如何得到这个简单方程的代数解和符号雅可比矩阵？ - 腾讯云开发者社区 - 腾讯云

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【GAN优化】从动力学视角看GAN是一种什么感觉？

考虑到很多人微积分和线性代数等知识的涉猎不多，我将会对涉及的内容都做出基本说明，也并不会涉及过深入的东西，然后争取串成一个故事，扩展一下大家的视野。...其实无论是什么视角，都是为了能更好的解决训练收敛的问题。 1 常微分方程与欧拉法很多人平时接触的方程大部分是代数方程、超越方程等等，比如： ? 其解是一个或几个数值，例如上式的解为： ?...需要说明，对于常微分方程，只有某些特殊类型的方程能求得解析解，大部分是很难求得解析解的，所以实际中主要依靠数值法来近似计算求得数值解，以一个简单的具有初始值常微分方程为例： ? 其解析解为： ?...而数值解只能给出部分、离散的自变量、因变量近似数值对，例如 ? 欧拉法便是一种非常经典的一阶数值方法。给定初始值和一系列固定间隔h的离散时间点，则可迭代计算： ? 得到微分方程的数值解。...容易证明对于零和博弈(f=-g)，在纳什均衡点，其雅可比矩阵： ? 是负定的。反过来，可以通过检查雅可比矩阵的性质来判断是否达到了局部收敛，如果在某个点，其一阶导数为0 ?

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反向传播算法：定义，概念，可视化

未完待续…… 分析可能是你们在学校里做过用代数的方法来分析反向传播。对于普通函数，这很简单。但当解析法很困难时，我们通常尝试数值微分。...雅可比矩阵有时我们需要找出输入和输出都是向量的函数的所有偏导数。包含所有这些偏导数的矩阵就是雅可比矩阵。有函数 ? 雅可比矩阵J为: ? ?...我们考虑x的组成，以及它的成分如何影响药物的整体效果。 ? 在这里，我们测量的是整个药物的效果对药物中这个小成分的敏感度。一个简单的模型 ?...符号对符号导数到目前为止，您已经了解了如何得到神经网络中节点梯度的代数表达式。通过链式法则在张量上的应用和计算图的概念。...代数表达式或计算图不处理具体问题，而只是给我们的理论背景，以验证我们正在正确地计算它们。它们帮助指导我们的编码。在下一个概念中，我们将讨论符号对数值导数的影响。

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机器人逆运动学进阶：李代数、矩阵指数与旋转流形计算

做机器人逆运动学（IK）的时候，你迟早会遇到矩阵指数和对数这些东西。为什么呢？因为计算三维旋转的误差，不能简单地用欧氏距离那一套，那只对位置有效。...这篇文章就是要把这事儿说清楚：从旋转矩阵构成的李群开始，到流形和切空间，再到怎么用叉积算旋转矩阵的导数，如何对旋转矩阵做增量更新，最后是如何计算从一个姿态到另一个姿态需要的角速度。...有时候你会看到这个操作写成帽子符号，都是一个意思。所有3×3实反对称矩阵构成的空间叫做(3)，这是SO(3)的李代数，也就是SO(3)在单位矩阵处的切空间。...矩阵指数：精确的旋转更新有了上面的理解，我们再看这个微分方程： R的每一列代表一个坐标轴，和ω做叉积得到的矩阵描述了各个轴因为旋转产生的速度。那怎么得到更新后的旋转矩阵呢？...上面那个微分方程其实是个线性常微分方程，解是：矩阵指数函数通过泰勒展开定义，大部分线性代数库都有实现。

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深度学习利器之自动微分(1)

假设损失函数为 y = f(x)，我们寻找其最小值，就是求这个函数的极值点，那么就是求其一阶导数 f'(x) = 0 这个微分方程的解。...符号计算用于求解数学中的公式解（也称解析解），得到的是解的表达式而非具体的数值。...符号微分适合符号表达式的自动求导，符号微分的原理是用下面的简单求导规则替代手动微分：符号微分利用代数软件，实现微分的一些公式，然后根据基本函数的求导公式以及四则运算、复合函数的求导法则，将公式的计算过程转化成微分过程...符号微分：直接对代数表达式求解析解，最后才代入数值进行计算。...2.5.2.2 雅克比矩阵在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。

