变换是不需要遍历每个顶点就可以移动网格的操作，需要由矩阵(matrix)来操作。 类似介种： ? 相机、透视、视口和投影 我们生活在三维世界中，但是用眼睛只能看到二维的图像。...前方高能（学霸请无视这一行) 《线性代数》乱入： 前面说了，网格由N个多边形构成，实际上就是由多边形的顶点集合构成。顶点是一个向量，而向量可以用一个三维坐标(x, y, z)来表示。...各位看官还记得向量运算的好朋友——矩阵么？...注：上述仿射变换均是用对应的仿射矩阵 左乘 齐次坐标得到结果 好了，讲了半天这个那个矩阵的，《线性代数》已经被学渣作者翻烂，不知道各位看官是什么感觉(学霸：so easy！)...最后用几何体跟材质生成网格，并倾斜一个小角度方便我们瞅着它 ? 把网格添加到场景中 ? 这样“辟地”就弄好了 ? 是不是感觉跟平常看到的不太一样？ 对啊卧槽云呢？咱们的星球那么漂亮，要有云哇！
矩阵即观察矩阵，作用是将世界空间的顶点坐标映射到可以简单理解为摄像机（即观察者，camera是一个抽象对象）为中心的观察空间中； P代表Projection，Projection矩阵即投影矩阵，图形编程中两种投影方式...：正向投影和透视投影。...Projection矩阵的作用是将观察空间的三维坐标映射到二维的裁剪空间中，可以理解成将三维的图形投影到二维的画布上。...顶点的原始坐标需要依次经过Model矩阵、View矩阵和Projection矩阵变换（左乘）之后才能够得到它在裁剪空间中的最终坐标值。...常用开源工具 gl-matrix - JavaScript 矩阵/向量计算工具； TurfJS - 常用地图算法工具； libtess.js - 三角剖分算法 JavaScript 实现； rbush
本文不仅仅是从理论上阐述各种重要概念，同时最后还一步步使用 Python 实现数据降维。 首先本文的特征向量是数学概念上的特征向量，并不是指由输入特征值所组成的向量。...其实在线性代数中，矩阵就是一个由各种标量或变量构成的表格，它和 Excel 表格并没有什么本质上的区别。...下图展示了矩阵 A 如何将更短更低的向量 v 映射到更长更高的向量 b： ? 我们可以馈送其他正向量到矩阵 A 中，每一个馈送的向量都会投影到新的空间中且向右边变得更高更长。...线性变换中的线性正是表明了这种沿直线轴进行变换的特性，一般来说几阶方阵就有几个特征向量，如 3*3 矩阵有 3 个特征向量，n 阶方阵有 n 个特征向量，每一个特征向量表征一个维度上的线性变换方向。...所以我们希望将最相关的特征投影到一个主成分上而达到降维的效果，投影的标准是保留最大方差。而在实际操作中，我们希望计算特征之间的协方差矩阵，并通过对协方差矩阵的特征分解而得出特征向量和特征值。
首先，在创造这个立方体的时候，肯定有八个顶点的坐标，坐标都是用向量表示的，因而至少也是个三维向量。然后“旋转”这个变换，在线性代数里面是用一个矩阵来表示的。向量旋转，是用向量乘以这个矩阵。...通过这个例子可以先思考一下，想要渲染出一个图形，就需要告诉 GPU 图形的顶点(即坐标向量)，如果需要变化(如：平移、旋转、缩放等)，就需要告之对应的矩阵，这也就是文章后面要说的 GLSL 语言核心需要做的事情...图元装配 我们已经知道，图元装配就是由顶点生成一个个图元（即点/线/三角形）。那这个过程是自动完成的吗？答案是并非完全如此。WebGL 需要我们先处理顶点，那怎么处理呢？我们先看下图: ?...）、uv（决定贴图坐标）、法线（决定光照效果），以及各种矩阵（比如投影矩阵）。...生成顶点着色器 根据我们需要，由Javascript定义一段顶点着色器程序的字符串，生成并且编译成一段着色器程序传递给 GPU。
