构建问题并全局看问题 用业务术语定义目标。 您的解决方案将如何使用？ 当前的解决方案/变通方法是什么（如果有的话）？ 应该如何框定这个问题（监督/无监督，在线/离线等）？...幸运的是，还有其他选择。现在让我们看看有限差分逼近。 有限差分逼近 回想一下函数h(x)在点x[0]处的导数h′(x[0])是该点处函数的斜率。...更准确地说，导数被定义为通过该点x[0]和函数上另一点x的直线的斜率的极限，当x无限接近x[0]时（参见方程 B-2）。 方程 B-2....这称为符号微分，它有两个好处：首先，一旦导数的计算图被生成，我们可以使用它任意次数来计算给定函数的导数，无论x和y的值是多少；其次，如果需要的话，我们可以再次在结果图上运行正向模式自动微分，以获得二阶导数...如果尝试使用 Python 赋值运算符，当调用该方法时将会出现异常。 这种面向对象的方法的一个很好的例子当然是 Keras。让我们看看如何在 Keras 中使用 TF 函数。
首先该模型以数据(x)的形式进行输入，然后根据输入的数据及模型参数生成输出(y)。优化算法会设法找到最佳的参数组合，也就是说，在给定输入数据x的情况下，使得模型输出的y尽可能接近期望输出。...假设我们有一些数据（x，t），在输入x时对应于输出t，并且这些数据在图表中的表示如下： 标签数据(x,t) 如果我们现在想要创建一个模型，在该模型中对于所有给定的示例数据，在输入x时都能输出最接近期的t...这条直线可以用y=f(x)和f(x)=p·x的函数来表示，其中p是该模型的唯一参数(注意：p表示该直线的斜率)。...这个模型可以用下图来表示: 表示我们的模型y = f（x） 为了找到参数p，使函数y=x·p的值在所有给定的示例(x，t)中都接近期望输出t，我们必须用数学方法定义一种能够衡量“亲密度”的度量方法，即“...在此，我们有一个解决该问题的典型成本函数，即将所有的示例(x，t)的期望输出t和模型输出y之差的绝对值的平方值（也就是|t-y|²）求和。
它是一种数值计算的方式，其功能是计算复杂函数（多层复合函数）在某一点处的导数，梯度，Hessian矩阵值等等。...针对函数中的某个特定点 x0，该点的导数就是x0点的"瞬间斜率”，也即切线斜率。 什么是梯度呢?...梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。...在单变量的实值函数中，对于函数的某个特定点，它的梯度方向就表示从该点出发，函数值增长最为迅猛的方向或者说是函数导数变化率最大的方向。...软件1.0（Software 1.0）是用Python、C++等语言编写，由对计算机的明确指令组成。通过编写每行代码，程序员可以确定程序空间中的某个特定点。
从任意一组网络模型权重w开始，目标是得到一个“最优”权重集合，以使给定的损失函数最小。几乎所有的神经网络都使用反向传播方法来找到这样一组权重。这个过程涉及权重值的变化如何影响输出。...基于此，我们决定按比例增加或减少权重值。测量输出如何随着权重的变化而变化，与计算输出w.r.t权重w的（部分）导数相同。对于所有的训练样例，对于所有层中的所有权重，重复该过程。...首先，我们从f(x)表示的简单参数函数开始。函数和参数x是标量（用斜体表示），我们可以使用传统的导数规则来计算f(x)的导数。其次，我们会看到的函数往往有很多变量与之相关联,以f(x,y,z)的形式。...f(x)的雅可比矩阵每行基本上是单独的∇f(x)。 在计算偏导数的过程中，本文做了一些假设。要记住计算输出函数的偏导数（y = w.x +b）和损失函数是很重要的。...首先，考虑通过在两个向量（当然具有相同大小）上应用基于元素的二元运算符得到的函数。这些函数的形式为f(x,y) = x + y或max(x, y)。请注意，在这种情况下，(x, y)是向量。
