R个N维向量表示的新空间中，那么首先将R个基按行组成矩阵A，然后将向量按列组成矩阵B，那么两矩阵的乘积AB就是变换结果，其中AB的第m列为A中第m列变换后的结果。...R决定了变换后数据的维度 两个矩阵相乘的意义是将右边矩阵中的每一列列向量变换到左边矩阵中每一行行向量为基所表示的空间中去 协方差矩阵及优化目标 如何选择基才是最优的。...寻找一个一维基，使得所有数据变换为这个基上的坐标表示后，方差值最大。 协方差 找到一个方向使得投影后方差最大，这样就完成了第一个方向的选择，继而我们选择第二个投影方向。...由上面两条可知，一个n行n列的实对称矩阵一定可以找到n个单位正交特征向量，设这n个特征向量为e1,e2,⋯,en，将其按列组成矩阵： E = (e_1, e_2, ... , e_n) 则C...PCA算法 将原始数据按列组成n行m列矩阵X 将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值。
当一个数组中存在2张3行4列的表时，shape返回的是更高维度的行和列。当数组中存在2组2张3行4列的表时，数据就是4维，shape返回(2,2,3,4)。...设有m条n维数据： 1）将原始数据按列组成n行m列矩阵 ； 2）将 的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值得到新的矩阵X； 3）求出协方差矩阵 ； 4）求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量...； 5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵Q； 6）Y = QK即为降维到k维后的数据。...（P换成Q） 同时，我们可以验证协方差矩阵P（实对称矩阵）的对角化。...（实对称矩阵：如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（ ，i和j为元素的脚标），则称A为实对称矩阵，实对称矩阵一定可以对角化） 讲完SVD算法，就有一个疑问了，参数svd_solver
主成分分析简介 主成分分析是一种降维算法，它能将多个指标转换为少数几个主成分，这些主成分是原始变量的线性组合，且彼此之间互不相关，其能反映出原始数据的大部分信息。...(x); disp('样本相关系数矩阵为：') disp(R) %% 第三步：计算R的特征值和特征向量 % 注意：R是半正定矩阵，所以其特征值不为负数 % R同时是对称矩阵，Matlab计算对称矩阵时...：') % 注意：这里的特征向量要和特征值一一对应，之前特征值相当于颠倒过来了，因此特征向量的各列需要颠倒过来 % rot90函数可以使一个矩阵逆时针旋转90度，然后再转置，就可以实现将矩阵的列颠倒的效果...次，构成一个n*p的矩阵 F(:, i) = sum(Ai .* X, 2); % 注意，对标准化的数据求了权重后要计算每一行的和 end 前两个的主成分累计贡献率已达97.74%，因此保存主成分的个数选择...输入个数之后，得到F矩阵，将数据导入Spss或Stata可以做聚类或回归。
给定高维度设置（例如3D或1,000 D）中的某些数据点，目标是将这些点嵌入较低的空间（例如2维），以便保留输入数据的局部邻域结构可能以其嵌入式形式出现。...当A点对B点的影响与B点对A的影响不同时，它们是不对称的。 为了使它们相等，将两种贡献相加并在它们之间进行分配，这称为对称化概率。 最初，由于使用了不必要的中间存储缓冲区，对称化步骤效率很低。...为了实现此优化，我们首先使用快速cuML primitives将点之间的距离转换为COO（坐标格式）稀疏矩阵。稀疏矩阵格式擅长表示连接的节点和边的图。...COO格式由3个非常简单的数组表示：数据值（COO_Vals），列索引（COO_Cols）和单个行索引（COO_Rows）。 例如，假设有一个给定的点（0，7），其值为10。...COO布局不包括有关每一行的开始或结束位置的信息。 包含此信息使我们可以并行化查找，并在对称化步骤中快速求和转置后的值。 RowPointer的想法来自CSR（压缩稀疏行）稀疏矩阵布局。
