无限循环小数到那里去啦?...--------------------------- 类型1．化纯循环小数为分数． --------------------------- -----------------------------
近日，量子杂志刊发了来自石溪分校研究者们的最新成果，我们的宇宙可能存在更多的维度！ 在三维空间中，黑洞的表面一定是球体。但是一项新的研究结果表明，在更高的维度中，可能其形状存在无限多的可能。...就像有时假设的那样，是不是存在我们看不见但其影响仍然存在的维度？在那些情况下，其他黑洞形状是否是可能的？数学告诉我们，后一个问题的答案是肯定的。...最近，一篇新论文《Black Lenses in Kaluza-Klein Matter》在这方面做出了进展，来自纽约州立大学石溪分校的两位研究者通过全面的数学证明表明，在五维及更高维度中黑洞可能存在无限数量的形状...当时人们对弦理论的热情高涨，这个想法可能需要 10 或者 11 个维度的存在。物理学家和数学家随后开始认真考虑这些额外维度对黑洞拓扑可能意味着什么。...随后他们进一步发现，对于任何 p 和 q 值以及在任何更高维度上，都可以产生任何棱镜空间形状的黑洞，这意味着在无限多维中产生无限多可能的黑洞。
如果他们成功了，那么他们将会发现一种情况，在这种情况下，这些方程会被打破——可能是一个无限快旋转的漩涡，或者是一个突然停止和开始的电流，或者是一个粒子以无限快的速度掠过它的邻居。...然而，计算机不能明确地发现一个奇点，原因很简单，它们不能处理无限值。如果存在奇点，计算机模型可能会接近方程爆炸的点，但他们永远无法直接看到它。...相反的流动导致形成其他复杂的上下循环的电流。很快，在相反流动相交的边界上的一点，流体的涡度就会爆炸。 虽然这个证明提供了令人信服的奇点证据，但没有证据就不可能确定它是一个奇点。...为了充分证明欧拉方程已被爆破，数学家需要证明，给定近似的奇点，附近存在一个真正的奇点。...这些「不稳定」奇点可能是某些流体动力学模型中唯一存在的奇点，包括没有圆柱边界的欧拉方程（求解起来已经复杂得多）和纳维-斯托克斯方程。「不稳定的事情确实存在。那为什么不找他们呢？」
如果他们成功，他们会发现，在某种情况下方程会被爆破——比如可能会出现一个无限快地旋转的漩涡，或者出现一个突然停止又突然流动的电流，或者是出现一个以无限快的速度掠过的电子。...但是计算机无法确定地发现奇点，原因很简单，因为计算机无法处理无限值。如果奇点存在，计算机模型可能会接近方程被爆破的那个点，但永远无法直接得到奇点。...相反的水流形成了其他复杂的上下循环的水流。很快，在边界上两股相反的水流相遇处，流体的涡度爆发了。...为了充分证明欧拉方程已被爆破，数学家需要证明，给定近似奇点的情况下附近存在一个真实的奇点。...这些“不稳定”奇点可能是某些流体动力学模型中唯一存在的奇点，包括没有圆柱边界的欧拉方程（这一的方程求解起来已经复杂很多）和纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）。
背包集合 代码特点 原因 for外遍历顺序 0-1背包 背包容量for循环j--降序 不论容量多少最多装1次，避免累加 组合→先物品后背包 排列→先背包后物品 完全背包 背包容量for循环j++升序 容量越多最多可方便无限累加...if是, then回溯可能会超时 (力扣：编辑距离) 子问题的解是否相互独立？...，最起码独立可满足最优子结构性质 ——独立：总高考分 = 语文成绩 + 数学成绩 + …，其中语文成绩与数学成绩无关 ——相关：总高考分 = 语文成绩 + 数学成绩 + …，其中语文成绩与数学成绩成反比关系.../ 3.总组合数 = 不装物品i的组合数 + 装物品i的组合数 dp[j] = dp[j] + dp[j - 物品i的重量]; } return dp[背包容量]; 返回组合的存在还是不存在...，或不装两个选择 组合问题（背包容量for循环升序） 返回具体组合数 状态转移方程：总组合数 = 不装物品i的组合数 + 装物品i的组合数 // 1.通用dp初始化 vector dp(