编译 | 蒋宝尚 编辑 | 陈彩娴 假设有一个函数F(x)，已知计算成本很高，且解析式和导数未知。问：如何找到全局最小值？...它的名字叫做：贝叶斯优化。它能够有效克服上述难点，并且试图用最少的步骤找到全局最小值。 1 贝叶斯优化之美 先构建一个函数C(x)，描述了在给定输入x的情况下的成本开销。...利用采样点形成的替代函数，如上图所示： 有了替代函数，我们就可以确定哪些点是最有希望的全局最小值，然后“希望的区域”里抽取更多的样本，并相应的更新替代函数。...更形象一些，可以用骰子类比，只不过投掷出去之后，返回的是一些函数（例如sin、log），而不是1~6的数字。这些函数能够拟合给定的数据，并且以某种概率被“掷”出来。...常见的习得函数包括预期改进和最大改进概率，所有这些函数都是在给定先验信息（高斯过程）的情况下，衡量特定投入在未来可能得到回报的概率。
因为 Python 中列表相加实现的是两个列表拼接，所以向量的计算不能使用列表，要使用 numpy 的 ndarray 进行加减运算 ?...二、微积分 微积分是现代数学的核心基础知识，深度学习中会用到的知识点，分别是导数、偏导数和梯度 1. 导数 导数，也叫作导函数值。假定我们现在手头有一个函数 F(x) = 2x。...这里有两个需要注意的地方，第一个是 Δx 一定要趋近于 0，第二个是极限 a 要存在。F(x)=2x 作图如下： ? 一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率，导数一般记为： ?...不光函数有导数，导数也有导数。代表函数在 x 处斜率（导数）的变化率我们称之为二阶导数。由此类推，还有高阶导数等 2. 偏导数 在实际应用中，很多函数都有多个变量。...导数就是函数在某个点上的斜率。如果我们把坐标系从二维变成三维，甚至更多维时，偏导数就好理解了：它实际上是函数在不同方向（坐标轴）上的变化率。
下标j表示a可能有多个值，因为函数f依赖于自变量x和一个或多个参数a1, a2，…，aM。在这种情况下，我们需要根据每个参数部分推导函数。当函数的导数值为零时，函数的最小值才会出现。...用导数使函数最小化的图解说明 一个导数可以被定义为一个函数相对于它的参数如何变化的度量。我们能找到的一个最简单的例子是y=mx类型的函数。...这个函数关于x的导数(dy/dx)是m，这意味着x每改变一点，输出y就改变m次。所以这个函数的导数表示了x变化后y的变化量，直观上，这可以看作是函数中某一点上切线的斜率。...这个斜率表示函数在某一点的导数。求函数的最小值和最大值的一种方法是寻找斜率为零的地方。在这种情况下，一个24.5的x将给我们一个最小值，而一个10的x将给我们一个最大值。 ?...这就是为什么我们的函数f取决于xi和aj的原因：我们有x的i值和a的j值。我们可以将所有这些导数汇编成一个称为Jacobian的术语。
这两个术语基本上是同义词。 ? h_θ(x) 表示 一个新的输入值x，其应用于这个h_θ(x)时，得到的输出为 1 的概率。 如，?...对于一个特征为x（该患者肿瘤大小的值）的患者，y=1 的概率是 0.7 ?...对这个代价函数的理解是：它是在，输出的预期值是h(x)，而实际的标签是y的情况下，我们希望学习算法付出的代价。 如果，我们能够最小化函数J里面的这个代价函数，它也能工作。...但是，如果你希望代码还能够监控这些J(θ)的收敛性，那么我们就需要自己编写代码来计算代价函数和偏导数项。 ? 梯度下降并不是我们能够使用的唯一算法，还有其他一些算法更高级、更复杂。...然后在新给定的输入 x ，做预测，选择 类别 i 最大的那个 类别为我们预测的 x 的类别。
