[cpp] view plain copy /***先输入n，m，再输入m个三元组，n为路口数，m表示有几条路其中1为商店，n为赛场，三元组分别表起点，终点，该路径长，输出1到n的最短路径**...s最近的顶点v加入到P中。...先采用邻接矩阵解决此题，再使用邻接表解决此题，两种方法的思路都一样：初始化邻接矩阵或邻接链表，并 初始化最短路径数组dst —-> n-1轮边的松弛中，先找到离新源点最近的中心点u，之后根据中心点u为转折点来更新路径数组...next成员，而涉及到权值加减时时需要使用邻接表中的对应下标来取得权值；而使用邻接矩阵就没这么多顾虑了，因为这时候邻接矩阵对应下标和dst[]要更新元素的下标正好一致，都是从1开始编号。...，输出从结点1到各结点的最短路径，并判断有无负权回路。
1）深度或广度优先搜索算法（解决单源最短路径） 从起点开始访问所有深度遍历路径或广度优先路径，则到达终点节点的路径有多条，取其中路径权值最短的一条则为最短路径。.../***先输入n，m，在输入m个三元组，n为路口数，m表示有几条路，其中1为商店，n为赛场，三元组分别表示起点终点，和该路径长，输出1到n的最短距离***/ #include中； 2，设置最短路径数组dst[]并不断更新：初始状态下，dst[i]=edge[s][i](s为源点，edge为邻接矩阵),很显然此时dst[s]=0,book[s]=...1.此时，在集合Q中可选择一个离源点s最近的顶点u加入到P中。...s最近的顶点v加入到P中。
指定一个起始点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。 ? 使用二维数组e来存储顶点之间边的关系，初始值如下。 ?...另外对于边数M少于N^2的稀疏图来说（我们把M远小于N^2的图称为稀疏图，而M相对较大的图称为稠密图），我们可以用邻接表来代替邻接矩阵，使得整个时间复杂度优化到O((M+N)logN)。...如果一个图是稀疏图的话，M要远小于N^2。因此稀疏图选用邻接表来存储要比邻接矩阵来存储要好很多。...（这一点也和dijkstra一样） 3.有了上面两点说明，易知到剩余节点的路径一定会经过已知节点 4.而从已知节点连到剩余节点的所有边中的最小的那个边，这条边所更新后的剩余节点就一定是确定的最短距离...Bellman-Ford 算法描述： 创建源顶点 v 到图中所有顶点的距离的集合 distSet，为图中的所有顶点指定一个距离值，初始均为 Infinite，源顶点距离为 0； 计算最短路径，执行 V
基本内容是：假设网络中的每条边都有一个 权重（常用长度、成本、时间等表示），最短路问题的目标是找出 给定两点（通常是源节点和汇节点）之间总权重之和最小的路径。 ?...最短路示例 如上图所示，以1为起点，7为终点，则在此图中，最短路径即为 1—4—2—7。 常见的最短路问题 ？ 根据问题约束和目标的差异，用来解决问题的算法也会有区别。...最短路问题常见的类型有： -单源最短路问题- 包括 （1）给定起点的最短路径问题，即给定起点，求最短路的问题； （2）给定终点的最短路径问题，在无向图中等同于给定起点问题，在有向图中等同于路径方向相反的给定起点问题...算例演示 算例示例 输入文件格式为： SAMPLE INPUT: n m 7 11 x y z 2 4 2 1 4 3 7 2 2 3 4 3 5 7 5 7 3 3 6 1...n 为图中点数，m为边的数量； z 为连接 x 结点和 y 结点的边的权值。
（2）二维矩阵M（nxn），距离矩阵，连通的结点间即为距离，不连通的结点间为正无穷，和 自己的距离为0； （3）一维矩阵pb（1xn），若第i点已找到最短路径，则pb（i）=1，否则等于0，对于初始结点...length([1 2 3;4 5 6])等于3，因为2和3中最大是3 % Inf表示无穷大 % find（条件）表示找到符合条件的元素的下标，返回下标的集合 % % 该函数使用方法： % 输入：要求的最短距离的矩阵...，下例矩阵为m % 输出：d:起点到任何点的最短路径的距离集合 % path:存放这一条最短路径的前一个结点的集合，通过回溯可得到最短的具体路径 % % % % % % % % % % %...; 2,1,5,Inf,7,0]; n=6; %设置矩阵大小 temp=1; %设置起始点 pb(1:length(m))=0;pb(temp)=1;%求出最短路径的点为1，未求出的为...： 从结果来看，v1到v1最短距离：0；v1到v2最短距离：3；v1到v3最短距离：5；… 关于最短距离的回溯（有的博主没有解释，这里给出个人的理解）： v1到其他顶点的路径，有感兴趣的可以在评论区通过回溯的方式列出来