m列矩阵，然后用「基矩阵」乘以这个矩阵，就得到了所有这些向量在新基下的值。...我们归纳得到：设我们有 m个 n维数据记录，将其按列排成 n乘 m的矩阵 X，设 C = \frac{1}{m}XX^T，则 C是一个对称矩阵，其对角线分别个各个特征的方差，而第 i行 j列和 j行 i...6.协方差矩阵对角化 再回到我们的场景和目标： 现在我们有 m个样本数据，每个样本有 n个特征，那么设这些原始数据为 X， X为 n行 m列的矩阵。...由上面两条可知，一个 n 行 n 列的实对称矩阵一定可以找到 n 个单位正交特征向量，设这 n 个特征向量为 e_1,e_2,⋯,e_n，我们将其按列组成矩阵： 则对协方差矩阵 C有如下结论：...1）将原始数据按列组成 n行 m列矩阵 X 2）将 X的每一行（代表一个特征）进行零均值化，即减去这一行的均值 3）求出协方差矩阵 C=\frac{1}{m}XX^ 4）求出协方差矩阵 C的特征值及对应的特征向量
线性代数的角度：将样本数据代入假设函数中，构建线性方程组Ax=b。若样本个数明显多于特征维度，则b很有可能没有落在A的列空间中，因此方程组无解。...如果方阵Q的所有列均是标准正交的，就被称作正交矩阵，即通常意义正交矩阵要满足方阵和列向量标准正交两个条件。...再使用置换将所有矩阵转换为对角线型，同时伴随着符号的变换，这也是逆序数变换符号的来历。...而使用代数余子式计算行列式的方法，也可以利用通项公式按某一行元素重新结合直接得到，同时，代数余子式的符号也由对应元素的下标和决定。以上公式对列同样有效。...马尔科夫矩阵中所有元素值均>0，同时矩阵中每一列的和为1，即矩阵的列元素均表示状态转移的概率。于是，对于马尔科夫矩阵有2点关键：①存在一个特征值 λ 为1；②其他所有 |λ| 均<1。
矩阵的转置：沿左上到右下的对角线为轴进行翻转，将(i,j)位置的元素与(j,i)位置的元素互换得到的矩阵，转置的矩阵用AT表示。 ? 矩阵转置的一些运算规则： ?...因此，通过初等行变换，如果我们能够将增广矩阵转换为一个相对简单的形式，那么我们可以很快的得出最终的解。 ?...8.3 行列式的计算 我们首先来介绍余子式和代数余子式，一个矩阵的任意一个元素aij都有对应的余子式，它就是将第i行和第j列划掉之后所得到的矩阵的行列式，用det(Aij)表示： ?...所以对一个正交矩阵，有如下三点性质： 1)行和列都是正交的范数为1的向量 2)范数不变性 3)其转置等于其逆矩阵 14.9 对称矩阵 如果一个矩阵的转置等于其本身，那么这个矩阵被称为对称矩阵(symmetric...对于对称矩阵来说，它的特征值都是实数： ? 同时，不同的特征根所对应的特征向量，是正交的： ?
正交矩阵的性质： 列向量（或行向量）是单位正交向量：正交矩阵的每一列（或每一行）都是单位向量，且两两相互垂直。 行列式为1或-1：正交矩阵的行列式值要么是1，要么是-1。...顺序主子式：从矩阵的左上角开始，依次取1×1、2×2、...、n×n的子矩阵的行列式。 主子式：更一般地，从矩阵中任意选取k行k列（行号和列号相同），所形成的子矩阵的行列式。...可以拆开研究，首先实对称矩阵：一个矩阵的转置等于其本身，且所有元素都是实数的方阵；正交相似化：将一个矩阵通过一个正交变换转化为对角矩阵的过程。 实对称矩阵的特征值：实对称矩阵的所有特征值都是实数。...实对称矩阵的特征向量：实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是相互正交的。 正交矩阵的构造：将实对称矩阵的所有特征向量单位化后，按列组成一个矩阵，这个矩阵就是正交矩阵。...还有一种矩阵叫，正交相似矩阵，其实我只是在一个评论区看到的。正交相似变换是一种特殊的相似变换，它在保持矩阵特征值不变的同时，还具有保留对称性、简化矩阵等性质。
可以稍微推广一下，如果我们有m个二维向量，只要将二维向量按列排成一个两行m列矩阵，然后用“基矩阵”乘以这个矩阵，就得到了所有这些向量在新基下的值。...一般的，如果我们有M个N维向量，想将其变换为由R个N维向量表示的新空间中，那么首先将R个基按行组成矩阵A，然后将向量按列组成矩阵B，那么两矩阵的乘积AB就是变换结果，其中AB的第m列为A中第m列变换后的结果...最后，上述分析同时给矩阵相乘找到了一种物理解释：两个矩阵相乘的意义是将右边矩阵中的每一列列向量变换到左边矩阵中每一行行向量为基所表示的空间中去。更抽象的说，一个矩阵可以表示一种线性变换。...则C是一个对称矩阵，其对角线分别个各个字段的方差，而第i行j列和j行i列元素相同，表示i和j两个字段的协方差。...PCA算法 总结一下PCA的算法步骤： 设有m条n维数据。 1）将原始数据按列组成n行m列矩阵X 2）将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值 3）求出协方差矩阵 ?
