如何在pari中计算模乘法逆？ - 腾讯云开发者社区 - 腾讯云

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《Unity Shader入门精要》笔记（三）

矢量通常有一个箭头表示：矢量和标量的乘法/除法标量是只有模，没有方向的量，比如：距离、速度等。矢量无法与标量进行加减运算，但是可以进行乘法或除法运算。...矢量的减法类似：在图形学中，矢量通常用于描述位置偏移（简称位移）。我们可以利用矢量的加法和减法来计算一点相对于另一点的位移。矢量的模矢量的模是一个标量，可以理解为矢量在空间中的长度。...三维矢量的模的计算公式：其他维度的矢量的模计算类似，都是对每个分量平方相加后开根号。...在Unity Shader中，会经常遇到法线方向、光源方向，这些矢量不一定是归一化后的矢量，计算的时候需要将这些矢量归一化成单位矢量。...MMT = MTM = I 有逆矩阵的性质MM-1 = M-1M = I可以得出正交矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵： MT = M-1 正交矩阵可以用转置矩阵的运算代替逆矩阵的运算，因为逆矩阵计算更复杂。

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密码学：整数模多项式

模逆 Modular Inverses 一个整数在整数集 Z 上没有乘法逆，但是可能会在余数类 Z_6 上存在乘法逆。比如在 Z_6 上，5 · 5 = 1，所以 5 的乘法逆是 5。...对于模 n 运算 Z_n ，一个整数 r 是否有乘法逆，在于 n 和 r 是否互质。...如果该式子两边都模 n，那么 s · n 就会消失，即 1 = (t mod n) · r，所以 t mod n 就是 r 在 Z_n 上的乘法逆。...费马小定理提供了一种计算 Z_n 上的乘法逆的方法：对于素数 p 且 r 乘法逆时，可用拉格朗日插值法根据 m + 1 个点计算出度为 m 的多项式：例如，对于点集 S = {(0, 4), (-2, 1), (2, 3)}，可在实数域上计算出度为 2 的多项式

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群环域以及域上的多项式操作

模运算 1.1 ZnZ_nZn 上模运算的三种运算模加运算：模减运算：模乘运算： 1.2 ZnZ_nZn 上三种运算的性质 [ 1.3 扩展欧几里得求 ZnZ_nZn...上模运算的乘法逆 /* 扩展欧几里得 */ int exgcd(int a, int b, int & x, int & y) { int ans = 0; if(b == 0) {...等价于逻辑于 AND 0 ×\times× 0 = 0 0 ×\times× 1 = 0 1 ×\times× 0 = 0 1 ×\times× 1 = 1 3.2 是一个有限域每个元素的加法逆是其本身...对于一个多项式其对应的位模式为则在位模式下表示为： image.png 而对于、、、可以通过递归相乘实现： image.png 由此，可以通过将中的多项式...或中的任意一个（比如这里取分解为然后利用乘法分配律分别计算每项与相乘，最后再相加（即上的加法 XOR ）。

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斯坦福大学密码学-数论简介 10

image.png 模运算。 image.png 最大公因数。 image.png 模逆。 image.png 模逆存在的条件。 image.png image.png 解线性同余方程。...image.png 计算模e次方根 image.png image.png 计算-简单情况。 e与p-1互质。 image.png 当e与p-1不互质时，e为2时。平方根。二次剩余。...image.png image.png 解中的二次方程。仅当中有平方根。 image.png 计算合数模的e次方根。需要因子分解合数N，再分别计算。...image.png 计算大整数的模大整数的表示。 image.png 加减乘除时间复杂度。karatsuba的算法经常被使用。最好的乘法是n·logn，不实用，大数据才有效。...image.png 模运算中的难题简单的问题。 image.png 离散对数问题。质数模的难题。 image.png 不只是 , 在有限循环群 G 中即可。