当你爱上数学时，你可能愿意一辈子去研究它而不觉得厌烦，因为它的发展集成了无数人的贡献，自身是博大精深的，但输出却是简单的，简单到一个公式可以描述一个现象，一个方程可以解决一个问题，一片雪花的形成，一个陀螺的转动...数学有三大分支，基础数学，计算数学，应用数学。基础数学的美是淡淡的静静的，当你畅游在各种定理和公式之间，用铅笔在A4纸上辗转于各种逻辑去证明一个新的定理时，你会感觉大脑正沐浴着清新。...偏微分方程，将未知函数和它的偏导数融合在一个方程中。在视觉艺术的应用中，基于泊松方程利用偏微分方程可以实现不同图像上区域的无缝融合。...现在特别热的话题，未来也会为我们带来更多便利的机器人，它们的各种可能姿势就可以透过被称为位形空间的流形来描述。 图论，它可以优雅地表述各种元素及其之间的关系，强大又高效。...在这里是否看到一些哲学，就像人类一直在探索宇宙中是否还有其他类似于地球的存在一样，数学也在探索有限空间外的无限空间，用离散去逼近连续，何时可以收敛，何时又是发散，看似不连通的空间是否连通，在各种变换映射下穿梭于不同维度的空间
现在这个想法很可能要被推翻了：计算机可能比人类更擅长成为「先知」。 ? 在某些领域，计算机能够轻易地预测未来，例如像树汁是如何在树干中流动的这样简单、直观的现象可以被线性微分方程的几行代码所捕获。...这种反馈循环会滋生混乱，即使是初始条件下的微小变化也会导致后来的行为产生巨大变化，从而使预测几乎不可能成功，无论计算机的算力如何。...Childs 的团队使用了 1930 年代的一种过时的数学技术卡尔曼线性化（Carleman linearization），将非线性问题转换为线性方程组。不幸的是，方程组里的方程有无限个。...该团队证明了在特定范围内的非线性方程，他们可以截断该无限方程组并求解方程。...由于粒子都是相互连接的，因此每个粒子的行为都会影响其余的粒子，并以非线性的循环特性反馈到该粒子。
宣布发现这条突破性曲线的邮件截图 今年 8 月，两位数学家发现了一条打破记录的怪异曲线。在此过程中，他们触及了一个仍待解决的重大难题 —— 其涉及到数学领域一类最古老、最基础的方程。...虽然找到简单类型方程的有理解相对直接，但椭圆曲线是真正存在许多未解问题的第一类方程，布朗大学的 Joseph Silverman 说道。「这仅仅是一个三次方程的两个变量，就已经足够复杂了。」...由于没有确凿的证明，数学家们只能就椭圆曲线的真实本质进行辩论，这正说明了这些方程还有很多未知之处。 更大的一盘棋 Elkies，一位杰出的数论学家。...你可以将其切割成无限多的直线，这些直线并排放置。根据你切割的方式，最终得到的线条将由不同的方程定义。 同样地，有更复杂的、曲线的表面，当切割时，会产生无限多的椭圆曲线。...他们需要找到一个无限的曲线堆，保证其秩至少为 22（而不是 17，这是他们迄今为止所能做到的最好结果）。如果存在这样一个堆，那就会与「秩存在有限上限」的已有最有力证据相矛盾。
这两个看起来风马牛不相及的领域，被数学家们巧妙地被结合到一起。 它们是怎么联系起来的，首先还得从两个方程说起。...再看第二个方程数学公式: f(z)=z^2+c，它不是二次曲线，而是与另一门数学分支动力系统有关。 z在这里不是实数，而是实数+虚数。...我们把z、f(z)两个点画在这个平面上，再把f(z)带入方程得到f(f(z))，然后再得到f(f(f(z)))…… 如此“无限套娃”操作，把所有的点都画出来，可以得到以下图形。 ?...有些人可能已经发现，这不就是分形吗，怎么和椭圆曲线联系起来了？ 上面的图形范围有限，说明某些z值在经过无限套娃后，还是有限的数值。...他们利用动力系统，证明了这些点只能重合特定的次数，而且这一次数确实存在——即Manin-Mumford猜想的上界确实存在。
