图的核心算法就是 Delaunay三角剖分. 这种低多边形的成像效果在现代游戏设计中越来越被喜欢，其中的低多边形都是由三角形组成的。于是我们来学习一下....【定义】Delaunay三角剖分：如果 T 只包含Delaunay边，那么T被称为Delaunay三角剖分. 来张图直观体会一下三角剖分 上图左边的离散点集 V 的 三角剖分 就是右边....所以Delaunay三角剖分其实并不是一种算法，它只是给出了一个好的三角剖分的定义 为了方便，除非特别声明，否则下文提及的三角剖分指的就是 Delaunay三角剖分 三角剖分和其他问题的联系....MapInfo 软件能使得基站覆盖面积的估算变得就像操作简单的 excel 那样简单. 而且，泰森多边形给出了一种估算，或者说衡量点集的分布类型——或者说聚集类型....然后进一步就得到了 Voronoi图 的一个多边形. 最后，我们来研究一下 三角剖分 的具体算法. 因为前面说了，三角剖分 并不是一个实际的算法，而仅仅是一个较美的三角剖分的定义而已.
GPU ≠ WebGL ≠ 2D WebGL 是浏览器上的 OpenGL 需要一定计算机图形学基础和线性代数基础 # Modern Graphics System 光栅（Raster）...的并行处理有上限 GPU 的优势在于：GPU 的计算量处理能力不大，但是 GPU 中的所有计算都可以并行处理 因为图形渲染的像素处理数量一般都是非常大的，但是每个像素的计算量却不大，所以 GPU 处理图形渲染就非常有优势...fragmentShader); gl.linkProgram(program); gl.useProgram(program) ; # Data to Frame Buffer 如何创建一个三角形...—Mesh.js # Polygons 如何绘制一个多边形？...三角剖分 可以使用 Earcut 库进行三角剖分 # 3D Meshing 一般来说，3D 的模型是在设计软件里先设计好再导出，而不是像 2D 一样实时计算 # Transform # 3D Matrix
凸多边形的三角剖分是指将一个凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合。...例如图4-56的一个三角剖分是{ v0v4，v1v3，v1v4}，另一个三角剖分是{ v0v2，v0v3，v0v4}，一个凸多边形的三角剖分有很多种。 ?...一个凸多边形的三角剖分有很多种，最优三角剖分就是划分的各三角形上权函数之和最小的三角剖分。...最优三角剖分的各三角形权值之和实际上是凸多边形周长+2倍的弦值之和，在周长一定的情况下，各三角形权值之和最小，弦值之和一定最小，因此该问题可以归结为凸多边形的最优三角剖分问题。...先求只有三个顶点凸多边形三角剖分的最优值，再求四个顶点凸多边形三角剖分的最优值，…，一直到n个顶点凸多边形三角剖分的最优值。 4.构造最优解。
CGAL (Computational Geometry Algorithms Library) CGAL是一套开源的C++算法库，提供了计算几何相关的数据结构和算法，诸如三角剖分（2D约束三角剖分及二维和三维...Delaunay三角剖分），Voronoi图（二维和三维的点，2D加权Voronoi图，分割Voronoi图等），多边形，多面体（布尔运算），网格生成（二维Delaunay网格生成和三维表面和体积网格生成等...CGAL功能非常强大，是我们学生做科研的必备程序库之一。 但需要较强的C++代码掌控能力，特别是基于C++ Template的开发。...CGAL CGAL系大名鼎鼎的计算几何算法库，采用C++语言，代码中大量使用模板，相对比较难读。可以支持float, double, CORE的高精度或者gmp等任意精度库。...采用Setup.exe默认不勾选文档，如果安装后没有文档，可下载后缀为 doc_html.zip 的压缩包解压覆盖同目录 doc_html 文件夹。
# 用三角剖分和向量操作描述并处理多边形 多边形可以定义为由三条或三条以上的线段首尾连接构成的平面图形，其中，每条线段的端点就是多边形的顶点，线段就是多边形的边。...因此，在 WebGL 中填充多边形的第一步，就是将多边形分割成多个三角形。这种将多边形分割成若干个三角形的操作，在图形学中叫做三角剖分（Triangulation）。...针对 3D 模型，WebGL 在绘制的时候，也需要使用三角剖分，而 3D 的三角剖分又被称为网格化（Meshing）。...因为 3D 模型比 2D 模型更加复杂，顶点的数量更多，所以针对复杂的 3D 模型，一般不在运行的时候进行三角剖分，而是通过设计工具把图形的三角剖分结果直接导出进行使用。...直接通过点与几何图形的数学关系来判断点是否在图形内。可以把视角放在最简单的多边形，也就是三角形上。如果要判断一个点是否在任意多边形的内部，只需要在判断之前将它进行三角剖分就可以了。
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