这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。在机器学习的术语中，该数据集称为训练数据集（training data set）或训练集（training set）。...损失函数 在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。...我们为一维情况下的回归问题绘制图像，如图所示。由于平方误差函数中的二次方项，估计值\hat{y}^{(i)}和观测值y^{(i)}之间较大的差异将导致更大的损失。...随机梯度下降 即使在我们无法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型，在许多任务上，那些难以优化的模型效果要更好，因此，弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。...深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。 在下图，我们将线性回归模型描述为一个神经网络。 需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。
基本上而言，成本函数能告诉我们在给定了 m 和 b 的值时模型在预测方面的表现「有多好」。 比如说，如果数据集中共有 N 个点，而对于所有这 N 个数据点，我们希望最小化其误差。...这是因为实际值和预测值之间的误差越低，就说明算法在学习上的表现就越好。因为我们希望得到最低的误差值，所以我们希望这些m 和 b 值所得到的误差尽可能最小。 我们究竟如何最小化任意函数？...仔细观察，我们的成本函数是 Y=X² 的形式。在笛卡尔坐标系中，这是一个抛物线方程，可以画成下图形式： ? 抛物线 要最小化上述函数，我们需要找到能得到最低 Y值的 X 值，即红点位置。...本质上讲，为了到达最小值，你应该知道两件事：走哪条路和步子迈多大。 梯度下降算法可使用导数帮助我们有效且高效地做这些决定。导数是源自微积分的一个术语，可作为图在特定点的斜率而进行计算。...蓝点处的斜率没有绿点处陡，这意味着从蓝点到达最小值所需的步幅比在绿点处要小得多。 成本函数的数学解释 现在，让我们将上面介绍的一切写成数学公式。在等式 y = mX+b 中，m 和 b 是其参数。
在日常语言中，我们几乎可以互换使用概率和似然这两个术语。比如，可能会听到“今天下雨的可能性(likely)有多大？”或者“今天下雨的概率(probability)有多大？”。 看起来，好似相同。...似然函数告诉我们，在我们知道 等于某个观察值的情况下，任何特定值的 有多大可能性。 就像上面所述，如果我们将 代入上面的方程中，并让 取所有可能的值，我们会得到类似于上图1b的结果。...也就是，当我们调整参数值时，对数似然函数如何变化。 我们可以通过对对数似然函数关于 的一阶导数进行计算来获得这个信息。 当然，前提是函数是可微分的。...还有一个额外的条件需要满足，以确保我们遇到的是最大值而不是最小值。 请记住，最小值和最大值都将导致一阶导数为零，因此我们需要确保对数似然在估计值的附近是凹的。...也就是说，我们希望我们的估计值位于峰顶，而不是位于谷底。 为了检查这一点，我们必须确保以下条件也成立： 用非常简单的话来说，这意味着我们应该在最大似然估计值的附近预期对数似然的二阶导数小于零。
注：本文将包含大量用 Python 编写的代码片段。希望读起来不会太无聊。：)所有源代码都可以在作者的 GitHub 上找到。...准备好的参数值存储在带有唯一标定其父层的 python 字典中。字典在函数末尾返回，因此算法的下一步是访问它的内容。 ? 图 4：算法中使用的激活函数。...使用预设好的一层前向函数后，就可以轻松地构建整个前向传播。这个函数稍显复杂，它的作用不仅是预测，还要管理中间值的集合。它返回 Python 字典，其中包含为特定层计算的 A 和 Z 值。...第一个函数（Snippnet7）侧重一个单独的层，可以归结为用 NumPy 重写上面的公式。第二个表示完全反向传播，主要在三个字典中读取和更新值。然后计算预测向量（前向传播结果）的代价函数导数。...然后从末端开始遍历网络层，并根据图 6 所示的图计算所有参数的导数。最后，函数返回 python 字典，其中就有我们想求的梯度。 ?
