最大流定理：如果残留网络上找不到增广路径，则当前流为最大流；反之，如果当前流不为最大流，则一定有增广路径。...这样的话，求解最大流就只需要在残余网络中寻找增广路，直到不存在可以从s流向t 的增广路，此时即为最大流。求解最大流问题的高效算法有 dinic,sap和isap。...我们今天讲最基础的FF算法与EK算法，他俩的区别在于一个是DFS找增广路，一个是BFS找增广路。后者高效一点。...Edmonds-Karp算法：以广度优先的增广路算法，又称为最短增广路算法（Shortest Augument Panth, SAP）。 最短增广路算法步骤：采用队列q 来存放已访问未检查的结点。...如果队列不空，继续下一步，否则算法结束，找不到可增广路。当前的实流网络就是最大流网络，返回最大流值maxflow。 队头元素new 出队，在残余网络中检查new 的所有邻接结点i。
这两本是之前有朋友在评论里推荐的： 《牧羊少年奇幻之旅》 《大流感：最致命瘟疫的史诗》 画外音：坚持一件事很难，但读书，真的有用。 《牧羊少年奇幻之旅》 小时候，有人问我们的梦想是什么？...15分钟，扫码听书《牧羊少年奇幻之旅》 《大流感：最致命瘟疫的史诗》 由历史学家约翰·M·巴里带来的全面回顾1918年大流感的这本书，被美国科学院评为2005年度最佳科学/医学类图书。...在以冷静客观的笔调描述了大流感的社会图景，以深入浅出的逻辑解释了病毒与人类之间的战争关系之后，《大流感：最致命瘟疫的史诗》中更加宝贵的对瘟疫留给人类的遗产进行了深刻反思，展现出了理性的光辉。...所以1918年大流感的最后一条教训，即那些身居要职的权威人士必须降低可能离间整个社会的恐慌，可谓知易行难。 这是流感，仅仅只是流感。...让我们一起通过《大流感：最致命瘟疫的史诗》来反思如何应对病毒。 15分钟，扫码听书《大流感，最致命瘟疫的史诗》 不知不觉，坚持读书3年了，希望我们一起，养成自律的习惯。
＊ 内容提要： ＊什么是最大流问题 ＊求解最大流问题的算法 ＊两种增广路算法 1.什么是最大流问题 最大流问题(maximum flow problem)是一种组合优化问题，即讨论如何充分利用装置的能力...2.求解最大流问题的算法 ? 再次划重点记笔记！教科书上多只讲增广路算法！解决问题的算法不只一种，课本上篇幅有限，要想了解更多，还是要 自·己·学·操·作！！...鉴于下面小编也会着重介绍增广路算法，有关最高标号预流推进算法的学习资料在这里为大家指路： http://blog.csdn.net/KirinBill/article/details/60882828...(PS.致谢blog主人——大佬KirinBill~~~) 3.两种增广路算法 —增广路算法— ?...图2 残量网络与增广路算法 上面介绍了增广路解决最大流的思路，接下来我们介绍两种具体实现增广路方法的算法： — Edmonds-Karp 算法 ? — Dinic 算法 ? ? ?