1.1 基本符号 我们使用以下符号： ，表示 为由实数组成具有行和列的矩阵。 ，表示具有个元素的向量。 通常，向量将表示列向量: 即，具有行和列的矩阵。...如果我们想要明确地表示行向量: 具有 行和列的矩阵 - 我们通常写（这里的转置）。...对角阵通常表示为：，其中： 很明显：单位矩阵。 3.2 转置 矩阵的转置是指翻转矩阵的行和列。...给定一个矩阵： , 它的转置为的矩阵 ，其中的元素为： 事实上，我们在描述行向量时已经使用了转置，因为列向量的转置自然是行向量。 转置的以下属性很容易验证： 3.3 对称矩阵 如果，则矩阵是对称矩阵。...最后，如果同时具有正特征值和负特征值，比如 λ和，那么它是不定的。这是因为如果我们让满足和，同时所有的，那么 ,我们让满足和，同时所有的，那么 特征值和特征向量经常出现的应用是最大化矩阵的某些函数。
行视图为所有人熟知，即求解空间内不同方程所代表的线、面、体交点；列视图表示空间内列向量间的线性表示，在线性代数上用到最多；矩阵表示则是引入矩阵，将方程组以Ax=b重新编排，A是m*n的矩阵。...其中，行变换为左乘，列变换为右乘。...如果A·B = B·A = I，则A与B互为可逆矩阵。若矩阵A可逆，则|A|不等于0，或者Ax=0只有零解。逆矩阵可以通过将[A|E]全用行变换或全用列变换为[E|B]求得。...对于任意置换矩阵， ? ，即 ? 。矩阵转置就是互换A的行和列，其中，若A转置·A=B，则B一定为对称矩阵。向量空间Rn，由全体包含n个元素的向量构成，全体向量对数乘和加减运算封闭。...另外，列空间和零空间必须满足数乘和加减封闭。 7、 Ax=0主变量和特解：求解Ax=0首先要使用高斯消元将A转换为标准行阶梯矩阵U，求解Ux=0的解空间即A的零空间不变。
，以此使用较少的数据维度，同时保留住较多的原数据点的特性。...协方差矩阵是一个P*P的对称矩阵（P是维度的数量）它涵盖了数据集中所有元组对初始值的协方差，例如一个拥有三个变量x,y,z和三个维度的数据集，协方差矩阵将是一个3*3的矩阵（协方差的计算方法及含义见上文...文末我们再来举例说一下如何计算特征值和特征矩阵。 四、主成分向量 主成分向量仅仅是一个矩阵，里面有我们决定保留的特征向量。...具体的做法便是用原数据矩阵的转置乘以主成分矩阵的转置。...PCA的流程总结如下： 1）将原始数据按列组成n行m列矩阵X 2）将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值 3）求出协方差矩阵 4）求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量 5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵
压缩对称矩阵 什么是对称矩阵？ 在一个n阶矩阵A中，若所有数据满足如下述特性，则可称A为对称矩阵。 a[i][j]==a[j][i] i是矩阵中的行号。 j是矩阵中的列号。...0<<i,j<<n-1 在n阶对称矩阵 a[i][j]中，当i==j(行号和列号相同)时所有元素所构建成的集合称为主对角线。...对称矩阵的上三角和下三角区域中的元素是相同的，以n行n列的二维数组存储时，会浪费近一半的空间，可以采压缩机制，将 二维数组中的数据压缩存储在一个一维数组中，这个过程也称为数据线性化。...矩阵的内置操作有很多，本文选择矩阵的转置操作来对比压缩前和压缩后的算法差异性。 什么是矩阵转置？ 如有 m行n列的A 矩阵，所谓转置，指把A变成 n行m列的 B矩阵。...3.2 以列为优先搜索 经过转置后，A稀疏矩阵的行会变成B稀疏矩阵的列，也可以说A的列变成B的行。如果在A中以列优先搜索，则相当于在B中以行优先进行搜索。
好在Python之中，如果不考虑转换速度，不同模块之间共享数据非常容易。前面的演示中已经有了将NumPy矩阵转换为SymPy矩阵，以及将SymPy的计算结果转换到NumPy的实例。...7, 8, 9]]) 获取行向量、列向量，相当于获取矩阵某一行或者某一列所有的数据。...课程中介绍了格拉姆-施密特(Graham-Schmidt)正交化法，将一个列满轶的矩阵A，转换为一个由标准正交向量组构成的矩阵Q。...老师给了几个人工判定的标准： 矩阵为对称方阵。 所有特征值为正。 所有主元为正。 从左上角开始的子对称矩阵行列式为正。 对于任意非零向量x,xᵀAx的结果为正。...；第二个系数12是A第1行第2列及第2行第1列的和；第三个系数就是c了。