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SymPy库解读

SymPy是一个用于符号数学计算的Python库。与传统的数值计算库不同，SymPy专注于处理符号表达式，使得用户能够进行符号计算、代数操作和解方程等任务。...解方程 SymPy是一个强大的方程解法工具。可以用它来解线性方程、二次方程和更复杂的方程。...= solve(equation, x) # 打印解 print(solution) 在这个例子中，我们定义了一个二次方程x**2 - 4 = 0，然后使用SymPy的solve函数求解方程，得到方程的根...高级功能 SymPy还包含许多高级功能，如解微分方程、数值积分、符号逻辑和概率统计等。这些功能使SymPy成为一个强大的符号计算工具。...}, 事件Y的概率: {probability_y}") 这个例子演示了如何使用SymPy进行基本的概率计算。

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MATLAB非线性方程组解法全攻略

在工程计算和科学研究中，我们经常会碰到非线性方程组这个令人头疼的问题。与线性方程组相比，非线性方程组往往没有简单直接的解法，需要借助数值方法和迭代技术。...而MATLAB作为数值计算的利器，提供了多种处理非线性方程组的工具和函数。今天就来和大家分享一下如何用MATLAB解决这类问题！什么是非线性方程组？先来说明一下，什么是非线性方程组？...但是这个方程组实际上有多组解！如果我们换一个初始猜测值x0 = [-1; -1]，就会得到另一组解：x ≈ -1.7321, y ≈ -0.5774。这也是非线性方程组的一个特点：可能存在多组解。...: 雅可比矩阵函数 % x0: 初始猜测值 % tol: 收敛容差 % maxIter: 最大迭代次数end```使用这个自定义牛顿法解前面的方程组：```matlab% 定义方程组和雅可比矩阵...缺点是需要手动计算雅可比矩阵，对于复杂方程组来说可能很困难。处理复杂的非线性方程组对于更复杂的非线性方程组，比如包含指数、三角函数等的方程组，处理方法基本相同，但可能需要更仔细地选择初始值和优化参数。

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进一步解析高斯牛顿法原理推导

概述高斯牛顿法是一种用于求解非线性最小二乘问题的优化算法，它是牛顿法的一种改进，专门针对最小二乘问题的特殊结构而设计，旨在更高效、更稳定地找到最优解。...用数学形式表达，目标是最小化以下目标函数：简单来说，高斯牛顿法的目的就是找到那个让“总的预测不准程度”最小的模型参数 β。 2....整理得到著名的正规方程：第四步：求解增量并迭代从上式解出增量 δ：对比牛顿法：牛顿法的更新公式为：其中 Hessian 矩阵 HH 的计算非常复杂：高斯牛顿法的巧妙之处在于它忽略了二阶项...当残差 ri 很小（接近最优解）时，二阶项 ∑ri∇2ri是微不足道的，此外，JTJ 总是半正定的，能保证迭代朝着下降方向进行。 3....计算雅可比矩阵：雅可比矩阵 J(βk)，通常通过解析求导或数值差分。构建正规方程：计算 JTJ 和 JTr。求解增量：求解线性方程组 (JTJ)δk=−JTr，得到 δk。

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多元微积分-向量分析上

一元向量值函数，简单来说就是一个变量作为输入，输出结果是一个向量的函数。这个叫什么来着，好像是向量场分析？...雅克布矩阵就是干这个事情的，逆运动学解算也有的。雅可比矩阵就像是一个“变化速率表” 雅可比矩阵就是用来描述这种“多因素共同影响”的数学工具。...这个函数就像一个机器，你给它两个数字，它就吐出一个结果。雅可比矩阵就是这个机器在某个特定输入点上的“说明书”，告诉你如果稍微调整一下输入的两个数字，输出会如何变化。想象站在一座山坡上。...在向量分析中，雅可比矩阵（Jacobian matrix）是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。它描述了多元函数在某一点的局部线性逼近。简单来说，雅可比矩阵可以看作是多元函数的导数的推广。...定义完了，开始找这个值到底是多少按照线性代数的理论，把它写成这样，一个点和一个方向向量重合的时候就是最大的时候打开以后就有两个值现在就计算出来了梯度那不打算子开始看这几个值的大小关系

