一、牛顿法概述 除了前面说的梯度下降法，牛顿法也是机器学习中用的比较多的一种优化算法。牛顿法的基本思想是利用迭代点 ?...牛顿法的速度相当快，而且能高度逼近最优值。牛顿法分为基本的牛顿法和全局牛顿法。...二、基本牛顿法 1、基本牛顿法的原理 基本牛顿法是一种是用导数的算法，它每一步的迭代方向都是沿着当前点函数值下降的方向。 我们主要集中讨论在一维的情形，对于一个需要求解的优化函数 ?...三、全局牛顿法 牛顿法最突出的优点是收敛速度快，具有局部二阶收敛性，但是，基本牛顿法初始点需要足够“靠近”极小点，否则，有可能导致算法不收敛。这样就引入了全局牛顿法。...四、算法实现 实验部分使用Java实现，需要优化的函数 ? ，最小值为 ? 。
一、牛顿法概述 除了前面说的梯度下降法，牛顿法也是机器学习中用的比较多的一种优化算法。...牛顿法的速度相当快，而且能高度逼近最优值。牛顿法分为基本的牛顿法和全局牛顿法。...二、基本牛顿法 1、基本牛顿法的原理 2、基本牛顿法的流程 三、全局牛顿法 牛顿法最突出的优点是收敛速度快，具有局部二阶收敛性，但是，基本牛顿法初始点需要足够“靠近”极小点，否则，有可能导致算法不收敛...这样就引入了全局牛顿法。...1、全局牛顿法的流程 image.png 2、Armijo搜索 四、算法实现 实验部分使用Java实现，需要优化的函数 最小值为 1、基本牛顿法Java实现 package org.algorithm.newtonmethod
一、牛顿法 image.png image.png 二、DFP拟牛顿法 1、DFP拟牛顿法简介 DFP拟牛顿法也称为DFP校正方法，DFP校正方法是第一个拟牛顿法，是有Davidon...对于拟牛顿方程： ? 化简可得： ? 令 ? 可以得到： ? 在DFP校正方法中，假设： ?...2、DFP校正方法的推导 image.png image.png 3、DFP拟牛顿法的算法流程 image.png DFP拟牛顿法的算法流程如下： ?...4、求解具体的优化问题 求解无约束优化问题 ? 其中， ?
一、牛顿法 在博文“优化算法——牛顿法(Newton Method)”中介绍了牛顿法的思路，牛顿法具有二阶收敛性，相比较最速下降法，收敛的速度更快。...在基本牛顿法中，取得最值的点处的导数值为 ? ，即上式左侧为 ? 。则： ? 求出其中的 ? ： ? 从上式中发现，在牛顿法中要求Hesse矩阵是可逆的。 当 ? 时，上式为： ?...3、DFP拟牛顿法的算法流程 设 ? 对称正定， ? 由上述的DFP校正公式确定，那么 ? 对称正定的充要条件是 ? 。 ...在博文“优化算法——牛顿法(Newton Method)”中介绍了非精确的线搜索准则：Armijo搜索准则，搜索准则的目的是为了帮助我们确定学习率，还有其他的一些准则，如Wolfe准则以及精确线搜索等。...DFP拟牛顿法的算法流程如下： ? 4、求解具体的优化问题 求解无约束优化问题 ? 其中， ? 。
Python实现所有算法-二分法 Python实现所有算法-力系统是否静态平衡 Python实现所有算法-力系统是否静态平衡(补篇) Python实现所有算法-高斯消除法 Python实现所有算法...-牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法 Python实现所有算法-雅可比方法(Jacobian) Python实现所有算法-矩阵的LU分解 Python实现所有算法-牛顿前向插值 兄弟们！...剩下的问题就和第一部分提到的牛顿法求解很相似了。...为了求解f'=0的根，把f（x）的泰勒展开，展开到2阶形式： 当且小三角无限趋于0 的时候 这个成立 我们的最终迭代公式就出来了 值得更新公式 牛顿法用于函数最优化求解”中对函数二阶泰勒公式展开求最优值的方法称为...：Newton法， 牛顿法用于方程求解”中对函数一阶泰勒展开求零点的方法称为：Guass-Newton（高斯牛顿）法。