而在WebGL/OpenGL中，具体的图形变换流程如下所示[3]： ? 其中模型变换、视图变换、投影变换是我们自己在着色器里定义和实现的，而视口变换一般是WebGL/OpenGL自动完成的。...所以模型变换、视图变换、投影变换这三者特别重要，另外附一张WebGL/OpenGL矩阵变换的流程图[4]： ? 从上两图中可以发现，场景中的物体总是从一个坐标系空间转换到另外一个坐标系空间。...就像人眼是把水平视角大约200度左右的场景投影到视网膜中，人才能看清物体的那样，WebGL/OpenGL需要经过投影变换，才能正确的显示场景。...这一步由WebGL/OpenGL自动完成。 在参考文献[2]中描述的WebGL/OpenGL整个图形变换过程的坐标系和单位： ?...也就是说这些图形变换，本质上可以看成是同一种变换；在数学上，可以使用矩阵来描述这种变换。并且，为了兼容各种变换的特殊性，会在3维的基础上再加一维，使用4维的向量和矩阵。
综上，变换矩阵为： 齐次坐标还有一个优点，能够区分点和向量：在普通坐标里，点和向量都是由三个分量组成的，表示位置的点坐标(x, y, z)和表示方向的向量(x, y, z)没有区别。...视图矩阵实际上就是整个世界的模型矩阵，这给我一点启发：一个模型可能由多个较小的子模型组成，模型自身有其模型矩阵，而子模型也有自己的局部模型矩阵。...考虑一辆行驶中的汽车的轮胎，其模型视图矩阵是局部模型矩阵（描述轮胎的旋转）左乘汽车的模型矩阵（描述汽车的行驶）再左乘视图矩阵得到的。 投影矩阵 投影矩阵将视图坐标系中的顶点转化到平面上。...相机空间的左、右、上、下边界是受限于屏幕的边缘，同时也设定前、后边界，因为你很难看清太近或太远的东西。相机空间就是上述的四棱锥台体。 主要的有两种投影方式，正射投影和透视投影。...前者用于精确制图，如工业零件侧视图或建筑物顶视图，从屏幕上就可以量测平行于屏幕的线段长度；后者用于模拟视觉，远处的物体看上去较小。这里只讨论透视投影，正射投影是类似的。
MVP矩阵设置 2.2.1. 模型矩阵 2.2.2. 投影矩阵 2.2.3. 视图矩阵 2.2.4. MVP矩阵 3. 结果 4. 参考 1....概述 在上一篇教程《WebGL简易教程(六)：第一个三维示例(使用模型视图投影变换)》中，通过使用模型视图投影变换，绘制了一组由远及近的三角形。...如之前的代码一样，顶点和颜色数组都传递给顶点缓冲器对象。...投影矩阵 一般来说，透视投影矩阵的参数是不太容易设置，一般可以设定为经验值固定不变（不绝对）。...结果 在浏览器中打开对应的HTML，可以看见一个彩色的矩形体。运行结果如下： ? 4. 参考 本来部分代码和插图来自《WebGL编程指南》，源代码链接：地址 。会在此共享目录中持续更新后续的内容。
，而这些设置最终会转换成OpenGL中的视图矩阵，对应图中的VIEW MATRIX 经过View Matrix的变换后，我们观察它的结果就确定了，图中是从距离它一定的距离、上往下观察它，这时候的点坐标就来到了视图坐标系下...就是我们在生成投影矩阵时会设置近平面、远平面、视角，这些东西会构成一个可见的空间，对应上图中的虚线和近平面、远平面包围起来的空间 下一步就是上屏（如果是离屏渲染就是到一个frame buffer上），这些坐标毕竟只是...Matrix）推导 下面是投影矩阵的推导，是最为复杂的一个矩阵，前面提到，投影矩阵是由视野决定的，而视野又是由近平面、远平面和视角决定的，我们把视野在坐标系中画出来，请看下图： 简单起见，我们不妨把..., z0)，我们从y轴正向往负向看，即看xoz平面，看到的画面是这样的： 假设投影后的x坐标为x1 ，由三角形相似原理则易得： 同理有： 设l和r分别为近平面左、右边框的x坐标，则有l=-w/2，...那就要理解z2这个值是什么东西，它就是投影之后未归一化的深度值，而深度和x0、y0没有关系，这个如何理解？就是说我把一个东西放在左，上边，还是右边，不影响它的深度，要改变深度需要前后移动。