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用Python学数学之Sympy代数符

计算机代数系统 Sympy可以实现数学符号的运算，用它来进行数学表达式的符号推导和验算，处理带有数学符号的导数、极限、微积分、方程组、矩阵等，就像科学计算器一样简单，类似于计算机代数系统CAS，虽然CAS...解一元一次方程我们来求解这个一元一次方程组。...,解一元一次方程就非常简单。...解二元一次方程组我们来看如何求解二元一次方程组。...解三元一次方程组我们来看如何解三元一次方程组。（题目来自人教版七年级数学下） $$ \begin{cases} x+y+z=12,\\ x+2y+5z=22,\\ x=4y.

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MATLAB符号微积分实战指南

符号微积分让你能够：- 定义符号变量和表达式- 进行符号微分和积分- 求解方程和方程组- 简化复杂的数学表达式- 进行级数展开- 求极限这不仅能帮助你快速得到结果，还能检验手工计算是否正确。...解方程：告别繁琐的手算解方程也是符号计算的强项之一。无论是代数方程还是微分方程，MATLAB都能优雅地处理。...解代数方程matlabsyms xeqn = x^2 - 5*x + 6 == 0;solution = solve(eqn, x);disp('方程的解:')disp(solution)这里我们解了一个简单的二次方程...dsolve(diffeqn, cond);disp('微分方程的解:')disp(ySol)这个例子解决了一个一阶微分方程，并且指定了初始条件。...;disp('速度随时间的变化:')disp(vSol)这个例子展示了如何使用MATLAB解决物理中的常微分方程问题。

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Jacobian矩阵和Hessian矩阵

前言还记得被Jacobian矩阵和Hessian矩阵统治的恐惧吗？本文清晰易懂的介绍了Jacobian矩阵和Hessian矩阵的概念，并循序渐进的推导了牛顿法的最优化算法。...还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。...雅可比矩阵雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近. 因此, 雅可比矩阵类似于多元函数的导数。假设是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。...这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵, 这就是所谓的雅可比矩阵：此矩阵表示为：，或者为。这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置yi(i=1,…,m)表示的。...海森矩阵在牛顿法中的应用一般来说, 牛顿法主要应用在两个方面，1, 求方程的根; 2, 最优化。 1) 求解方程并不是所有的方程都有求根公式，或者求根公式很复杂，导致求解困难。

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《C++与 Armadillo：线性代数助力人工智能算法简化之路》

Armadillo 库的出现，则为在 C++中处理线性代数运算提供了极大的便利，本文将深入探讨如何借助 Armadillo 库简化线性代数运算在人工智能算法中的实现。...而且，在模型训练过程中，计算损失函数的梯度也需要进行大量的线性代数运算，如雅可比矩阵的计算等。线性代数运算的效率和准确性直接影响着神经网络的训练速度和模型的性能。...对于熟悉线性代数概念和数学符号的开发者来说，能够快速上手并运用到实际的人工智能算法开发中。...例如，创建一个矩阵、进行矩阵乘法、计算矩阵的逆等操作，都可以通过简单且符合数学逻辑的函数调用来完成，大大降低了开发的难度和复杂性。...（三）丰富的功能涵盖了几乎所有常见的线性代数运算，包括矩阵和向量的基本运算（如加法、减法、乘法、除法）、矩阵分解（如 LU 分解、QR 分解、特征分解等）、线性方程组求解、矩阵求逆、行列式计算等。

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hesse矩阵和jacobi矩阵_安索夫矩阵和波士顿矩阵区别Jacobian矩阵和Hessian矩阵

，海森矩阵和牛顿法的介绍，非常的简单易懂，并且有Hessian矩阵在牛顿法上的应用。...Jacobian矩阵和Hessian矩阵发表于 2012 年 8 月 8 日 1. Jacobian 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式....还有, 在代数几何中, 代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群, 曲线可以嵌入其中....雅可比矩阵雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近. 因此, 雅可比矩阵类似于多元函数的导数....假设任务是优化一个目标函数ff, 求函数ff的极大极小问题, 可以转化为求解函数ff的导数f′=0f′=0的问题, 这样求可以把优化问题看成方程求解问题(f′=0f′=0).