一、BFGS算法简介 BFGS算法是使用较多的一种拟牛顿方法，是由Broyden，Fletcher，Goldfarb，Shanno四个人分别提出的，故称为BFGS校正。 ...同DFP校正的推导公式一样，DFP校正见博文“优化算法——拟牛顿法之DFP算法”。对于拟牛顿方程： ? 可以化简为： ? 令 ? ，则可得： ? 在BFGS校正方法中，假设： ?...则对于拟牛顿方程 ? 可以化简为： ? 将 ? 代入上式： ? 将 ? 代入上式： ? ? 已知： ? 为实数， ? 为 ? 的向量。上式中，参数 ? 和 ?...在博文“优化算法——牛顿法(Newton Method)”中介绍了非精确的线搜索准则：Armijo搜索准则，搜索准则的目的是为了帮助我们确定学习率，还有其他的一些准则，如Wolfe准则以及精确线搜索等...BFGS拟牛顿法的算法流程： ? 四、求解具体优化问题 求解无约束优化问题 ? 其中， ? 。
一、BFGS算法简介 BFGS算法是使用较多的一种拟牛顿方法，是由Broyden，Fletcher，Goldfarb，Shanno四个人分别提出的，故称为BFGS校正。 ...同DFP校正的推导公式一样，DFP校正见博文“优化算法——拟牛顿法之DFP算法”。对于拟牛顿方程： ? 可以化简为： ? 令 ? 则可得： ? 在BFGS校正方法中，假设： ?...二、BFGS校正公式的推导 image.png image.png 三、BFGS校正的算法流程 image.png BFGS拟牛顿法的算法流程： ?...四、求解具体优化问题 求解无约束优化问题 ? 其中， ?
牛顿法和拟牛顿法也是求解无约束最优化问题的常用方法，有收敛速度快的优点。本文讲解了使用牛顿法如何优化机器学习的算法。
一、BFGS算法 在“优化算法——拟牛顿法之BFGS算法”中，我们得到了BFGS算法的校正公式： ? 利用Sherman-Morrison公式可对上式进行变换，得到 ? 令 ?...二、BGFS算法存在的问题 在BFGS算法中，每次都要存储近似Hesse矩阵 ? ，在高维数据时，存储 ?...浪费很多的存储空间，而在实际的运算过程中，我们需要的是搜索方向，因此出现了L-BFGS算法，是对BFGS算法的一种改进算法。在L-BFGS算法中，只保存最近的 ? 次迭代信息，以降低数据的存储空间。...三、L-BFGS算法思路 令 ? ， ? ，则BFGS算法中的 ? 可以表示为： ? 若在初始时，假定初始的矩阵 ? ，则我们可以得到： ? ? ? ? 若此时，只保留最近的 ? 步： ?...四、L-BFGS算法中的方向的计算方法 ?
一、BFGS算法 image.png 二、BGFS算法存在的问题 image.png 三、L-BFGS算法思路 image.png image.png 四、L-BFGS算法中的方向的计算方法
---这里记录下一些关于牛顿法来作为优化器的个人笔记 ：） 关于牛顿法，先不说其中的概念，来简单看一个例子？ 不用计算器，如何手动开一个值的平方根，比如计算{sqrt(a) | a=4 } ？...这个公式其实是依据牛顿法得来的？牛顿法长成什么样子呢？ ? 就是长成这个样子，我们发现这个样子和我们的SGD还是很像的，这两者的区别记录在后面吧～。...，那牛顿法采用的是泰勒级数的前几项 -- 有限的项，来近似表示一个函数f(x). 那么如何上面这个公式是如何通过牛顿法得到的呢？ ...但是我们在用牛顿法作为优化器的时候，是要求极小值的啊？ 那么如何快速的求出极小值呢？ ...一般来说，对于那种高阶多项式采用牛顿法效果会比SGD好些.