不说废话了，直接正题 首先要先清楚最大流的含义，就是说从源点到经过的所有路径的最终到达汇点的所有流量和 EK算法的核心 反复寻找源点s到汇点t之间的增广路径，若有，找出增广路径上每一段[容量-流量...在寻找增广路径时，可以用BFS来找，并且更新残留网络的值(涉及到反向边)。 而找到delta后，则使最大流值加上delta，更新为当前的最大流值。 ?...这就是最终完成的图，最终sumflow=20+20+10=50（这个就是最大流的值） PS，为什么要有反向边呢？ ? 我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路，这条路上的delta值显然是1。...但这个答案明显不是最大流，因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4，这样可以得到流量为2的流。 那么我们刚刚的算法问题在哪里呢？...这时再找增广路的时候，就会找到1-3-2-4这条可增广量，即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后，得到了最大流2。 ? 那么，这么做为什么会是对的呢？我来通俗的解释一下吧。
求解思路： 首先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量)，那么就把这一组流量，或者说，这个流，称为一个可行流。 一个最简单的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。...(4).当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流，这个结论非常重要。...在做增广路时可能会阻塞后面的增广路，或者说，做增广路本来是有个顺序才能找完最大流的。 但我们是任意找的，为了修正，就每次将流量加在了反向弧上，让后面的流能够进行自我调整。...但是， 这个答案明显不是最大流，因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4，这样可以得到流量为2的流。 那么我们刚刚的算法问题在哪里呢？...这时再找增广路的时候，就会找到1-3-2-4这条可增广量，即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后，得到了最大流2。 ? 那么，这么做为什么会是对的呢？
增广 增广：即增加一条路径上的流量 增加一条路径的流量，即减少这条路径的当前流量上限，即f(u,v)的值 增广是我们求解最大流的基础 最大流 定义：在所有可行流中流量最大的流 那么我们如何求解这个东西呢...以上图为例，如只是无脑增广的话，很可能对SABT这条边进行增广，而增广完这条边后，就再也没有可以增广的路径了，求出的最大流为$3$，下图为增广后的网络流图 ?...这样我们便又有了一条新的增广路SBAT，对这条路径进行增广后我们便可以得到网络最大流为5 考虑一下，为什么这样是对的？...看到这儿的同学，恭喜你们被带到坑里啦O(∩_∩)O哈哈~ 实现 我目前见过的最大流算法有以下几种 EK（最简单，比较慢） Dinic（最常见，性能良好） ISAP/SAP（也比较常见，性能很好） 最高标号预流推进...（因为第三种算法跑的比较快，所以可以用来抢排行榜$rank1$） 第四五六中算法建议大家理解其内涵，代码实现就无所谓了，因为基本用不到，不过学会了可以用来装13:joy: 另外，在书上看到过据说可以使用动态树优化最大流算法
前言 EK算法是求网络最大流的最基础的算法，也是比较好理解的一种算法，利用它可以解决绝大多数最大流问题。...但是受到时间复杂度的限制，这种算法常常有TLE的风险 思想 还记得我们在介绍最大流的时候提到的求解思路么？ 对一张网络流图，每次找出它的最小的残量（能增广的量），对其进行增广。...int A[MAXN];//S到该节点的最小流量 inline int EK() { int ans=0;//最大流 while(true)//不停的找增广路 {...通过上图不难看出，这种算法的性能还算是不错， 不过你可以到这里提交一下就知道这种算法究竟有多快(man)了 可以证明，这种算法的时间复杂度为 大体证一下： 我们最坏情况下每次只增广一条边，则需要增广...在BFS的时候，由于反向弧的存在，最坏情况为 总的时间复杂度为 后记 EK算法到这里就结束了。 不过loj那道题怎么才能过掉呢？ 这就要用到我们接下来要讲的其他算法