，而这些设置最终会转换成OpenGL中的视图矩阵，对应图中的VIEW MATRIX -经过View Matrix的变换后，我们观察它的结果就确定了，图中是从距离它一定的距离、上往下观察它，这时候的点坐标就来到了视图坐标系下...就是我们在生成投影矩阵时会设置近平面、远平面、视角，这些东西会构成一个可见的空间，对应图2中的虚线和近平面、远平面包围起来的空间 -下一步就是上屏（如果是离屏渲染就是到一个frame buffer上），...4*4的： [fw0wepiet0.jpeg] 投影矩阵（Projection Matrix）推导 下面是投影矩阵的推导，是最为复杂的一个矩阵，前面提到，投影矩阵是由视野决定的，而视野又是由近平面、远平面和视角决定的..., z0)，我们从y轴正向往负向看，即看xoz平面，看到的画面是这样的： [2wwkbyft9g.jpeg] 假设投影后的x坐标为x1 ，由三角形相似原理则易得： [x20xrd9qn6.png]...那就要理解z2这个值是什么东西，它就是投影之后未归一化的深度值，而深度和x0、y0没有关系，这个如何理解？就是说我把一个东西放在左，上边，还是右边，不影响它的深度，要改变深度需要前后移动。
使用高斯消元求解Ax=b，将A化简为行阶梯形式，等价于使用某个矩阵变换E左乘A的行向量，即E·A·x=U·x=E·b，其中E记录了高斯消元中所有的行变换，U表示行阶梯形式的消元结果，是一个上三角矩阵。...若定义m*n矩阵A的秩等于r，则列空间是Rm中的r维子空间，零空间是Rn中的n-r维子空间，行空间为Rn中的r维子空间，左零空间为Rm中的m-r维子空间。...因此，最优的方法就是把b投影到A的列空间中，求解Ax’=p，p是将b投影至A的列空间后的投影向量。 投影到一维子空间情形： 将b向量投影到一维子空间上，即a向量方向，假设投影后的向量 ?...另外，投影矩阵必须满足2个性质： ? ， ? ，即多次投影效果等于一次。 投影到二维及高维子空间情形： 将b向量投影到二维子空间上，即子空间基的方向。...如果A的列向量线性无关，秩=n，则 ? 可逆， ? 得到投影 ? ，投影矩阵 ? 。P仍然满足前例中的2个性质。同时，投影向量p位于A的列空间中，而对应的误差法向量e则在左零空间上。
这实际上是由光源与物体之间的距离（也就是光源坐标系下的深度Z值）决定的，深度较大的点为阴影点。如下图所示，同一条光线上的两个点P1和P2，P2的深度较大，所以P2为阴影点： ?...设置帧缓存的MVP矩阵 对于点光源光对物体产生阴影，就像在点光源处用透视投影观察物体一样；与此对应，平行光对物体产生阴影就需要使用正射投影。...在教程《WebGL简易教程(十二)：包围球与投影》中论述了这个问题。 2.2.2.3....设置颜色缓存的MVP矩阵 设置实际绘制的MVP矩阵就恢复成使用透视投影了，与之前的设置是一样的，同样在教程《WebGL简易教程(十二)：包围球与投影》中有论述： //设置MVP矩阵 function setMVPMatrix...参考 本文部分代码和插图来自《WebGL编程指南》，源代码链接：地址 。会在此共享目录中持续更新后续的内容。