最具有代表性的就是暴风法，把所有可能的结果都带进去，找到最好的拟合。然后聪明的人类不想这么鲁莽，并且这么无目的地寻找，于是人们开始研究参数向什么方向迭代是最好的，于是便出现了梯度方向等一系列方法。...有最速下降法、Newton 法、GaussNewton(GN)法、Levenberg-Marquardt(LM)算法等。...方法 介绍 最速下降法 负梯度方向，收敛速度慢 Newton 法 保留泰勒级数一阶和二阶项，二次收敛速度，但每步都计算Hessian矩阵，复杂 GN法 目标函数的Jacobian 矩阵近似H矩阵，提高算法效率...，但H矩阵不满秩则无法迭代 LM法 信赖域算法，解决H矩阵不满秩或非正定， 通过对比的形式想必大家已经记住了这一堆优化的方法，很多情况下使用中都是优化方法的改进方法，因此掌握了这些方法，
算法细节系列（3）：梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法 迭代算法原型 话不多说，直接进入主题。...在我看来，不管是梯度下降法还是牛顿法，它们都可以归结为一个式子，即 x=ϕ(x) x = \phi(x) 也就是我们的不动点迭代法（fixed pointed iteration）最核心的迭代公式...最优化问题中，牛顿法为什么比梯度下降法求解需要的迭代次数更少？...牛顿迭代法在几何图形上的意义也是显而易见的。它的收敛速度比梯度下降算法要快得多，这里我们也不去证明了，书中主要应用了一个新的定义来论证两者的收敛速度，叫收敛阶，有兴趣的可以继续研究。...其次，按照拟牛顿条件D是如何更新和选取的呢？不解，等学习到具体的拟牛顿方法再来完善吧。 参考文献 最优化问题中，牛顿法为什么比梯度下降法求解需要的迭代次数更少？ 用Python实现牛顿法求极值。
高斯消去法的过程如图所示 ? 其中括号内的数字表示对该行处理的次数，比如第三列，该列中的第一个元素没有变化，第二个元素处理了一次，第三个元素处理了两次，处理的过程为 ?...现将这个过程写成数组形式 A=A-B*C，于是就有了下列算法： ? 同传统算法相比较，改进算法只需一重循环，大大提升了效率 ? 算法验证 ?...该算法的瓶颈就是spread函数的效率究竟如何？当然，任何事情都有其两面性。鱼和熊掌不可兼得。
我们知道，梯度下降算法是利用梯度进行一阶优化，而今天我介绍的牛顿优化算法采用的是二阶优化。本文将重点讲解牛顿法的基本概念和推导过程，并将梯度下降与牛顿法做个比较。 1....牛顿法凸优化 上一部分介绍牛顿法如何求解方程的根，这一特性可以应用在凸函数的优化问题上。 机器学习、深度学习中，损失函数的优化问题一般是基于一阶导数梯度下降的。...一阶优化和二阶优化的示意图如下所示： 梯度下降，一阶优化： ? 牛顿法，二阶优化： ? 以上所说的是梯度下降和牛顿法的优化方式差异。那么谁的优化效果更好呢？ 首先，我们来看一下牛顿法的优点。...从整体效果来看，牛顿法优化速度没有梯度下降算法那么快。所以，目前神经网络损失函数的优化策略大多都是基于梯度下降。 值得一提的是，针对牛顿法的缺点，目前已经有一些改进算法。这类改进算法统称拟牛顿算法。...总的来说，基于梯度下降的优化算法，在实际应用中更加广泛一些，例如 RMSprop、Adam等。但是，牛顿法的改进算法，例如 BFGS、L-BFGS 也有其各自的特点，也有很强的实用性。
上一节笔记：数值优化（5）——信赖域子问题的求解，牛顿法及其拓展 ———————————————————————————————————— 大家好！ 这一节，我们会开始关注拟牛顿法。...拟牛顿法是另外一个系列的优化算法，也是无约束优化算法的最后一大块。从这一个部分开始，理论的证明会开始减少，而更多的开始注重于对优化思想的介绍与理解。...统一拟牛顿方法的DM条件 讲完了BFGS，DFP和Brodyen-Family等具体的拟牛顿算法，下面提供一个很有意思的保证拟牛顿法收敛速度的定理。...好的，到此我们就算是介绍好了所有的拟牛顿法的重要内容。 小结 这一节我们主要关注的是拟牛顿法的算法，理论和应用。因为它可以巧妙地避开牛顿法中对海塞矩阵的逆的求解，同时可以保证算法具有超线性的收敛速度。...事实上从拟牛顿法开始，我们的理论部分就开始减少了，对于实操的和理解的部分要求增多。当然了，这样的思想在优化中，自然也是很重要的。