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Maple杂文

Maple计算器是一款功能强大的数学求解器和用途广泛的数学学习工具。无论是进行简单的计算，还是求解大学水平的数学问题，Maple计算器都可以解决。...使用这款计算器，可以探索二维和三维图形，或查看代数问题、导数或积分、矩阵运算等的分步解！...这款多功能应用可以让代数、预科微积分、微积分、线性代数和微分方程等数学问题的输入、求解和可视化变得轻而易举，而且还是免费的！您甚至可以使用相机来输入问题，这样，只需单击一下按钮即可检查您的家庭作业。...• 进行各种数学运算：无论通过何种方式输入数学问题，您都能求出导数和积分、解系数多项式、矩阵求逆、解方程组、解常微分方程等等。...• 获得详细解题步骤：除了答案之外，还可以得到各种数学题的完整解题步骤，包括解方程组、求极限/导数/积分、完成矩阵运算等等！

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数学史上最璀璨的天才：三度被拒，21岁决斗身亡，遗留手稿开创数学史新篇章

因此对于计算来说，我们就清楚地知道什么时候该追求精确解，什么时候不要浪费时间，而是应该尽快得到一个高效的近似解。探求代数方程的可解性问题，实际上也是在探索和明确计算的边界。...伽罗瓦思路清奇，他首先认识到方程求解的关键在于系数域和根域之间的关系，一个方程的系数属于某个域，但该方程在这个域中可能没有根，因此需要扩张出一个更大的域来包含方程的根，这个更大的域就是根域。...方程可解其次要求这个序列的商群总是素数阶的循环群。我们可以对群做类似算术的除法，得到商群的概念。那么就得到上面的正规子群序列对应的商群系列：。...在笛卡儿和韦达发明了代数学的符号之后，经过几百年的努力，数学家们最终发现运算可以叠加到数之外的对象上，符号可以代表任何事物：数、置换、集合、旋转、变换、命题等。...这恰如20世纪对计算理论的研究，最终从初等数论中发现了不可计算函数、不可判定问题。我们所处的世界，在表象上是简单和清晰的，在内涵里却是复杂和模糊的，所以至今仍是难以理解的。

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求解微分方程，用seq2seq就够了，性能远超 Mathematica、Matlab

我们来看下这样美好的结果，作者是如何做到的。（其实很简单！）...基于这种思路，作者首先提出了将数学表达式转换为seq2seq表示形式的方法，并用多种策略生成了用于监督学习的数据集（积分、一阶和二阶微分方程），然后将seq2seq模型用于这些数据集，便得出了比最新计算机代数程序...不过对求解积分（或微分方程）来说，评估则相对比较简单，只要将生成的表达式与其参考解进行简单比较，就可以验证结果的正确性了。...这个表格显示了包含 500 个方程的测试集上，本文模型与Mathematica、Matlab、Maple三大著名数学软件的比较。...从正确率上可以看出，本文方法要远远优于三大著名数学软件的结果。 3、等价解这种方法最有意思的地方出现了。通常你用符号求解软件，只能得到一个结果。