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RSA加密算法简介

解密过程为对密文分组M取指数d后模n。但是为什么可以这么做呢？如何得到合适的e，d，n呢？这里面有一个非常重要的等式：当e和d互为模的乘法逆时，上述关系式成立。其中为欧拉函数。...在《公钥密码之素数，费马定理与欧拉定理》中我们提到，对于素数p和q，有。 e和d应满足如下关系：即e和d互为模的乘法逆。...根据模算数的性质，仅当d（和e）与互素时，d和e是模的乘法逆元。因为d和互素，则一定存在一个整数是d的模反元素。同理对于e也是如此。...其中b叫做a的模反元素。 RSA加密算法密钥生成过程：这里面模反元素d比较难计算，可以利用扩展的欧几里得算法计算。...p，q成为得到的关键，而pq可以从n中得到，并且n是已知的。 3。n＝pq，那么对n进行因式分解即可。到这一步你就知道为什么要使得n很大了吧！

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密码学：群环域

群 G 中的两个元素通过某种二元运算可得到该群中的另一个元素。群要满足一些性质，比如交换律、结合律、元素存在逆等。...原文其它例子 (Z_6, +) 如上式子也是群，Z_6 表示模 6 的余数集合，满足：交换律和结合律，中立元素是 0，g 的逆是 6 - g，因为 g + (6 - g) = 6（对比如上定义，e...需注意，(Z, ·) 无法构成群，因为整数不存在乘法逆。...例如，(Q, + , ·) 是一个域，Q 表示实数集合，+ 表示加法运算，· 表示乘法运算。除 0 外，每个实数都拥有乘法逆。...素数域上，x 的加法逆是 -x = p - x mod p，x != 0 时，乘法逆为 x^{-1} = x^{p-2} 。最小的域是 $F_2$，特征为 2，它是个素数域。

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Python 密码破解指南：10~14

本章涵盖的主题模运算模运算符（%) 最大公约数多重任务求 GCD 的欧几里德算法乘法和仿射密码欧几里德寻找模逆的扩展算法模运算模运算，或时钟运算，指的是当数字达到特定值时，它们会自动换行的数学运算...让我们更详细地看看解密过程和如何计算模逆。用仿射密码解密在凯撒密码中，你用加法加密，用减法解密。在仿射密码中，您使用乘法来加密。很自然，你可能认为你可以用仿射密码来解密。...要用仿射密码解密，您需要乘以密钥的模逆。这与加密过程中的 mod 操作相反。两个数的模逆用表达式(a * i) % m == 1表示，其中i是模逆，a和m是两个数。...a % m的模逆是一个数i，使得(a * i) % m == 1。你可以使用欧几里德的扩展算法来计算模逆。第二十三章的公钥密码也使用模逆。...模逆通过调用cryptomath.findModInverse()来计算，如第 13 章中所述。第 61 到 68 行几乎与encryptMessage()函数的第 45 到 52 行相同。

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Erasure-Code-擦除码-2-实现篇

本文我们来解决这个问题, 看如何将EC的理论应用到计算机中, 保证计算不会溢出....例如: 3 ⊖ 4 = 3 ⊕ (-4) = 3 ⊕ 3 = 6 2 ⊖ 6 = 2 ⊕ (-6) = 2 ⊕ 1 = 3 模7新世界中的乘法和除法在模7的新世界里, 我们也可以类似地定义1个乘法...乘法和加法的结合律也必须满足, 才能在新世界里实现上面例子中的曲线方程等元素. 这部分也很容验证,在上面的模7新世界里是可以满足的....[Field-Extension] 域的扩张, 简单来说就是通过把一个域(例如GF(2)), 作为系数构建多项式, 再去模一个质多项式(如P₈(x)), 得到的余多项式集合(例如GF(2⁸))....u₂, u₃ 丢失了, 矩阵相乘时只需要计算逆矩阵的第2, 3行.