简介 最大流算法主要分为两大类，一类为增广路算法，一类为预流推进算法。最大流算法解决的是在有向网路图 中计算从源点 到汇点 的最大流量问题，以及最小割容量问题。...最小割最大流定理 最大流的值等于 的最小割容量。 2. 增广路算法 剩余容量 剩余容量 表示边 的容量与流量之差。...残量网络 对于网络图 ，残量网络定义为网络 G 中所有节点和剩余容量大于 0 的边构成的子图，即 2.1 EK 算法 BFS 寻找增广路，一次 BFS 一次增广 每一条有向边都需要构造反向边...，因为当前增广路可能不是最优的，后续增广可能需要修改流量流向。...可以看出，EK 算法存在以下明显不足： 一次 BFS 只增广一次，如果残量网络中还存在增广路则被浪费了 对于已经没有剩余容量的边，EK 算法仍然进行增广判断从而导致时间上的浪费 层次深度
增广路：从一个未匹配的点出发，走交替路，到达了一个未匹配过的点，这条路叫做增广路。 ...因为接下来要讲的匈牙利算法就是去寻找增广路而求出最大匹配数的(一句废话)，对于求二分图最大匹配的算法可以用网络流去跑一个最大流求解，还可以用二分图的常见算法匈牙利算法(Hungarian Algorithm...)，这里我就只讲一下匈牙利算法，这个算法的核心就是去找未匹配的点，然后从这个点出发去寻找增广路，因为增广路有几个主要的特点： 1. ...： 对于匈牙利算法来说它虽然是最简单最常见的求最大匹配数的算法，但是它的时间复杂度是O(n*m)，对于一般的题来说最多有500个点，所以匈牙利是最好的做法，但是有些题就很变态，比如：HDU...这个算法主要是对匈牙利算法进行了优化，匈牙利是依次去遍历点和边，而HK算法是用bfs同时去寻找多条增广路，然后寻找到了极大增广路集，然后再用匈牙利算法的dfs去对增广路集进行增广，直接上呆码吧，可以当板子用
求最大流的标号算法最早由福特和福克逊与与1956年提出，20世纪50年代福特(Ford)、(Fulkerson)建立的“网络流理论”，是网络应用的重要组成成分。...三.增广路 ?...这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而这条路就叫做增广路. From 网络流(Network Flow) 则我们称这条路径为一条增广路径，简称增广路。...如图所示，如果我们每次都找出一条增广路，只要这条增广路经过汇点，那说明此时水流还可以增加，增加的量为d(d=min(d,c(u,v)-f(u,v))或d=min(d,f(u,v)))。...既然这样，我们的思路就是： 1.找出一条增广路径 ——2.修改其上点的值——3.继续重复1，直至找不出增广路。则此时源点的汇出量即为所求的最大流。 ? ? ? ? ?
之前的一个学习一直在看图像分割的部分内容，基于交互的图像分割基本都是用图割的算法，全自动的图割算法也有最小生成树的改进算法。...现在想写点东西，从算法 的最本质问题，图论中的网络流问题开始，做个总结，也算是对知识的一个回顾。 网络最大流，增广路，残留网络，最小割这几个基本概念是构成最大流最小割定理的基本概念。...而该定理是网络流理论的基础。 我们还有一下几个问题需要搞清楚： 1.最本质问题就是使用图割算法解决具体问题时候，是怎样构建图的，节点对应什么，边的权值对应什么。...2.为什么说图割算法能够达到能量最小化。 3.怎么引入能量这个概念的。 几种最大流算法的时间复杂度： ?