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有限元法在非线性偏微分方程中的应用

在作为数学建模和分析基础的常/偏微分方程领域，Mathematica 12 具有功能强大的求解器来对其进行符号或数值求解。...Newton-Raphson 方法求解非线性代数方程式的过程相同。...首先，如果我们删除与公式(1) 的时间导数相关的部分，则有若将，则变为以下简单形式：尽管将非线性 PDE 进行线性化，与求 1 个变量的非线性方程组的数值解相同，将任意函数 u0 作为种子，由此渐进逼近使...U 和 V 浓度 u 和 v 随时间变化所描述的就是这个模型： Du 和 Dv 是各自的扩散系数，F 是物质 U 的补充率，K 是定义反应速度 V→P 的参数。...由于 Wolfram 语言在符号计算方面的优势，无论 PDE 形式如何，都可以在保证求解的高效性和统一性的同时，保证其高度通用性。有关 FEM 的内部处理的详细信息已经发布。

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高数期末有救了？AI新方法解决高数问题，性能超越Matlab

但是，神经网络在符号计算方面取得的成果并不多：目前，如何结合符号推理和连续表征成为机器学习面临的挑战之一。...然后展示了如何为积分和一阶、二阶微分方程的监督式训练生成数据集。最后，研究者对数据集应用 seq2seq 模型，发现其性能超过当前最优的计算机代数程序 Matlab 和 Mathematica。...表达式是基于有限的变量（即文字）、常量、整数和一系列运算符创建得到的，这些运算符可以是简单函数（如 cos 或 exp），也可以更加复杂（如微分或积分）。...一阶常微分方程（ODE 1）如何生成具备解的一阶常微分方程？研究者提出了一种方法。给定一个双变量函数 F(x, y)，使方程 F(x, y) = c（c 是常量）的解析解为 y。...对于 c_1，研究者使用了一个简单的方法，即如果我们不想其解为 c_1，我们只需跳过当前方程即可。尽管简单，但研究者发现在大约一半的场景中，微分方程的解是 c_1。示例如下： ?

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基于牛顿求根法，新算法实现并行训练和评估RNN，带来超10倍增速

通过 GPU 和 TPU 等专用硬件加速器，深度学习中广泛使用的矩阵乘法可以得到快速评估，从而可以快速执行试错型的深度学习研究。...尽管并行化已经在深度学习研究中得到了广泛的使用，但循环神经网络（RNN）和神经常微分方程（NeuralODE）等序列模型却尚未能完全受益于此，因为它们本身需要对序列长度执行序列式的评估。...将 y^(i) 代入 3 式可以得到 y^(i+1)，然后泰勒展开至一阶，得：其中 J_pf 是 f 在其第 p 个参数上的雅可比矩阵。...3 式中的迭代过程涉及到评估函数 f、其雅可比矩阵和矩阵乘法，这些运算可以使用现代加速器（如 GPU 和 TPU）来并行化处理。如果能以并行方式求解线性方程，那么整个迭代过程都可利用并行计算。...解 y_i 可从这个并行扫描算子的结果的第二个元素获取。并行化 RNN 循环神经网络（RNN）可以看作是一种离散版的 ODE。

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自由漂浮机器人运动学和动力学建模

由于空间机器人的卫星基座与机械臂之间存在耦合，机械臂的运动将影响基座的运动。与地面固定基座机械臂相比，空间机器人的路径规划、运动控制和动力学建模等较为复杂。...相应的算法基本分为两类：基于正运动学的路径规划：利用五次多项式描述关节轨迹，通过正运动学求解末端速度，对时间积分，得到非线性方程组，可通过牛顿迭代法、遗传算法、粒子群算法求解，回避动力学奇异，只适于离线规划...非完整约束特性又使基座姿态与关节角的运动历史相关。对于自由漂浮空间机器人，无法得到位置级的运动学方程，一般多研究其速度级运动学建模。...借助滤波理论，算法层次清晰，易于理解铰接体惯量算法铰接体概念，推导简单，计算量小李群李代数法避免复杂的微分与偏微分运算，计算效率高虚拟机械臂法多臂及闭环系统，虚拟假想臂等价机械臂法真正的机械臂...，运算量大，模型不直观广义雅可比矩阵法计算量较小，常应用于运动控制等场合拉格朗日法推导简单，表达式复杂，运算量大牛顿-欧拉法由前向及后向递推运算组成，常用于逆动力学求解罗伯森-维滕伯格法

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