在http://blog.csdn.net/hacker_zhidian/article/details/54898064这一篇博客中总结了一下在求图的最短路中的一个算法-Floyd算法，Floyd...算法用于求图的多源最短路径（多源最短路径：图的所有顶点到其他顶点的最短路径），时间复杂度和其他求最短路算法相比较高，如果一些题目只要求求单源最短路径（单源最短路径：图的某个顶点到其他顶点的最短路径）的话...图中共有A、B、C、D四个顶点，五条边，假设我们现在要求顶点B到其他顶点的最短路径，依据Dijkstra算法的原理： 首先我们先找到距离顶点B路径最短的顶点，在这个图中很明显距离顶点B路径最短的点为顶点...很明显，B–>D–>C（路径为3）这条路的路径小于B–>C（路径为6）这条路的路径，那么我们更新从顶点B到顶点C的最短路径，顶点D的试探结束。...n, m, s; // 图的顶点总数、边的总数和源节点 cin >> n >> m>> s; for(int i = 1; i n; i++) { dis
指定一个起始点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。 ? 使用二维数组e来存储顶点之间边的关系，初始值如下。 ?...另外对于边数M少于N^2的稀疏图来说（我们把M远小于N^2的图称为稀疏图，而M相对较大的图称为稠密图），我们可以用邻接表来代替邻接矩阵，使得整个时间复杂度优化到O((M+N)logN)。 请注意！...如果一个图是稀疏图的话，M要远小于N^2。因此稀疏图选用邻接表来存储要比邻接矩阵来存储要好很多。...（这一点也和dijkstra一样） 3.有了上面两点说明，易知到剩余节点的路径一定会经过已知节点 4.而从已知节点连到剩余节点的所有边中的最小的那个边，这条边所更新后的剩余节点就一定是确定的最短距离...Bellman-Ford 算法描述： 创建源顶点 v 到图中所有顶点的距离的集合 distSet，为图中的所有顶点指定一个距离值，初始均为 Infinite，源顶点距离为 0； 计算最短路径，执行 V
使用了广度优先搜索解决非负权有向图的单源最短路径问题，算法最终得到一个最短路径树（一个节点到其他所有节点的最短路径）。该算法常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。...在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。...此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。...2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。...start) { //接受一个有向图的权重矩阵，和一个起点编号start（从0编号，顶点存在数组中） //返回一个int[] 数组，表示从start到它的最短路径长度
Tag : 「最短路」、「图」 有 n 个城市，按从 0 到 n-1 编号。...实际运用中，熟练掌握「如何根据点和边的数量级关系，来决定使用邻接矩阵（稠密图）还是邻接表（稀疏图）」即可。 Floyd（邻接矩阵） Floyd 算法作为「多源汇最短路」算法，对于本题尤其适合。...Floyd 算法基于「动态规划」，其原始三维状态定义为 dist[p][i][j] ，表示「所有从点 i 到点 j ，且允许经过点集 (1, ... , p) 的路径」中的最短距离。...i 到 j 但必然不经过点 p 的路径， dist[p - 1][i][p] + dist[p - 1][p][j] 代表必然经过点 p 的路径，两者中取较小值更新 dist[p][i...朴素 Dijkstra 算法在每一次迭代中，都选择 dist 中值最小的点进行松弛操作，逐渐扩展最短路径范围。
，是一种单源最短路径算法。...国王想让小明回答从皇宫到每个建筑的最短路径是多少，但紧张的小明此时已经无法思考，请你编写程序帮助小明回答国王的考核。 输入描述 输入第一行包含两个正整数N,M。 ...1\le N\le 3\times10^5,1\le m\le10^6,1\le u_i,v_i\le N,0\le w_i \le 10^9 输出描述 输出仅一行，共N个数，粉笔表示从皇宫到编号为...static int n,m,s; static int[][] mp; //地图：邻接矩阵存储 static int[] dis; //dis[v]：从s到v的最短路径长度...我们还可以输出从节点1开始到其他所有节点的最短路径