如 Fig. 10所示，词典 (Vocabulary) 生成采用层次化方法，对于数据集中的所有描述子，按树状结构进行空间划分，每一层都是由 k-means 聚类计算。...最终叶子节点就相当于码词(Fig. 10中有 9个码词)。 ? Figure 10: 带正向索引、逆向索引的层次化 BoW 模型 树的构造过程，实际上就是将原始图像编码的过程。...如 Fig. 13（左）所示，当一个点可以同时被两个相机观测时，则建立拓扑关系。Fig. 13（中）里，蓝色的点为匹配到的点，它们从观测视角上存在冲突。...RANSAC 的改进方 面，如预滤波、最小子集采样、由最小子集生成可靠模型、参数校验、模型精化。...因此可以看出 2D-2D 的变换矩阵求解方式有两个缺点，首先单目视觉具有尺度不确定性，尺度信息需要在初始化中由 ? 提供。
matrix，将三维世界坐标转换成屏幕坐标，这个矩阵叫投影矩阵，由javascript传入，至于这个matrix怎么生成，我们暂且不讨论。...4.3、WebGL的完整工作流程 至此，实质上，WebGL经历了如下处理流程： 1、准备数据阶段 在这个阶段，我们需要提供顶点坐标、索引（三角形绘制顺序）、uv（决定贴图坐标）、法线（决定光照效果），以及各种矩阵...（比如投影矩阵）。...我们发现，能做的，three.js基本上都帮我们做了。 辅助我们导出了模型数据； 自动生成了各种矩阵； 生成了顶点着色器； 辅助我们生成材质，配置灯光； 根据我们设置的材质生成了片元着色器。...5.1、three.js顶点处理流程 从WebGL工作原理的章节中，我们已经知道了顶点着色器会将三维世界坐标转换成屏幕坐标，但实际上，坐标转换不限于投影矩阵。
生成的向量空间称为k维Krylov子空间(包含在 ? (n维欧几里得空间)中)，记作 ? ，即 ? ，生成Krylov子空间的向量组称为Krylov向量组。这里假定Krylov向量组是线性无关的。...Av1在v1上的投影记为 ? ，则从Av1中减去它在v1上的投影向量，得 ? ，单位化后得 ? ，用v2替换向量组 ? 中的Av1,得 ? 可以证明向量组 ? 与 ?...中的每个向量可由 ? 中若干向量的线性组合表示。 证明：由 ? 以及 ? ，可得 ? ，或者写作 ? 即Av1可由 ? 中的前两个向量的线性组合表示。在 ? 式两端左乘A，得 ? 结合 ?...反过来，由 ? 可得 ? ，或者写作 ? 即v2可由 ? 中的第一、二向量的线性组合表示，在 ? 式的两端左乘A，得 ? 即Av2可由 ? 中的第二、三向量的线性组合表示，在 ?...式两端左乘A，得 ? 即 ? 可由 ? 中的第三、四向量的线性组合表示，这就证明了 ? 可由向量组 ? 线性表示。
Overview 移动设备的屏幕是二维平面,要想把一个三维场景渲染在手机二维屏幕上，需要利用OpenGL中的矩阵投射，将三维空间中的点映射到二维平面上。...三维矩阵的相关知识是学习OpenGL最重要的课程之一。 线性代数 学习OpenGL三维投射知识之前，我们得事先了解下一些基础的线性代数知识，如向量运算，矩阵运算。...当中最简单的变换矩阵是单位矩阵。单位矩阵是一个除了对角线以外都是0的NxN矩阵。 ? 单位矩阵通常是生成其他变换矩阵的起点。...位移矩阵 位移是在原始向量的基础上加上另一个向量从而获得一个在不同位置的新向量的过程，从而在位移向量基础上移动原始向量。 ? 旋转矩阵 （Rx,Ry,Rz）代表任意旋转轴，θ是角度： ?...投影矩阵会将在这个指定范围内的坐标变换为标准化设备坐标的范围（-1。0，1.0）。使用投影矩阵能将3D坐标投影到2D的标准化设备坐标系中。