给定曲线 y=f(x)，如下图所示，他们将点 {x，f(x)} 处的切线视为当“无穷小”量 h 趋于 0 时，经过附近点 {x，f(x + h)} 绘制到该点的割线的极限位置。...： 在 11.1 版中，D 返回了 Sin 的 n 阶导数的这个公式： 一个上述解析式的直接用法就是高速计算函数的高阶导数。...在版本 11.1 中，许多这些函数的 n 阶导数都可以通过 D 用解析式算出来。下面的表中列出了这些漂亮复杂的公式，每一个都把计算给定函数的高阶导数的信息囊括其中。 表中的有些项相当简单。...如果我们现在给定公式中 n 的值，可以获得前几个导数的答案。 这些答案与用 D 分别求每个导数所得到的答案相同。...该实绝对值函数是连续的，只有个别处不可微，但是，在 1872 年，Karl Weierstrass 引入了一个分形函数，处处连续但是处处不可微，由此震惊了整个数学界。
根据sigmoid函数的特性，我们可以做出如下的假设： 上式即为在已知样本x和参数θ的情况下，样本x属性正样本(y=1)和负样本(y=0)的条件概率。...给定一个样本，我们就可以通过这个代价函数求出，样本所属类别的概率，而这个概率越大越好，所以也就是求解这个代价函数的最大值。既然概率出来了，那么最大似然估计也该出场了。...显然这个函数开口向下，存在极大值，它的函数图像为： 求极值，先求函数的导数： 令导数为0，可求出x=2即取得函数f(x)的极大值。...极大值等于f(2)=4 但是真实环境中的函数不会像上面这么简单，就算求出了函数的导数，也很难精确计算出函数的极值。此时我们就可以用迭代的方法来做。就像爬坡一样，一点一点逼近极值。...我们可以编写Python3代码，来实现这一过程 # -*- coding:UTF-8 -*- """ 函数说明:梯度上升算法测试函数 求函数f(x) = -x^2 + 4x的极大值 Parameters
总结一下，X是一个Nx*m的矩阵，当用python实现时，会看到X.shape，这是一条python命令，用来输出矩阵的维度，即（nx，m），表示X是一个nx*m的矩阵，这就是如何将训练样本，即输入x用矩阵表示...我们想知道，用目前参数的情况下函数的斜率朝下降速度最快的方向走。我们知道，为了让成本函数J走下坡路，下一步更新的方向在哪。...2.5 导数 2.6 更多关于导数的例子 这两节主要就是关于微积分，导数的内容，通过举例f(x)=3x, f(x)=x^2, f(x)=x^3来说明函数上某一点的导数其实就是在该点的斜率，直线上点的斜率处处相等.../2.001=4=2*2，这里f(x)我们只是近似的等于4倍，实际上，按照导数的定义，是在x点出，增加一个无穷小量，0.001的增量很明显不能表示无穷小，因此在该点处的切线的斜率就为2x。...因此我们在logistc回归中，需要做的就是变换参数w和b的值来最小化损失函数，在前面我们已经经过前向传播步骤在单个训练样本上，计算损失函数，接下来讨论，如何向后传播来计算偏导数，其实就是根据链式求导法则
这个函数有一组参数，在一开始，我们并不知道这些参数应该是什么，我们仅仅是随机初始化它们。因此在一开始神经网络会给我们一些随机的值。那么我们如何改进他们呢？...其中α是非负因子，它可以决定旧梯度到底可以贡献多少值。当它为0时，我们不使用动量。 反向传播算法 我们如何计算梯度呢？回想一下神经网络和损失函数，它们只是一个函数的组合。...所以，与其一遍又一遍地计算这些术语，我们将从后向前计算，因此得名为反向传播算法。 我们将首先计算出损失函数关于神经网络输出层的偏导数，然后通过保持导数的运行乘积将这些导数反向传播到第一层。...但是,当我们遇到的函数有可学的参数(如线性组合,有权重和偏差)，那么我们取这两种导数:第一种是用误差传播的输入，第二种是加权和偏差，并将它们作为梯度的一部分来存储。...例如，如果我们没有类标签作为依据，我们有一个我们想要近似的数字列表，我们可以使用均方误差（简称MSE）损失函数。通常，当我们使用MSE损失函数时，我们在最后一层使用身份激活（即f（x）=x）。 ?