下面是正定矩阵的定义和一些基本性质： 定义： 一个n阶的实对称矩阵A被称为正定矩阵，如果对于所有的非零向量x，都有x^T A x > 0。这里的x^T表示向量x的转置。...换句话说，正定矩阵的每个特征值都是正的。 性质： 1. 所有主子式（即从矩阵中选取的任意行和列构成的子矩阵的行列式）都是正的。 2. 正定矩阵是可逆的，即存在唯一的逆矩阵。 3....请注意，并不是所有正定矩阵的乘积都是正定的。例如，如果两个矩阵的乘积不是对称的，那么它们的乘积可能不是正定的。此外，如果矩阵不是对称的，即使它们是正定的，它们的乘积也不一定是正定的。...数据标准化： 将图像数据标准化到固定的均值和标准差，有助于加快模型的收敛速度和提高模型训练的稳定性。...图像格式转换： 可以将图像从 PIL Image 或 NumPy 数组转换为 PyTorch 的 Tensor 格式。PyTorch 模型训练通常要求输入为 Tensor 格式。
先存放第一行，在存放第二行，依次类推存放所有行。...5.5对称矩阵压缩存储 5.5.1定义及其压缩方式 什么是对称矩阵：a(i,j) = a(j,i) 对称矩阵的压缩方式：共4种 下三角部分以行序为主序存储的压缩【学习，...三元组组成：row行、column列、value值 三元组表：用于存放稀疏矩阵中的所有元素。 ...特点：矩阵N[m×n] 通过转置 矩阵M[n×m] 转置原则：转置前从左往右查看每一列的数据，转置后就是一行一行的数据。 ...基本思想：分析原稀疏矩阵的数据,得到与转置后数据关系 每一列第一个元素位置：上一列第一个元素的位置 + 上一列非零元素的个数 当前列，原第一个位置如果已经处理，第二个将更新成新的第一个位置。
置换矩阵 在之前关于线性方程求解的时候，我们曾经说过，在碰到主元为0的时候，我们需要使用置换矩阵，将非0的主元换到当前位置来。这个用来置换矩阵中一些行的矩阵，就叫做置换矩阵，一般写作 P 。...} 我们可以看成原矩阵的第一行变成了转置矩阵的第一列，原矩阵的第一列变成了转置矩阵的第一行。...接着，我们根据上面这个例子写出转置矩阵的定义： (A^T)_{i,j} = A_{j, i} 对称矩阵 对称矩阵的定义非常简单，就是它的转置等于它本身，即 A^T = A 。...教授举了个例子： 关于对称矩阵有一个神奇的性质，任何矩阵和它的转置相乘得到的结果都是对称矩阵： R^TR 是一个对称矩阵。...由于 A 矩阵中有两列，这两列构造出的子空间必然包含它们所有的线性组合，这样的子空间称为列空间，写作 C(A) 。
先存放第一行，在存放第二行，依次类推存放所有行。...【学习，掌握】 下三角部分以列序为主序存储的压缩 上三角部分以行序为主序存储的压缩 上三角部分以列序为主序存储的压缩 n×n对称矩阵压缩 n (n+1) / 2 个元素，...1） 概述 使用三元组唯一的标识一个非零元素 三元组组成：row行、column列、value值 三元组表：用于存放稀疏矩阵中的所有元素。...特点：矩阵N[m×n] 通过转置 矩阵M[n×m] 转置原则：转置前从左往右查看每一列的数据，转置后就是一行一行的数据。...基本思想：分析原稀疏矩阵的数据,得到与转置后数据关系 每一列第一个元素位置：上一列第一个元素的位置 + 上一列非零元素的个数 当前列，原第一个位置如果已经处理，第二个将更新成新的第一个位置。
对于该类型矩阵，可以只存储一半的数值加上对角线的内容，一共需要分配n*(n+1)/2的存储空间。同时，上（下）三角矩阵也可以用此方式进行存储。...稀疏矩阵通常用三元数组进行存储，（i，j，value）分别表示不为零的元素的行、列以及值。 除了上述的三元数组的压缩方式，稀疏矩阵还有两种压缩方式。分别是行逻辑链接的顺序表、十字链表。...该方法存储的表，要进行转置操作非常便利。转置需要进行三步操作，分别是：行列的值进行转换、i和j进行转换、重新从小到大排列i和j。因此，转置的重点在于最后一步——排序。...对于排序，可以通过从0开始扫描原数组的列，并将结果相应放入新数组的行。也可以采用下述的快速转置法。...快速转置数组算法： 假设原矩阵为M，新矩阵为T，引入两个新的数组，数组num[col]为第col列非零元的个数，cpot[col]为第col列第一个非零元在新矩阵T生成的三元组顺序表的位置。
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