现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路径长度，这里路径长度指路上各边的权之和。 如何求源点到其他各点的最短路径呢？...图2-9 艾兹格•W•迪科斯彻 2.5.2 算法设计 Dijkstra 算法是解决单源最短路径问题的贪心算法，它先求出长度最短的一条路径，再参照该最短路径求出长度次短的一条路径，直到求出从源点到其他各个顶点的最短路径...一旦S包含了所有顶点，dist[]就是从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。 （1）数据结构。...由此，可求得从源点u到图G的其余各个顶点的最短路径及长度，也可通过数组p[]逆向找到最短路径上经过的城市。...2.5.4 伪代码详解 （1）数据结构 n：城市顶点个数。m：城市间路线的条数。map[][]：地图对应的带权邻接矩阵。dist[]：记录源点u到某顶点的最短路径长度。
算法的单个执行将找到所有顶点对之间的最短路径长度，与迪杰斯特阿拉算法的计算目标有一些差异，迪杰斯特拉计算的是单源最短路径，而弗洛伊德计算的是多源最短路径，其时间复杂度为O(n³)。...3、选取1号节点作为中间点，更新矩阵，通过两层循环计算(i->1)，(1->j)的路径是否比目前i到j的路径长度更短。此时可以将矩阵数值看作是将0、1作为中间点获得的多源最短路径长度。...4、选取2号节点作为中间点，更新矩阵，通过两层循环计算(i->2)，(2->j)的路径是否比目前i到j的路径长度更短。此时可以将矩阵数值看作是将0、1、2作为中间点获得的多源最短路径长度。...5、选取3号节点作为中间点，更新矩阵，通过两层循环计算(i->3)，(1->3)的路径是否比目前i到j的路径长度更短。此时可以将矩阵数值看作是将0、1、2、3为中间点获得的多源最短路径长度。...6、选取4号节点作为中间点，更新矩阵，通过两层循环计算(i->4)，(4->j)的路径是否比目前i到j的路径长度更短。此时可以将矩阵数值看作是将0、1、2、3、4作为中间点获得的多源最短路径长度。
site[ALLNameNum]; int length[ALLNameNum][ALLNameNum]; }MAP; 最短路径问题：已知无向图(带权)，期望找出从某个源点S∈V到G中其余各顶点的最短路径...最终结果是：S记录了从源点到该顶点存在最短路径的顶点集合，数组dist记录了从源点到V中其余各顶点之间的最短路径，path是最短路径的路径数组，其中path[i]表示从源点到顶点i之间的最短路径的前驱顶点...一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。...设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。...Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。
而最短路径则是指的从某个顶点到另一个顶点中权值最小的那条路径。这条路径不一定是包含在最小生成树中的，所以它们并没有太大的联系。 ?...从这张图来看，我们从结点 1 到结点 2 的最短路径是 2 ，这个很明显。那么从结点 1 到结点 3 呢？...结点 1 到结点 2、3、4的最短距离为 2 、5 、4 。结点 3 到结点 1 、2 、4 的最短距离为 6 、8 、1 。也就是说，原来的那个图的邻接矩阵成了这个最短路径的矩阵。...，我们就得到了一个最短路径的矩阵图，也就是我们上面测试代码中输出的结果 我们就拿结点 4 和结点 3 来说明。...而且大多数情况下，我们的需求都会是固定的求从某一点到另一点的最短路径问题，也就是单源最短路径问题。这时，就可以使用这种效率稍微好一点的算法来快速地解决了。
2.1 单源最短路径--Dijkstra算法 单源最短路径问题：给定一个图G = ( V ， E ) G=(V，E)G=(V，E)，求源结点s ∈ V s∈Vs∈V到图中每个结点v ∈ V...针对一个带权有向图G，将所有结点分为两组S和Q，S是已经确定最短路径的结点集合，在初始时为空（初始时就可以将源节点s放入，毕竟源节点到自己的代价是0），Q 为其余未确定最短路径的结点集合，每次从Q 中找出一个起点到该结点代价最小的结点...设k是p的一个中间节点，那么从i到j的最短路径p就被分成i到k和k到j的两段最短路径p1，p2。p1是从i到k且中间节点属于{1，2，…，k-1}取得的一条最短路径。...p2是从k到j且中间节点属于{1， 2，…，k-1}取得的一条最短路径。...Floyd算法本质是三维动态规划，D[i][j][k]表示从点i到点j只经过0到k个点最短路径，然后建立 起转移方程，然后通过空间优化，优化掉最后一维度，变成一个最短路径的迭代算法，最后即得 到所以点的最短路