那么就相当于一条断边 此时，假设我们从源出发进行的某一次dfs到了汇，那么就说明这条路线的流量还可以增加，具体增加的量就被这条路线上的流量最小的那条边决定了，我们把这样的路叫做增广路 就像上图，我们知道...如果想要达到这种境界，我们可以写一个人工智能的学习算法，但是注意了，这是竞赛，是来搞笑的不是来毁灭人类的哈哈哈哈 于是有一种最easy的方法就是引入一个反向边的概念（怎么引入这么多概念），即每一条边（u...+或-a时，其反向边的流量-或+a 我们若引入反向边的概念后，就有了这样一个图 然后根据dfs，我们找到了增广路（1，2，3，4），然后图就该变成这样 然后我们继续dfs，把反向边也当作可走的边dfs...，然后得到了增广路（1，3，2，4） 然后图就成了这样 最大流为2 仔细观察可以发现，上图其实和我们直接dfs（1，2，4）和（1，3，4）得到的结果一样！！...（1，2，3，4）的流量“交付”给了（1，3），于是就有了两条路（1，2，4）和（1，3，4） 这就是其奥妙所在 于是这个算法框架就此浮出水面： 先标深度再用dfs找一次增广路然后再bfs标深度在dfs
EK (Edmond-Karp) 算法 学习笔记 什么是EK算法 EK (Edmond-Karp) 算法，说白了就是求最大流/费用流之类的问题的算法。...从s到t经过若干个点，若干条边，每一条边的水流都不能超过边权值（可以小于等于但不能大于） （由于是来学EK算法的，最大流什么的详细解读就不说了） 例题 Luogu P3376 【模板】网络最大流 题意...思路 这是最大流的模板题，请往下阅读。 增广路 增广路定义 增广路是指从源点s到汇点t的一条路，流过这条路，可以使得当前的流可以增加。...如何求增广路 其实就是从源点s开始bfs即可，到达汇点t时，然后找到这个路径的权值的最小的边，然后把路径上的每一条边减去这个最小值即可。...反向边 为什么要建反边 为什么不建反边(逃： 非常显然，如果第一次流错了使其无法得到最大流怎么办？ 就比如这张图： 然而bfs沙雕的选了上面一条路怎么办。。。
前置知识 网络最大流入门 前言 Dinic在信息学奥赛中是一种最常用的求网络最大流的算法。 它凭借着思路直观，代码难度小，性能优越等优势，深受广大oier青睐 思想 Dinic算法属于增广路算法。...它的核心思想是：对于每一个点，对其所连的边进行增广，在增广的时候，每次增广“极大流” 这里有别于EK算法，EK算法是从边入手，而Dinic算法是从点入手 在增广的时候，对于一个点连出去的边都尝试进行增广...，即多路增广 Dinic算法还引入了分层图这一概念，即对于$i$号节点，用dis(i)表示它到源点的距离，并规定，一条边能够被增广，当且仅当它连接的两个点$u,v$满足：dis(v)=dis(u)+1，...，无视已经增广过的边，从下一条边开始增广 分层优化（自己xjb起的名字）：在进行分层的时候，找到汇点立即退出 剩余量优化（也是自己起的）：在进行增广的时候，如果该节点已经没有流量，直接退出 时间复杂度...Dinic算法的性能在比赛中表现的非常优越。
程序思想 1）初始化程序，设置容量网络和网络流 2）DFS()构造残留网络、BFS()构造层次网络，层次网络中找不到汇点便结束算法 3）在层次网络中不断进行增广，知道层次网络中没有增广路；每次增广都要去掉已饱和的弧...4）转到步骤2） 提示 程序中Dinic()循坏调用BFS()不断构建层次网络，每次构建好调用则循环DFS()增广，因此步骤2，3的一次循环便是一个阶段，每个阶段中都是根据残留网络建立层次网络然后进行增广...，直到找不到增广路为止。...在程序实现的时候，并不需要真正“构造”层次网络，只需要对每个顶点标记层次，增广的时候，判断边是否满足layer(v) = layer(u)+1这一约束条件即可。...终点和流量 const int INF = 0x7fffffff; bool BFS(); // 广度优先BFS构造层次网络 int DFS(int u, int cp); // 深度优先DFS找寻增广路
以下是一些最新的求解算法： 基于费用差定义的新算法：该算法通过对费用差的定义，优先选择费用差最小的有向路径进行增广，当费用差相同时则选择修正后的路径。...负回路算法和最小费用路算法：这些方法主要用于求解最小费用流问题，通过寻找负回路或最小费用路径来优化总费用。...解决最小费用最大流问题通常结合最大流算法和费用最小化策略，如采用增广路径时同时考虑费用和流量的变化，以达到总费用和流量的双重优化。...Goldberg提出的部分增广-重标号算法用于解决最大流问题和最短路径问题，这些算法也被引用于其他文献中。...特别是对于最小费用最大流问题，可以通过将最大流算法中的深度优先搜索（DFS）改为求最短路，找到一条从源点到汇点每条边费用之和最小的路并更新答案。