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FEC 的介绍

在IP网络环境下，误码已经由底层得到了保证，在使用UDP进行数据传输的时候，重点会关注在了丢包等环节，使用的技术也大致相同，如使用交织抗连续丢包、ARQ数据等待重传、FEC数据恢复等。...在上述的第一个例子中，理论上我们知道了矩阵的代数形式和整数数值，按照求逆矩阵的方式，就可以恢复出原始的数据。可是在实际应用中，让计算机来实现的时候却相当的并不友好。...乘法变成了多项式的乘法，一个二进制的多项式乘法模以一个次数为n的本原多项式。...，那么元素的加法和乘法都可以通过表示为多项式的加法和乘法来完成，可是这样做的话对计算机实在是不友好，好在这个域有个特别有趣的性质即生成元。...如a1，a2，an.....这个是一个非常有用的性质。而GF(2w)伽罗华域上2就是一个生成元。

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扩展Euclidean算法求乘法逆原理详解与算法实现

【利用扩展Euclidean算法求乘法逆】 1....set: x 64 （3） software ：Visual Studio 2019 2. process Problem background analysis 利用扩展Euclidean算法计算下列的乘法逆...若 a * x == 1mod p，则称x为a关于模p的乘法逆元。...通过拓展欧几里得算法，得到ax + py = gcd（a，p），因为a属于模p乘法群，所以a乘法逆原理详解与算法实现工程文件

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机器学习概念：梯度下降

image.png 梯度的存在，为了回答一个问题：函数在变量空间的某一点处，沿着哪一个方向有着最大的变化率梯度的文字定义如下：函数在某一点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值...梯度下降法和其他无约束优化算法的比较　在机器学习中的无约束优化算法，除了梯度下降以外，还有前面提到的最小二乘法，此外还有牛顿法和拟牛顿法。...梯度下降法和最小二乘法相比，梯度下降法需要选择步长，而最小二乘法不需要。梯度下降法是迭代求解，最小二乘法是计算解析解。如果样本量不算很大，且存在解析解，最小二乘法比起梯度下降法要有优势，计算速度很快。...但是如果样本量很大，用最小二乘法由于需要求一个超级大的逆矩阵，这时就很难或者很慢才能求解解析解了，使用迭代的梯度下降法比较有优势。...梯度下降法和牛顿法/拟牛顿法相比，两者都是迭代求解，不过梯度下降法是梯度求解，而牛顿法/拟牛顿法是用二阶的海森矩阵的逆矩阵或伪逆矩阵求解。相对而言，使用牛顿法/拟牛顿法收敛更快。

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深度学习中的数学（二）——线性代数

零范数：非零的个数一范数（曼哈顿距离）：绝对值相加二范数（欧式距离）：向量的模无穷范数（切比雪夫距离）：向量中取最大值关于范数，可以看这篇文章： 1.6 Normalize 适用于符合正态分布的数据...归一化原因：①数据过大，梯度很平滑，不利于梯度下降；②数据过大，矩阵结果过大，计算机不能显示（NaN）；③进行归一化的原因是把各个特征的尺度控制在相同的范围内，这样可以便于找到最优解，不进行归一化时如左图...b = torch.tensor([[1.,2.],[3.,4.]]) print(b.det())# tensor(-2.0000) 1.8 奇异矩阵行列式等于0位奇异矩阵如np.array...逆的运算相当于矩阵的除法运算只有非奇异方阵才有逆伪逆是逆的推广，去除了方阵的限制 1.11 最小二乘法代码实现最小二乘法，在数据量小的时候可以使用： import numpy as...一个例子理解矩阵乘法：一个向量A与一个矩阵B做向量乘法，这就是一个线性变换的过程。矩阵B是一个方阵，且每一列两两不相关，则他们构成一个完备空间，B称为变换矩阵。

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Matlab 使用经验分享（常用函数介绍；矩阵常见计算）

Matlab 的起源 MATLAB 是美国MathWorks 公司自20 世纪 80 年代中期推出的数学软件，优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。...acos: -反余弦 atanh: --反双曲正切指数函数与对数函数 exp: -指数 log: --e 为底的对数 log10: 常用对数 sqrt: --平方根与复数有关的函数 abs: -模或绝对值...例如： Z=C-1 结果为： Z = 3 5 … 矩阵乘法矩阵乘法用符号*表示。要求前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相同。...例如： A=[1,4,7;2,5,8]; B=[4,5,9;1,7,8;3,2,1]; C=A*B 在 Matlab 中，还可以进行矩阵与数的乘法。其规则是矩阵的每个元素与该数相乘。...：要验证矩阵的逆是否正确，可以计算 ( C = A \times Z )。