现在需要你写一个程序，帮助前来咨询的游客找一条出发地和目的地之间的最短路径。如果有若干条路径都是最短的，那么需要输出最便宜的一条路径。...输入格式: 输入说明：输入数据的第1行给出4个正整数N、M、S、D，其中N（2≤N≤500）是城市的个数，顺便假设城市的编号为0~(N−1)；M是高速公路的条数；S是出发地的城市编号；D是目的地的城市编号...随后的M行中，每行给出一条高速公路的信息，分别是：城市1、城市2、高速公路长度、收费额，中间用空格分开，数字均为整数且不超过500。输入保证解的存在。...，vis是标记数组 ， pay 是花费的邻接矩阵表示 */ int dis[505],cost[505],n,m,path[505]; //最短路 + 路径输出 //n 是点的个数 标记为 0 ~ n...} dijkstra(s); // 寻找从 s 开始 单源最短路 // print(s,t);// 输出路径， S 到 T 的路径 cout<<dis[t]<<" "<<
多源最短路问题（Multi-Source Shortest Path Problem，MSSP）是图论中的一个经典问题，它的目标是在给定图中找到从多个源点到所有其他顶点的最短路径。...其实我们上次讲的就可以归结在单元最短路问题当中，其实单源最短路问题就是只有一个起点对应一个终点，求最短路径，而多源最短路问题则是多个起点，对应一个终点，求这多个起点到达终点的最短路径，那这种题我们该怎么做呢...第一种做法就是将多源最短路问题转换为n个单源最短路问题，循环n次就解决了，但是这种做法是非常慢的。 第二种做法就是把多个节点看成一个整体进行一次单源最短路问题的解法。...算法原理： 这里我们已经讲过了做这种题的模式，我们只需要先将所有的零全入到队列中，这些零看成一个整体，在入队列的过程中顺便可以把需要返回的distance数组初始化为-1，然后零的对应位置赋值为0，这里我们直接利用单元最短路向外广搜...它不仅操作简单、直观易懂，而且其广度优先的特点使得它在寻找最短路径时非常高效。多源最短路问题在实际生活中有着广泛的应用，例如交通网络中的最短路径计算、社交网络中的影响力传播等。
七、我们可以用计算最短路径权重的办法来计算最短路径上的结点。定义 $π_{ij}^{(m)}$ 为从 $i$ 到 $j$ 的至多包含 $m$ 条边的任意最小权重路径上结点 $j$ 的前驱。...初始化：我们首先初始化两个矩阵 dist 和 next。dist 存储从节点 i 到节点 j 的最短距离，而 next 存储从节点 i 到节点 j 的最短路径上的下一个节点。...主函数：在 main 函数中，我们定义了一个图并调用 floydWarshall 函数来计算最短距离矩阵和前驱节点矩阵，然后打印它们。最后，我们演示了如何打印从节点 0 到节点 3 的路径。...• 对于从2到n - 1的m，它调用EXTEND - SHORTESTPATHS函数来逐步更新L和II。 • 最后返回计算得到的最短路径权重矩阵L和前驱矩阵II。...EXTEND-SHORTESTPATHS EXTEND-SHORTESTPATHS 是一个用于更新从源节点到所有其他节点的最短路径的算法，可以在每次扩展时记录前驱节点。
最短路径分为两类，单元最短路径和多源最短路径。 单源最短路径 给定一个带权有向图G=（V,E），其中每条边的权是一个实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。...现在要计算从源到其他所有各顶点的最短路径长度。这里的长度就是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径 [1] 问题。...另外，还给定 V 中的一个顶点，称为源。现在我们要计算从源到所有其他各顶点的最短路径长度。这里的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。...然后每次从T集合中选择S集合点中到T路径最短的那个点，并加入到集合S中，并把这个点从集合T删除。直到T集合为空为止。...在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。 比如，要寻找从V5到V1的路径。
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