1 问题 如何利用python解二元一次方程组？我们将用到什么样的函数呢？ 2 方法 对于二元一次方程ax2+bx+c=0，可以根据数学求根公式，可以先算出b平方减4ac的值。...)/(2*a) return x,y else: return 'no answer' print(quadratic(2,3,1)) 3 结语 针对如何利用python解二元一次方程的问题
1 问题 如何利用python 来解一元二次方程组。 2 方法 解一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是数学中的基础知识之一。在Python语言中，我们可以使用数学库中的函数来解一元二次方程。...一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。解一元二次方程的方法有多种，其中最常用的方法是求根公式。...下面是一个解一元二次方程的Python程序： 定义一个函数quad(a,b,c)，接收3个参数，返回原二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个解。...else: delta = b*b-4*a*c x = -b/(2*a) if delta == 0: print('方程有惟一解，X=%f'%(x...通过本章的学习 将理论用于实践，了解到了用python代码解决数学一元二次根问题的一种办法。
前些日子推荐了一个仓库，把常见算法用python语言实现了（见文章），近日在github上发现另外一个59700多star的仓库，用动画的形式呈现解LeetCode题目的思路，非常值得推荐。...仓库说明 这个仓库用Java语言实现了绝大部分算法，大部分有动画演示，非常适合解题思路整理，也适合教学。...= mergeTwoLists(l1, l2.next); } return head; } } 总结 近日在github上发现一个59700多star的仓库，用动画的形式呈现解
如果该方程组只有这一个解，那么矩阵 \boldsymbol A 的逆存在；反之，如果方程组存在非零解，则矩阵的逆不存在。...因此，这两个方程事实上是一样的，方程组其实只包含一个方程 x_1-x_2=0 。最终，方程组有两个未知数，但只有一个方程，就存在无穷多组解，从而矩阵的逆不存在。 ...如果方程组 \boldsymbol {Ax} = \boldsymbol0 存在非零解，不妨设解向量中的前 m 维 x_1,x_2,\ldots, x_m 不为零。...= \boldsymbol 0 有非零解，就称向量组 \boldsymbol u_1, \ldots, \boldsymbol u_n 是线性相关的；反之，如果该方程只有零解，就称向量组是线性无关的...因此简单起见，统一用梯度来称呼标量值函数与向量值函数的导数，并用 \nabla 符号表示求梯度或雅可比矩阵。 特别的，标量值函数的梯度是向量。
一、向量与矩阵 1.向量与矩阵的基本概念 向量：向量是具有大小和方向的量，可以用一组有序的数来表示。在机器学习中，数据点常常被表示为向量。...向量可以直观地理解为空间中的一个箭头，其起点通常默认为原点，终点坐标即为向量的分量值。 矩阵：矩阵是一个由数按照矩形排列组成的表格。它可以看作是多个向量的组合。...行阶梯形矩阵的特点是：非零行（元素不全为零的行）的第一个非零元素的列标随着行标的增大而严格增大。...矩阵求逆在一些机器学习算法的推导和求解过程中会用到，如在线性回归的正规方程求解中，模型参数 ，这里就需要计算矩阵 的逆（假设其可逆），通过求逆得到模型参数的解析解，从而确定线性回归模型的系数。...对于每个特征值 ，再求解齐次线性方程组 的非零解，这些非零解就是对应于特征值 的特征向量。 例如，对于矩阵 ，特征多项式为 。 令 ，即 ，解得 ， 。
这篇文章的目标和之前一样，我将抛弃复杂的数学表述，用没有公式的语言讲清楚压缩感知的核心思路，尽量形象易懂。我还绘制了大量示意图，因为排版问题，我将主要以PPT的形式呈现，并按slice标好了序号。...这张图也就是把亚采样的过程用矩阵的方式表达出来而已： 如图，x是为长度N的一维信号，也就是原信号，稀疏度为k。此刻它是未知的。 Φ为观测矩阵，对应着亚采样这一过程。...y=Φx为长度M的一维测量值，也就是亚采样后的结果。显然它也是已知的。 因此，压缩感知问题就是在已知测量值y和测量矩阵Φ的基础上，求解欠定方程组y=Φx得到原信号x。...然而在正常情况下，方程的个数远小于未知数的个数，方程是没有确定解的，无法重构信号。...但是，由于信号是K稀疏，如果上式中的Φ满足有限等距性质(RIP)，则K个系数就能够从M个测量值准确重构（得到一个最优解）。