WebGL 内容作为 HTML5 中的Canvas标签的特殊上下文实现在浏览器中。...变换和矩阵 3D网格的形状由顶点位置决定。模型变换就是利用矩阵对模型的大小、位移、旋转等进行操作。如果你不了解矩阵也无须担心，许多WebGL库都能帮助我们完成相应的操作。...摄像机、视口和投影 我们在Canvas上看到的3D空间并非一个真实的3D空间，而是用数学算法将模拟的3D空间投射到2D视口的图像而已。...投影就是将模拟的三维空间内的物体映射到屏幕上生成一个二维图像的过程。投影分为正交投影和透视投影，这也就是摄像机的实现原理。...着色器包含了将模型投射到屏幕上的算法，通常是由类C语言编写，编译并运行在图形处理单元(GPU)中。
着色器语言的基础上针对移动端和嵌入式设备的简化版。...、&&、^^、三元选择 1.2 向量 & 矩阵 (1) 浮点型向量Vector vec2 / vec3 / vec4 整型向量 ivec2 / ivec3 / ivec4 布尔型向量 bvec2 / bvec3..., 0.0, 0.0, 1.0} // [构造方式3] 矩阵可以由多个向量构造 vec2 col1 = vec2(1.0, 0.0); vec2 col2 = vec2(1.0, 0.0); mat2...textureCube 在立方体纹理中获取纹素 texture2DProj texture2D 的投影版本 texture2DLod texture2D的金字塔版本 textureCubeLod textureCube...中传递逐顶点数据 uniform: 全局只读变量 用于从外部应用程序(如 js)向 vertexShader 或 fragmentShader 中传递数据，着色程序运行前赋值，全局有效，Shader
投影矩阵和最小二乘 16.1 课程内容：投影矩阵和最小二乘 由上一讲内容我们已经知道，投影矩阵 ? 考虑两种极端的情况，也就是 ? 本来就在列空间之中，那么投影之后依然是它自己，即 ?...在列空间的分量即投影 ? 和其在左零空间的分量即误差 ? 。 从几何的角度来看， ? , 那么 ? ,也就是说 ? 就是将 ? 投影到左零空间的投影矩阵。...由上一讲我们知道了，投影正是为了让我们可以在 ? 无解的时候可以有解可求，从投影的角度来看的话，实际上我们就是要找出 ? ，那么从 ? 的角度呢？我们知道 ?...那么从矩阵的角度来看这个问题呢？ 该拟合直线的问题就是求解 ? 可以发现 ? 中两列不相关， ? 不在列空间之中，因此该等式不成立。 由上一讲的内容，我们可以得到 ?...的各列向量线性无关。此时 ? 的零空间只有零向量。换句话来说就是，当我们需要求解投影之后的解之前，需要先去求解原始系数矩阵 ? 的列空间的基，以该基构建新的系数矩阵 ?
概述 我在《WebGL简易教程(五)：图形变换(模型、视图、投影变换)》这篇博文里详细讲解了OpenGL\WebGL关于绘制场景的图形变换过程，并推导了相应的模型变换矩阵、视图变换矩阵以及投影变换矩阵。...矩阵运算 three.js已经提供了向量类和矩阵类，定义并且查看一个4阶矩阵类： var m = new THREE.Matrix4(); m.set(11, 12, 13, 14, 21, 22...也就是matrixWorld左乘相机的matrixWorldInverse。 2.2.1....投影变换)》中的描述，可以通过three.js的矩阵运算来推导其视图矩阵： var eye = new THREE.Vector3(0, 0, 100); var up = new THREE.Vector3...gl_FragColor = vec4(0.556, 0.0, 0.0, 1.0) }` projectionMatrix和modelViewMatrix分别是three.js中内置的投影矩阵和模型视图矩阵
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