数学家 Bhattacharya 的二维猜想也适用于高维空间。这个假设被称为周期性平铺猜想，类似于不存在非周期性二维瓷砖一样，数学家们也假设不存在合适的三维块或更大维度的情况。...「瓷砖三明治」 他们从构建一种新语言开始，首先将问题重写为一种特殊的方程式。这个方程式中的未知「变量」，即需要解决的问题代表了平铺高维空间的所有可能方式。「但你很难用一个方程式来描述事物，」陶哲轩说。...数学家们试图扭转这种夹层构建程序，将他们的单方程、高维平铺问题改写为一系列低维平铺方程。这些方程后来决定了高维平铺的构造是什么样的。...无限数独 Greenfeld 和陶哲轩希望用他们平铺方程编制的谜题是一个无限多行和大量而有限数量的列组成的网格。...「研究几乎是周期性但不完全是周期性的函数，是数学中一直存在的东西，」不列颠哥伦比亚大学的数学家 Izabella Łaba 说。「但这次是一种非常不同的使用该类型结构的方式。」
这里，引出「状态转移方程」这个名词，实际上就是描述问题结构的数学形式： 为啥叫「状态转移方程」？为了听起来高端。...二、凑零钱问题 先看下题目：给你k种面值的硬币，面值分别为c1, c2 ... ck，每种硬币的数量无限，再给一个总金额amount，问你最少需要几枚硬币凑出这个金额，如果不可能凑出，算法返回 -1 。...那么，既然知道了这是个动态规划问题，就要思考如何列出正确的状态转移方程。 先确定「状态」，也就是原问题和子问题中变化的变量。由于硬币数量无限，所以唯一的状态就是目标金额amount。...= float('INF') else -1 return dp(amount) 至此，状态转移方程其实已经完成了，以上算法已经是暴力解法了，以上代码的数学形式就是状态转移方程： 至此，这个问题其实就解决了...计算机解决问题其实没有任何奇技淫巧，它唯一的解决办法就是穷举，穷举所有可能性。算法设计无非就是先思考“如何穷举”，然后再追求“如何聪明地穷举”。 列出动态转移方程，就是在解决“如何穷举”的问题。
这类方程被称为佩尔方程，几千年来一直让数学家们着迷。 在阿基米德之后几个世纪，印度数学家 Brahmagupta 和后来的数学家 Bhāskara II 发明了找出这类方程整数解的算法。...在环中，√2 可能会与整数相邻。事实证明，佩尔方程可以帮助数学家了解环的特性。 因此，许多非常著名的数学家都研究了佩尔方程，包括费马、欧拉、拉格朗日和狄利克雷。...新工作涉及负佩尔方程，其中 x^2 – dy^2 设置为等于 -1 而不是 1。原始 Pell 方程对于任何 d 值总是有无限数量的整数解，但并非所有 d 值的负佩尔方程都有解。...以 x^2 – 3y^2 = -1 为例，就是一个无解的方程，即使 x^2 – 3y^2 = 1 有无限多的解。 实际上，有很多 d 值使得负佩尔方程无解，例如 d 是 3、7、11、15 时均无解。...此外，他们不仅需要描述一个类群，而且需要描述两个不同类群之间存在的差异，这也是他们证明 Stevenhagen 猜想的主要部分。
之前的系列中，我们期望对数学并没有特别喜好的程序员，也可以从事人工智能应用的开发。但走到比较深入之后，基本的数学知识，还是没办法躲过的。...所以，作为小学数学的课程，这是一个很简单的房价方程式。 然后机器学习的重点来了。 在常见的方程式中，y是计算结果不用说了，x从来都当做未知数，a/b是常量，常量在方程式中也是已知量的意思。...未知数无限多的方程 那说了这么多，这跟梯度下降有啥关系呢？ 事情是这样的，在上面简单的例子中，只有一个特征值x，和两个未知数（两个常量系数需要求解），我们很容易就能解方程。...在这里，我们期望的J(θ)是无限接近于0，所以前面增加1/2不会影响J(θ)的结果。...当然还是期望出现更多的基础数学专家，在基础方程和解方程方面取得突破，相信每一次的收获，对于这个计算密集的领域来说都是里程碑式的。
他们猜测：正如不存在非周期性二维图形一样，也不存在合适的三维（或更复杂）的图形，同理可以推广到任意大的维度之中。 这个假设被称为周期性密铺（periodic tiling）猜想。...密铺三明治 他们从创建一种新语言开始——把要解决的问题，以一种特殊的方程式重写出来。 他们需要解决的，就是这个方程式中的未知「变量」，它们代表了密铺高维空间的所有可能方式。...无限数独 陶哲轩和Greenfeld希望，用他们的密铺方程编程的拼图，是一个具有无限行数和大量和有限列的网格。...她不认为他们会找到一个三维平面图形，但她说四维图形可能存在。因此，Iosevich说，他们不仅反驳了周期性密铺猜想，还「以最打脸的方式做到了这一点。」...同样，数学有许多计算上不可解的问题，即任何算法在有限的时间内都无法解决的问题。 数学家在1960年代发现，关于密铺的问题也可能是不可解的。