我们用 n 来表示图的节点数，用 m 表示图的边数。 由于这是一张有向图，所以我们也可以用矩阵来表示。矩阵的行对应图中的一条边，起点标为-1，终点标为1，这样可以表示边的方向。...从直观上我们可以获得一个推论：矩阵当中呈线性相关的若干行对应的图是一个回路。 物理意义 代入电势 接下来我们来看这个矩阵对应的零空间，也就是要求方程 Ax =0 的解。...我们可以使用之前学过的方法求解，当然也可以很容易看出来，方程的一个解是 x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} 。...由图可以看出 y_2=1 ，再令 y_3=-1 ，即令1A的电流流回节点1，再令 y_4 = y_5=0 这样通过KCL我们得到了一个方程组的一个解： \begin{bmatrix}1\\1\\-1\\...0\\0\end{bmatrix} 再基于同样的思路，利用节点1,3,4组成的回路来找另外一个解。
Gauss-Seidel方法与Jacobi方法之间的差别是：在一个迭代步里，一旦未知变量值有更新，则立马投入使用。而不用像Jacobi方法那样下一个迭代步才使用。...对于方程组：3u+v=5，u+2v=5，Gauss-Seidel迭代就这样进行： ? 注意红圈位置是Gauss-Seidel方法与Jacobi方法之间的差别：v1的计算用到了u1而不是u0。...设D表示系数矩阵A 的主对角部分，L表示A的主对角线下方部分，U表示A的主对角线上方部分。则A=D+L+U，AX=b可改写为(D+L+U)x=b,进一步有 ?...用Gauss-Seidel方法求解方程组 ? Gauss-Seidel迭代格式为： ? 使用初值[u0，v0，w0]=[0，0，0]开始迭代，以下是迭代过程： ?...系数矩阵是严格对角占优的，因此迭代将收敛到精确解[2，-1，1]。 Gauss-Seidel方法的Fortran程序 ?
j 表示列标。...{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix} 这和我们方程组的解...bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix} 该例子中的三个平面会相交于一点 (0,0,1)，这个点就是方程组的解...用列向量线性组合的观点阐述：col_1,col_2,col_3 通过所有的线性组合所得到的向量 b_i ，是否能够铺满整个空间？ 对上面这个例子，答案是肯定的。...图片 图片 4.1.3 整行相乘 ---- 同样的，也是利用行向量线性组合的思想： 图片 图片 4.1.4 列乘以行 ---- 用A矩阵的列乘以B矩阵的行，得到的矩阵相加即可： 图片 图片
约束方程个数 : 该模型中有 m 个约束方程 ; \begin{array}{lcl} max Z = \sum_{j = 1}^n c_j x_j && ① 目标函数 \\ \\ s.t \begin...可行解 与 可行域 ---- 可行解 : 满足 约束方程 , 变量约束 的解是可行解 ; 可行域 : 所有的可行解集合 是可行域 ; III ....基 的概念 系数矩阵 : 约束方程的 系数 可以组成一个 m \times n 阶 矩阵 , 即 m 行 , n 列 , 代表 有 m 个约束方程 , 每个约束方程有 n 个变量...; ③ 解出基解 : 将 基 代入约束方程 , 解出对应的变量值 , 即基解 ; ④ 基解个数 : 基解中变量取值 非 0 个数 , 小于等于 约束方程个数 m , 基解的总数 不超过 C_n...: 该约束方程 , 共有 x_1 , x_2 , x_3 , x_4 , x_5 , 五个变量 ; 将约束方程补全变量为 : \begin{cases} 5x_1 + x_2 - x_3 + x