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3吴恩达Meachine-Learing之线性代数回顾-(Linear-Algebra-Review)

##3.1 矩阵和向量如图：这个：这个是 4×2矩阵，即 4行 2列，如 m为行，为行， n为列，那么为列，那么为列，那么 m×n即 4×2 矩阵的维数即行数×列数矩阵元素（矩阵项...3.5 矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质：矩阵的乘法不满足交换律：A×B≠B×A 矩阵的乘法满足结合律。...即：A×（B×C）=（A×B）×C 单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1,我们称这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用 I 或者 E 表示，本讲义都用 I 代表单位矩阵...如：对于单位矩阵，有 AI=IA=A3.6 逆、转置矩阵的逆：如矩阵 A 是一个 m×m 矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：我们一般在 OCTAVE 或者 MATLAB 中进行计算矩阵的逆矩阵。...矩阵的转置基本性质: matlab 中矩阵转置：直接打一撇，x=y’。

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各种密码学算法的GUI编程实现（DES、AES、Present、扩展欧几里得算法、素性检测）

扩展欧几里得算法相当于一个乘法逆元计算器。点击顶部的扩展欧几里得算法 --> 第一个数输入需要计算的数 --> 在模的位置输入‘模’ --> 点击确定 --> 可以在下方看见计算结果 7....素性检测点击顶部选项卡中的Miller-Robin --> 在第一个输入框和第二个输入框都输入同一个需要被判定的数 --> 分别点击计算 --> 可以看见计算结果下面的普通方式是使用输入的数去除1...经过16次迭代运算后,得到L16、R16,将此作为输入，进行逆置换，逆置换正好是初始置换的逆运算，由此即得到密文输出。...此算法是对称加密算法体系中的代表,在计算机网络系统中广泛使用。 DES密钥太短，已经能被现代计算机暴力破解！ 2....扩展欧几里得算法乘法逆元的定义 **A * X MOD N == 1**则称X为A关于模N的乘法逆元。注：只有两个数互素的时候才会有乘法逆元两个数不互素是没有乘法逆元的 5.

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3D 数学（1）-矩阵

=\begin{bmatrix}xb&yb&1\end{bmatrix} 为什么是矩阵统一表示多种变换多种变换整合：通过矩阵运算规则，可将多个变换矩阵组合成一个复合矩阵，一次性完成多种变换（如：...R、S、T，通过计算复合矩阵M = T \times S \times R （注意顺序），然后用矩阵 M 作用于图形的顶点坐标，就能一步完成所有变换与线性代数理论紧密结合理论支持：计算机图形学基于线性代数理论...，矩阵是线性代数的核心工具高效算法实现：线性代数为矩阵运算提供了丰富且成熟的算法，如矩阵求逆、行列式计算等硬件加速支持图形硬件优化：现代GPU对矩阵运算有专门优化提高渲染效率：将空间变换用矩阵表示...如：图片性质：乘法特性：单位矩阵在矩阵乘法中类似于实数乘法中的数字。...可逆性：单位矩阵是可逆矩阵，且其逆矩阵就是它本身逆矩阵：若存在矩阵B ，使得AB=BA=I ，则A 可逆，B 为A 的逆矩阵作用：撤销变换：假设原始向量v ，变换矩阵为A ，经过变换后得到向量v