由于您所处的区域中，您对一阶导数的局部近似可能不会从该估计值点(例如，就在一座大山前面的一条向下的曲线)推广到很远的地方，所以您通常希望谨慎，不要迈出太大的一步。...但是，在许多其他方面，KL散度映射到我们对概率距离应该是什么样子的概念:它直接根据概率密度函数是如何定义的来度量的，也就是说，在定义分布的一堆点上的密度值的差异。...右手术语由两部分组成。首先，有关于参数的损失函数的梯度（这是在更正常的梯度下降步骤中使用的相同梯度）。“自然”位来自第二个分量：对数概率函数平方梯度的预期值，超过z。...在实践中，这看起来像计算p(类|x)梯度的期望值，用数据中实际类分布得出的期望值内的概率。...相比之下，如果在给定的点上梯度几乎没有变化，那么在进行下一步时就不需要太小心了。二阶导数信息很有用，因为它可以让你根据曲率的大小来缩放你的步长。
让我们先写写求根版的代码，形成一些基本的直观感觉。譬如说我们有一个函数f(x)和某个猜测的初始解。根据牛顿法，我们要先得出切线在那一猜测点上的斜率，然后求出切线与X轴的交点。...我们用这个交点找到原始函数的映射点，然后我们重复之前的步骤。这一次，我们用得到的映射点作为初始值。 我们不断迭代上面的步骤，直到得出一个不超过某个阈值的x值，这便是牛顿法中的寻根法。...总的来说，只要给定一个随机的初始位置，我们就能构建一个目标函数的二次近似值，该近似值与那一点上的一阶和二阶导数相匹配。...泰勒级数是一种函数的表示方法，这种函数表示项的无穷和。这些相加的项，通过该函数在某一点的导数值求得。 泰勒级数是一位英国数学家发明的，他的名字是布鲁克·泰勒·斯威夫特。...然后我们计算初始x点的二阶泰勒级数，并计算出它的最小值。这是通过求出一阶导数和二阶导数，并使它们为零实现的，为了找到最小的x值，我们对这个过程进行迭代。
7.2.3 Theano中的导数 译者：Python 文档协作翻译小组，原文：Derivatives in Theano。...有关微分内部工作原理的其他信息，也可以在更高级的教程扩展Theano中找到。 计算Jacobian 在Theano的用语中，术语Jacobian表示函数相对于其输入的一阶偏导数的张量。...原因是y_i将不再是x的函数，而y[i]仍然是。 计算Hessian 在Theano中，术语Hessian具有通常的数学概念：它是由函数的二阶偏导数组成的矩阵，该函数的输出为标量和输入为向量。...注意 v是求值的关键点，其在L操作和R操作中不同。对于L操作符，这个求值的关键点需要具有与输出相同的形状，而对于R操作符，该点应具有与输入相同的形状参数。此外，这两个操作的结果不同。...注意 v是求值的关键点，其在L操作和R操作中不同。对于L操作符，这个求值的关键点需要具有与输出相同的形状，而对于R操作符，该点应具有与输入相同的形状参数。此外，这两个操作的结果不同。
这将计算任何给定误差函数和人工神经网络的误差函数的梯度，同时考虑该神经网络内的不同权重。 梯度下降 梯度下降是一种算法，旨在最小化某个成本函数（错误的空间），因此输出是最准确的。...反向传播Sigmoid函数 Sigmoid是代表S形曲线的词。就机器学习而言，这条曲线显示了每个权重对节点输出的影响，如下所示： ? x轴表示输入的值，y轴表示该特定加权节点的输出值。...在x = 0时，函数的输出为y = 0.5。Sigmoid函数总是给出y值或节点的加权输出，介于0和1之间。请记住，加权输出是指隐藏层内的输出，而不是神经网络本身的最终输出。...虽然感知器具有0或1的离散值，而sigmoid神经元具有从0到1的连续值，但是经修正的线性单元仅返回正值，因此由其参数的正部分定义。其值范围从0到无穷大。...与sigmoid函数类似，修正线性单元的图形将x轴显示为输入值，并且将y轴显示为该特定加权节点的输出值。 如果a是加权输入而b是加权输出：当a> 0时b = a，否则b = 0。
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