魔方矩阵(magic(阶数)) 魔方矩阵又称幻方，是有相同的行数和列数，并在每行每列、对角线上的和都相等的矩阵。魔方矩阵中的每个元素不能相同。你能构造任何大小（除了2x2）的魔方矩阵。...希尔伯特矩阵(hilb(阶数)) 希尔伯特矩阵是一种数学变换矩阵 Hilbert matrix，矩阵的一种，其元素A（i,j）=1/(i+j-1)，i,j分别为其行标和列标。...Matlab中生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)；求希尔伯特矩阵的逆的函数是invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。...对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。...比如线性方程组 ? 的解是(x,y)=(0.0,0.1), 而 ? 的解是(x,y)=(-0.17,0.22) 可见b很小的扰动就引起了x很大的变化，这就是A矩阵条件数大的表现。
应用领域非常广，解各类方程，解各类编程问题（例如解数独），解逻辑题等都不在话下。...今天小小明就将带大家看看这其中的精彩： 文章目录 z3-solver求解器 简介 数学运算 ♊️二元一次方程♋️ 线性多项式约束 非线性多项式约束 高中物理匀变速直线运动相关问题 综合性编程问题 解数独...♋️ 比如使用z3解二元一次方程： x − y = 3 x-y = 3 x−y=3 3 x − 8 y = 4 3x-8y=4 3x−8y=4 solve直接求解： from z3 import *...s.add(条件)，为解增加一个限制条件 s.check()，检查解是否存在，如果存在，会返回”sat” modul()，输出解得结果 x, y = Reals('x y') solver = Solver...首先，我们根据数独游戏的规则创建约束条件： from z3 import * # 9x9 整数变量矩阵 X = [[Int(f"x_{ i}_{ j}") for j in range(9)] for
2.1.2 特征分解的合理性一个矩阵和该矩阵的非特征向量相乘是对该向量的旋转变换；一个矩阵和该矩阵的特征向量相乘是对该向量的伸缩变换，其中伸缩程度取决于特征值大小。...这也就是说，如果矩阵持续地叠代作用于向量，那么特征向量的就会突显出来，利用python进行计算：首先举一个例子，假设矩阵A和向量V:用矩阵A去反复左乘一个向量V，python代码如下：import numpy...2.1.3 特征分解的计算在 (2-1) 式的基础上，进行一些变形 ：根据线性方程组理论，为了使这个方程有非零解，矩阵(\lambda I-A)的行列式必须是零:上式也被称为是A的特征方程，计算出所有\...np.linalg.eig(A)if np.equal(np.dot(A, V), np.dot(V, np.diag(D))): print(True)结果为：发现python计算的和手算的特征向量值不同...，但比例是一样的，这是因为特征向量不是唯一的，特征向量来自齐次线性方程组的解，是齐次线性方程组的基础解系的非零线性组合。
但是在VIO紧耦合非线性优化当中，各个状态量都是估计值，并且会不断调整，每次调整都会重新进行积分，传递IMU测量值。预积分的目的是将相对测量量与据对位姿解耦合，避免优化时重复进行积分。...旋转变量的离散表达式 我们以中值积分给出离散表示: 1.3 两帧之间的位置，速度，旋转增量的连续表达式 基本思想就是将参考坐标系从 转到第 帧的body坐标系下，相当于两边同时乘 ，我们直接用论文中的公式来表示...，下面为连续时间下的误差导数方程： 我们对 进行推导，假设true表示真实测量值，含误差，nominal表示不含噪声的理论值，则有： 其中： 则： 我们再对 进行推导：...： 类似，我们也可以获得误差的Jacobian迭代公式： Jacobian的初始值为单位矩阵。...协方差的迭代公式： 协方差矩阵初始值为0，噪声的协方差矩阵为:
这表明，根据上式选择矩阵 G_p，能以最快的速度收敛到解附近。这还表明，3 式和 5 式中的迭代相当于在巴拿赫空间（Banach space）中实现牛顿法，因此能提供二次收敛性。...3 式中的迭代过程涉及到评估函数 f、其雅可比矩阵和矩阵乘法，这些运算可以使用现代加速器（如 GPU 和 TPU）来并行化处理。如果能以并行方式求解线性方程，那么整个迭代过程都可利用并行计算。...在深度学习背景中，将非线性微分方程视为定点迭代问题来求解还有另一个优势，即可以将前一步骤的解（如果能放入内存）用作下一训练步骤的起始猜测。...下一步（通常也是最难的一步）是根据矩阵列表 G_p 和在某些点离散的向量值 h 实现逆算子 。这个逆算子可能也需要有关边界条件的信息。...上面的 ODE 形式如果用 1 式表示，则有 r = t、L = d/dt、P = 1 和 s_1 = 0。这意味着 ODE 中的算子 相当于在给定初始条件 y (0) 时求解下面的线性方程。