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加密算法

在每一轮中，这4个子分组相列相异或，相加，相乘，且与6个16-位子密钥相异或，相加，相乘。在轮与轮间，第二和第：个子分组交换。最后在输出变换中4个子分组与4个子密钥进行运算。...对于以下表述中的相乘，指的是：（a × b) mod p，其结果是 a × b算术乘法除以p的余数，又例如对于下列表述中的“（1)X1和第一个子密钥相乘。”...解密过程基本上一样，只是子密钥需要求逆且有些微小差别，解密子密钥要么是加密子密钥的加法逆要么是乘法逆。（对IDEA而言，对于模256十1乘，全0子分组用256=-l来表示，因此0的乘法逆是0)。...计算子密钥要花点时间，但对每一个解密密钥，只需做一次。...关于IDEA中运用的很多概念，需要参考数论中的知识，如有疑问，可以参考以下资料：计算机密码学（卢开澄著清华大学出版社出版），计算机密码学及其应用，初等数论，数论导引（华罗庚著）等。

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刚体运动和坐标变换-1

为了将平移和旋转融合成一个式子，我们将欧式变换写成如下形式：其中，我们扩展了向量变成四维，称之为齐次坐标，矩阵称之为变换矩阵同样的，变换矩阵构成的集合，称之为特殊欧式群变换矩阵的逆，...Rodrigues's Formula Rodrigues's Formula 是将旋转矩阵 , 变换成旋转轴和旋转角的形式: 更进一步地，我们可以使用旋转矩阵的迹，来计算旋转角...：四元数旋转矩阵用9个变量来描述三个自由度的旋转，具有冗余性，由于我们找不到无歧义的三维旋转表示，我们引入四元素来进行旋转的表示注意到复数的乘法，表示复平面上的旋转，比如我们对复向量乘一个虚数...即逆时针旋转90度四元数可以表示为，一个实部 + 三个虚部：三个虚部满足：我们可以将四元数记作实部和虚部的向量表示，即：四元数的运算不妨记，其中, 加减法：乘法...: 模长：共轭：图片逆：图片用四元数表示旋转假设有一个三维空间点 , 和一个单位四元数指定的旋转，记旋转后的点为，我们有矩阵描述：我们将三维空间点

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同态加密算力开销如何弥补？港科大等提出基于FPGA实现的同态加密算法硬件加速方案

基于二进制进行运算的芯片，包括 CPU，都可以轻松实现高效的加法、乘法、位移等运算；然而取模、除法等运算则一直是硬件电路难以啃下的硬骨头，计算效率十分低下，显然 Paillier 加密运算中存在不可避免的取模和幂运算...因此，如何在硬件上优化蒙哥马利模乘运算成为了主要工作。我们从资源分配和时序分析两个方面对优化工作进行介绍。...由图一所示，蒙哥马利模乘算法由内外两重循环构成，我们将单次内部循环操作封装为如图三所示的处理单元，每个处理单元中包含两个乘法器，分别用于计算 x*y 和 q*m，两个乘法结果与外层循环的上一轮计算结果...次乘法，因此，如果我们例化了 n 个乘法器，每个乘法器需要运行 t 个时钟周期，则理想中整个蒙哥马利模乘的时钟周期为 ? 。...当 S_0 计算完毕后，即可开启下次迭代中 q 的计算。而 q 计算完毕后，下一次迭代计算即可开始。 ? 图五：蒙哥马利模乘运算流水线处理示意图。

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《程序员数学：素数》—— 你真的了解 RSA 加密算法吗？

所以这里的信息加密，会需用到求模运算。像计算机中的散列算法，伪随机数都是求模运算的典型应用。...所以这也是为什么会使用模运算进行加密，因为对于大数来说对模运算求逆根本没法搞。根据求模的计算方式，我们得到加密和解密公式；—— 关于加密和解密的公式推到，后文中会给出数学计算公式。...我们称 ¯a 为 a 模 m 的逆. 下面的定理指出, 当 a 和 m 互素时, a 模 m 的逆必然存在....这样我们就可以调用辗转相除法 gcd(a, m) 求得 a 模 m 的逆. a 模 m 的逆也被称为 a 在模m乘法群 Z∗mZm∗ 中的逆元....因此就无法求得 e 模 (p−1)(q−1)的逆, 也就无法根据公钥计算出私钥.

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