Sample Input 6 3 3 Sample Output 3 匈牙利算法： 算法的核心就是根据一个初始匹配不停的找增广路，直到没有增广路为止。...匈牙利算法的本质实际上和基于增广路特性的最大流算法还是相似的，只需要注意两点： （一）每个X节点都最多做一次增广路的起点； （二）如果一个Y节点已经匹配了，那么增广路到这儿的时候唯一的路径是走到Y节点的匹配点...找增广路的时候既可以采用dfs也可以采用bfs，两者都可以保证O(nm)的复杂度，因为每找一条增广路的复杂度是O(m)，而最多增广n次，dfs在实际实现中更加简短。...匈牙利算法的基本模式： 1、 初始时最大匹配为空 2、 while （找得到增广路径） 3、 do 把增广路径加入到最大匹配中。...如果二分图的左半边一共有n个点，最多找n条增广路径，如果图中有m条边，每一条增广路径把所有边遍历一遍，所以时间复杂度为O（n*m）; 算法思想： 算法的思路是不停的找增广轨, 并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径
大部分内容来自学姐的PPT 拆点 一个非常有用的思想 限流 将对点的限制转化为对边的限制 点的合并 这个还没看到 最小割 最小割==最大流 一条增广路中，必有一条边满流，满流的流量即为这条增广路的流量...，那么删除满流的这条边即可阻断一条增广路。...删去一些边使源汇不连通即阻断所有的增广路，代价之和即为最大流。 最大流=最小割 你能想到什么？...凭直觉，看经验 最大流，每条增广路流量实际上是增广路上的最小流量 INF边 不会割掉不合法方案 使不合法方案经过inf边，从而保证割出的方案合法 对偶图 还没看 点覆盖集 点覆盖集是无向图 的一个点集...最小点覆盖集=二分图最大匹配数 证明： 边分为匹配边和未匹配边 未匹配边一定至少有一个点被选中，否则会增加一个新的匹配，与最大匹配不符 最小点权覆盖=二分图最小割 证明： 把每一个匹配看做一条增广路
邻接矩阵 邻接表 关键路径 最小生成树 最短路径 拓扑排序 常见算法 十大排序算法 简单排序: 插入排序 选择排序 冒泡排序 分治排序: 快速排序 : 注意轴的选取方式 归并排序 分配排序:...桶排序 基数排序 树状排序: 堆排序 计数排序 希尔排序 图论算法 图的表示: 邻接矩阵 邻接表 遍历算法: 深度搜索 广度搜索 查找算法: 二分查找 散列表查找 树结构查找 最短路径算法:...贪心算法 启发式搜索算法: A*寻路算法 地图着色算法 N皇后问题 最优加工算法 旅行商问题 动态规划 树形DP: 01背包问题 线性DP: 最长公共子序列 最长公共子串 区间DP: 矩阵最大值...矩阵最大和 矩阵最大积 数位DP: 数字游戏 状态压缩DP: 旅行商 字符串匹配算法 正则表达式 暴力匹配算法 模式匹配: KMP Boyer-Moore Trie 流相关算法 最大流: 最短增广路...Dinic算法 最大流最小割: 最大收益问题 方格取数问题 最小费用最大流: 最小费用路 消遣
本文主要介绍一下三路快排，并以微软的一道面试题 leetcode 75. 颜色分类作为例题来讲解，供大家参考，希望对大家有所帮助。 ? ?...三路快排 使用快速排序的思想给带有大量的重复键值的数组进行排序，一种经典的实现方式就是三路快排（Quick Sort 3 Ways）。 ?...由于排序后的数组主要依次分成三部分，即等于 0 的部分、等于 1 的部分和等于 2 的部分，这不是很像上面讲的三路快速排序吗？...每次选取一个标定点，由于数组中有很多个与标定点相等的元素，所以将数组分成三部分，即小于 v、等于 v 和大于 v，然后递归地对小于 v 和大于 v 的地方进行三路快排。...由于当前数组只有三个元素，所以只需要对整个数组执行一次三路快排即可。如下图示。
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