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将空间中的PDE离散化以与modelica一起使用

PDE（Partial Differential Equation）是偏微分方程的缩写，是数学中的一个重要概念。PDE离散化是指将连续的PDE问题转化为离散的数值问题，以便于计算机进行求解。离散化的目的是将连续的问题转化为离散的网格形式，通过在网格上进行计算来近似求解原始的PDE问题。

离散化方法有多种，常见的包括有限差分法（Finite Difference Method）、有限元法（Finite Element Method）和有限体积法（Finite Volume Method）等。这些方法根据问题的特点和求解的要求选择合适的离散化方法。

离散化的优势在于可以将复杂的连续问题转化为离散的数值问题，通过计算机进行求解。这样可以大大简化问题的求解过程，并且可以得到数值解。离散化方法的精度和稳定性可以通过调整网格的大小和形状来控制，从而满足不同精度和稳定性的要求。

离散化方法在科学计算、工程领域和物理模拟等方面有广泛的应用。例如，在流体力学中，通过将连续的流体方程离散化，可以模拟流体的运动和变化。在结构力学中，通过将连续的结构方程离散化，可以分析结构的应力和变形。在电磁学中，通过将连续的电磁方程离散化，可以模拟电磁场的分布和传播。

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基于神经网络的偏微分方程求解器再度取得突破,北大&字节的研究成果入选Nature子刊

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被誉为「教科书」，牛津大学231页博士论文全面阐述神经微分方程，Jeff Dean点赞

传统的参数化微分方程是特例，残差网络和循环网络等很多流行的神经网络架构呈现离散化。神经微分方程能够提供高容量的函数近似，在模型空间上表现出强先验，有能力处理不规则数据，还具有很高的内存效率。...在回答网友的提问「为什么神经微分方程如此重要」时，作者表示，「神经微分方程将当前使用的两种主流建模方法——神经网络和微分方程结合在一起，为我们提供了很多在神经网络和微分方程中使用得很好的理论，并在物理、...先离散后优化：这与 ODE 示例完全相同——只需通过受控 / 随机微分方程求解器的内部操作进行微分，通常使用在自微分框架中编写的求解器。...CDE 的先优化后离散：这类方法有两种，可以为 CDE 构建连续伴随（continuous adjoint）方法。一种是将 CDE 简化为第 3 章中的 ODE，然后对 ODE 应用连续伴随方法。...与神经 ODE 一样，未来的另一个研究方向是它们在实际中的应用，或者如何将它们与非神经 CDE、SDE 相结合。在神经 PDE 方面，例如，一个卷积网络大致相当于一个抛物型 PDE 离散化。

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图神经网络的困境，用微分几何和代数拓扑解决

然而，前两者具有明确的连续形式的类比对象，grid 可以被认为是欧几里得空间或更一般的均匀空间（如球体）的离散化，mesh 则是二维流形的常见离散化），图却没有直接的连续形式的类比。...这种机制与图上的扩散过程有关，可以用称为「扩散方程」的偏微分方程 (PDE) 形式表示。...我们最近在一篇论文中展示了这种具有非线性可学习扩散函数的 PDE 的离散化（称为 GRAND），泛化了一大类 GNN 架构，例如图注意力网络（GAT。...他们将图像建模为嵌入在联合位置和颜色空间中的流形，并通过 PDE 对它们进行推导演化，以最小化嵌入的谐波能量。...总结这些例子表明，微分几何和代数拓扑为图机器学习中重要且具有挑战性的问题带来了新的视角。在本系列的后续文章中，我将更详细地展示如何使用这些领域的工具来解决上述图神经网络问题。

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Wolfram System Modeler 与 Simulink 和 MapleSim

Wolfram System Modeler 是最完备的物理建模与仿真工具。与其他系统不同，System Modeler 不需要附加程序，并完全支持 Modelica 的标准建模语言。...System Modeler 的设计宗旨是与 Mathematica 完美连接，以实现集建模、仿真和分析为一体的集成化工作流程。产品对比 ?...简化工作流程 System Modeler 执行 Modelica 语言，利用其基于组件建模的优势，对组件中的流程进行建模。与基于模块的建模方法相比，这一方法有显著的优势。...超越仿真一个高保真模型远远不止是用于数值仿真，还包括从最优化和控制设计到自定义可视化和交互性的方方面面。...System Modeler 可以将功能模拟单元导出并导入，使得在其他工具使用模型以及将保留模型移入 System Modeler 成为可能。 ?

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还记得高数中的「斯托克斯公式」吗？用深度学习在傅里叶空间中求解可提速1000倍

新智元报道来源：外媒编辑：QJP 【新智元导读】近日加州理工学院的研究人员推出一种用于解决偏微分方程（PDE）的全新深度学习技术，通过直接在傅立叶空间中对积分内核进行参数化，制定了一种新的神经元运算符...以纳维-斯托克斯公式方程为例个方程在这里，「解决」的含义可能最好地通过一个例子来说明。假设你正试图模拟空气湍流来测试一种新的飞机设计。...这些计算是高度复杂和计算量巨大的，这也就是为什么使用大量偏微分方程的学科常常依赖于超级计算机来做数学。...虽然他们还没有尝试将这个方法推广到其他例子中，但是在求解与地震活动相关的偏微分方程时，它应该能够处理每一种地球成分，或者在求解与热导率相关的偏微分方程时，能够处理每一种材料类型。...正是通过与气候科学、地震学和材料科学领域的各种合作者的交谈，Anandkumar 第一次决定与她的同事和学生一起解决 PDE 的挑战。

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偏微分方程（PDE）：一维平流方程：描述流体或物质在空间中的移动。一维热传导方程：描述热量在物体内部的传递过程。二维双曲方程：用于描述波动现象，如声波和水波。...模型验证与调整：将求解结果与实际情况进行对比，分析其一致性，并根据需要对模型进行修正和优化。...深度学习的应用：深度学习方法可以捕捉到“藏在数据下面”的物理信息，准确度比传统的PDE离散方程高得多，并且省去了传统方法中需要对PDE构造不同复杂离散网格的步骤。...有限差分法通过将微分方程离散化为代数方程组来求解。这种方法适用于偏微分方程的定解问题，如椭圆型方程、抛物线型方程和双曲型方程。...梯度下降法主要用于非线性微分方程的优化问题，通过迭代更新解的位置以最小化目标函数。该方法在处理非线性问题时非常有效，但可能需要较长的计算时间。

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有限元法（FEM）

此外，亦可以推导出空变与时变问题中的电磁场和通量方程，从而得到偏微分方程组。继续这一讨论，让我们看看如何从偏微分方程中推导出所谓的弱形式公式。...有限元法是一种系统性的方法，将无限维函数空间中的函数转换为有限维函数空间中的一类函数，最后再转换为可以用数值方法处理的普通矢量（在某一矢量空间中）。...首先，要实现离散化，就意味着要在希尔伯特空间 H 的有限维子空间中寻找方程（15）的近似解；如此，T ≈ Th。...一种方法是对时间域也使用有限元法，但这种做法可能会耗费大量的计算资源。经常采取的另一种方案则是通过直线法来对时间域进行独立的离散化。比如可以使用有限差分法。...后验估计使用的则是近似解，并结合了相关问题的其他近似，以估计出误差的模。

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AI已能求解微分方程，数学是这样一步步“沦陷”的

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