例如，以下方程组： 这是两个方程和两个变量，正如你从高中代数中所知，你可以找到 和 的唯一解（除非方程以某种方式退化，例如，如果第二个方程只是第一个的倍数，但在上面的情况下，实际上只有一个唯一解）。...表示向量的第个元素 我们使用符号 （或,等）来表示第 行和第列中的 的元素： 我们用或者表示矩阵的第列： 我们用或者表示矩阵的第行： 在许多情况下，将矩阵视为列向量或行向量的集合非常重要且方便。...也就是说，如果： 对于某些标量值，要么向量是线性相关的; 否则，向量是线性无关的。例如，向量： 是线性相关的，因为：。 矩阵的列秩是构成线性无关集合的的最大列子集的大小。...可以看出，对于任何非奇异， 虽然这是一个很好的“显式”的逆矩阵公式，但我们应该注意，从数字上讲，有很多更有效的方法来计算逆矩阵。 3.11 二次型和半正定矩阵 给定方矩阵和向量，标量值被称为二次型。...为了找到特征值对应的特征向量，我们只需解线性方程，因为是奇异的，所以保证有一个非零解（但也可能有多个或无穷多个解）。
运行之后我们会发现第一个结果和最后一个结果是相同的，空间中存在重复的解。 将这个题的解集用二维数组表示，就能看出问题所在。...这是一个角对称矩阵，矩阵中(i,j)和(j,i)表示的组合是等价的。 我们将本题的解空间缩小到这个矩阵的上对角矩阵或下对角矩阵（不包含对角线），这样得到的结果就不会有重复了。...根据代数基本定理，该方程组会有无数组解，但是本题存在约束条件，所以它的解是一定有限的。 由于整型在计算时会自动舍弃小数部分，这样会造成误差，从而影响最终的结果，我们需要对第一个方程两边同时乘上三。...“两数之和”问题的解空间是一个二维矩阵，而本题的解空间是一个四维向量，可将上面的算法类比推广到思维向量解空间的问题上： void MeziakWeight() { int a, b, c, d; for...上面的三个问题都可以化为对整数解的方程组求解的问题。 求解的过程就是对范围内的所有可能值进行尝试。 尝试的时候需要注意重复解的问题。
同时将损失函数也转换成矩阵的运算。此时损失函数计算结果为标量值。 此时多元线性回归问题就变成了估计一个θ向量，使得目标函数的矩阵运算最终的结果尽可能小。 ?...02 多元线性回归的正规方程解 ?...使用多元线性回归的正规方程求解解的过程缺点就是时间复杂度很高，在这里这个n没有区分是行数还是列数，在实际应用中，不论你的样本量非常大或者样本特征非常多，对应的就是Xb的行数或者列数特别多，使用正规方程解...我们也需要知道，对于多元线性回归问题，我们可以直接使用正规方程解直接求解参数它和θ对应的值的。当然，这么方便的可以得到数学解的机器学习模型是非常少的。...使用正规方程解求解参数的优点就是我们不再需要对数据进行归一化的处理，因为通过这个数学分析就知道了，最终估计出来的θ无非就是原始的数据进行数学运算的结果，在这种计算的过程中不存在量纲的问题的。
a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right| = a_{11}\times a_{12} - a_{21}\times a_{22} 对于 a_{ij}：i 表示行标，...j 表示列标。...bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix} 该例子中的三个平面会相交于一点 (0,0,1)，这个点就是方程组的解...补充： 既然提到了消元用的初等矩阵，那我们再介绍一种用于置换两行的矩阵：置换矩阵（permutation matrix）。...观察这个方阵，我们如果用另一个矩阵乘 A，则得到的结果矩阵中的每一列应该都是 \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} 的倍数，所以我们不可能从 AB 的乘积中得到单位矩阵
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