牛顿法 梯度下降法初始点选取问题, 会导致迭代次数过多, 可使用牛顿法可以处理. ?...牛顿法和SGD可视化比较 目标函数 在 处进行二阶泰勒展开: 目标函数变为: 关于 求导,并让其为0,可以得到步长: 与梯度下降法比较，牛顿法的好处： A点的Jacobian和B点的Jacobian...牛顿法求解最小值，只需要迭代六次 ?...牛顿法迭代过程中，X的可视化结果，可以看到这里X迈的步子是很大的 结果:二对于初始点 (0,3), 由于在求解过程中会出现hessian矩阵非正定的情况，故需要对newton法进行改进....Andreas Antoniou Wu-Sheng Lu 最优化理论与算法. 陈宝林 数值最优化方法.
常见的最优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法、共轭梯度法等等。 1. 梯度下降法（Gradient Descent） 梯度下降法是最早最简单，也是最为常用的最优化方法。...所以，可以说牛顿法比梯度下降法看得更远一点，能更快地走到最底部。（牛顿法目光更加长远，所以少走弯路；相对而言，梯度下降法只考虑了局部的最优，没有全局思想。） ...另外，因为拟牛顿法不需要二阶导数的信息，所以有时比牛顿法更为有效。如今，优化软件中包含了大量的拟牛顿算法用来解决无约束，约束，和大规模的优化问题。 具体步骤： 拟牛顿法的基本思想如下。...这样的迭代与牛顿法类似，区别就在于用近似的Hesse矩阵B k 代替真实的Hesse矩阵。所以拟牛顿法最关键的地方就是每一步迭代中矩阵B k 的更新。...常用的拟牛顿法有DFP算法和BFGS算法。 3.
这种方法是最简单的非线性优化方法，但其需要进行很多次迭代。 2....高斯牛顿法 我们对 进行一阶泰勒展开，则有： 我们再对上式建立目标函数，如下所示： 我们对上式进行求导，并令导数为0，则可以得到下面方程： 将 记作 ， 记作 ，则有： 高斯牛顿法... 其中 为信赖域半径， 为系数矩阵，我们使用拉格朗日乘子将上式进行构造： 其中 为拉格朗日乘子，对上式进行求导，可得: 如果将信赖域当成球状，则有 ，上式为: 当 较小时，LM算法接近高斯牛顿法...; 次迭代求解增量 ； 若增量足够小，停止迭代； 若 ，则设置 ，返回步骤2； 若 ，则设置 ，返回步骤2； 若 大小合适，则 ，返回步骤2； 5 Dog-Leg算法 其结合了高斯牛顿法与最速下降法...；计算高斯牛顿法增量，如果太小，也退出； 计算信赖域半径，如果太小，则退出； 根据高斯牛顿法与最速下降法分别计算 和 ，然后计算迭代步长 ； 根据3，4计算Dog-Leg步进值 ，若太小，则退出
上一节笔记：数值优化（4）——非线性共轭梯度法，信赖域法 ———————————————————————————————————— 大家好！...牛顿法 牛顿法（Newton Method）也是一个很经典的迭代算法，它的思路非常简单：我们直接找方程 的根。...非精确牛顿法 非精确牛顿法（Inexact Newton Method）是在牛顿法的基础上，针对它无法解决的那些问题进行修正得到的方法。...我们一步一步来解释这个方法 对应的就是最开始的方程组 。...是因为我们在第3节 数值优化（3）——线搜索中的步长选取方法，线性共轭梯度法 有说明过这么一个性质： Proposition 3: 是函数 在 这个空间上的最小值。 在这里因为我们的 。
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