让很多人对数学失去信息的第二个原因是，很多解释写得太可怕了。 事实上，大部分人并不擅长解释东西。人们一般要定义一个数学术语，会使用更多的数学术语。这就造成了不理解的一个无限循环。...（几乎所有存在的数都是实数，包括整数、分数、超越数如Pi (π)(3.14159265…)。但是不包括虚数，一种为了求无解方程的解而构造的数，也不包括无穷） Z =所有整数。...方程输入参数x，我令它为2。从0到5循环，取x的1,2,3,4, 5次幂，然后将这些数字添加到一个列表中。它得出列表数字之和为：62。 走进矩阵 记住，2D张量也被称为矩阵。...工程师绝不允许错误答案存在！ 这是一个老段子，但是常常很管用。...另外，你可能需要从多个地方来查询。需要面对的事实是，大部分人都不是好老师。他们可能理解了一篇材料，但是并不意味着他们可以给其他人讲清楚。教学是一门艺术。这就是为什么趣味数学网站比维基百科好。
更疯狂的是：我们可能永远也无法得知该猜想的正误，因为在数学上，已经被证明的一点是：任何可以进行基础运算的数学系统中都存在无法被证明的正确观点。这是数学底层存在的一个永恒漏洞。...形式主义者 1800年代末，两大数学家派系爆发了一场激烈的辩论。 一边是直觉主义者，他们认为康托尔的说法是胡说八道。他们坚信数学是人类思想的纯粹创造，而Cantor所提出的“无限”是不存在的。...也就是说，这张牌是不可证明的，在无限牌组中没有找到它的证据。g本身的陈述很巧妙：g不存在证明。 如果g是假的，那么按照g的陈述，g是可证的。...这就是为什么图灵机器能够有效回答希尔伯特关于数学可判定性的问题。 如果图灵机停止运行，那么程序运行完成，输出结果就会在方格带中显示。但有时候，图灵机可能永远也不会停止，也许会陷入无限循环。...结果证明，这和h本身的定义（h可以正确判定程序是否会停机）存在矛盾。 唯一的解释是，像h这样的机器不可能存在。 当给定输入时，我们无法判定图灵机是否会停止，这意味着数学是不可判定的。
也就是说，需要确定4694条定理之间可能存在4694 * (4694 - 1) = 22028942蕴含的关系真伪。...结合律（方程4512）之外，一些方程（方程14、方程29、方程381、方程3722、方程3744）曾出现在一些Putnam数学竞赛中； 方程168定义了一个引人入胜的结构，被称为「中心幺半群」（central...根据Birkhoff完备性定理，如果一个方程定理蕴含另一个，那么它可以通过有限次重写操作来证明。 不过，所需的重写次数可能相当长。...但这些并不足够，事实上，他们只知道有些反蕴含关系，只能通过构造无限幺半群来证明。 比如，现在已知的Asterix law不蕴含Obelix law，但所有反例必然是无限的。...这些构造存在于交换环和非交换环中。 与「汇聚」（confluent）方程定理相关的自由幺半群，以及更普遍的具有完整重写系统的定理。 因此，未解决的蕴含关系数量继续稳步减少。
再回到之前的这个问题，数学是什么，佛感觉一个无形的手在数学后面推着，数学是什么可能真的是一个见仁见智的问题。而我却总是意淫式的觉得数学是和我们物理的宇宙不一样的一个虚拟宇宙，是一切推理的抽象。 ...尺规作图 尺规作图是古老的几何问题，它模拟了一个无限长的直尺以及一个可以任意半径的圆规，其规则如下： 1.过任意两个不同的已知点可以作过两点的一条直线。 ...自从学习了数学之后，Galois想与前人一样，来攻占一元五次方程的数学堡垒。最终证明了其实一元n次方程(n≥5)是不存在通用的根式求解的。...Galois证明的是，存在整系数的一元五次方程没有一个根可以通过任意整数有限次使用以上5个函数构造出来。 再看看这个描述，是否觉得和之前的尺规作图看起来很像？...此群有个名字，叫n阶循环群。再举个咱码农更容易理解的有限群例子：{真,假}在异或运算上是一个群，"假"是该群的e元,这个群同构于2阶循环群。
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