$(function() {
  // 初始化下拉框
  var daySelect = $('#daySelect');
  for (var i = 1; i <= 31; i++) {
    daySelect.append($('<option>', {value: i, text: i}));
  }

  // 初始化日期选择器，但先隐藏
  $('#datepicker').datepicker({
    showOn: 'none', // 不自动显示
    dateFormat: 'dd', // 只显示天数
    beforeShow: function(input, inst) {
      // 隐藏月份和年份导航
      inst.dpDiv.addClass('hide-month-year');
      return {};
    }
  });

  // 自定义CSS隐藏月份和年份导航
  $('<style>').text(`
    .hide-month-year .ui-datepicker-header,
    .hide-month-year .ui-datepicker-title,
    .hide-month-year .ui-datepicker-calendar th {
      display: none !important;
    }
    .hide-month-year .ui-datepicker-calendar td a {
      padding: 0.2em !important;
    }
  `).appendTo('head');

  // 当下拉框值变化时
  daySelect.change(function() {
    var selectedDay = $(this).val();
    if (selectedDay) {
      // 设置日期选择器只显示该天数的日期
      $('#datepicker').datepicker('setDate', new Date(2020, 0, selectedDay));
      $('#datepicker').datepicker('show');
    }
  });
});

<select id="daySelect">
  <option value="">选择天数</option>
</select>
<input type="text" id="datepicker" readonly>