最近要求为图像设计流线型曲线边框，想着可以用 OpenGL 绘制贝塞尔曲线，再加上模板测试来实现，趁机尝试一波。 ? 基于贝塞尔曲线的曲边扇形 什么是贝塞尔曲线 ?...贝塞尔曲线现在已广泛用于计算机图形，动画，字体等，基本上每个现代图形编辑器都支持它。 在一些博客中比较常见的一阶、二阶和三阶贝塞尔曲线（ 公式中 t∈[0，1]）： 一阶贝塞尔曲线 ?...当然我们实际在设备上绘制时，不可能绘制出无数个点，一般是根据屏幕像素的大小，对 t∈[0，1] 区间进行适当的等间隔插值，再由输出的点组成我们要的贝塞尔曲线（此时肉眼分辨不出来两点之间的距离，可以认为它们连成了一条线...ES 绘制贝塞尔曲线 OpenGL ES 的基本绘制单位是点、线和三角形，既然可以绘制点，只需要基于上述公式计算出点，然后将其绘制出来，即可得到我们想要的贝塞尔曲线。...绘制多条贝塞尔曲线 接下来我们基于贝塞尔曲线去绘制曲边扇形（填充曲线与 x 轴之间的区域），则需要 OpenGL 绘制三角形实现，还要重新输入 t 的取值数组，使得每输出 3 个点包含一个原点，类似于绘制扇形
说到贝塞尔曲线，大家肯定都不陌生，网上有很多关于介绍和理解贝塞尔曲线的优秀文章和动态图。 以下两个是比较经典的动图了。 二阶贝塞尔曲线： ? 三阶贝塞尔曲线： ?...有了上面的阐述，在工(ban)程(zhuan)的角度上，就不难理解贝塞尔曲线到底怎么使用了。...这种方案要求我们在 CPU 上去计算贝塞尔曲线方程，根据 t 的每一个取值，计算出一个贝塞尔点，用 OpenGL 去绘制上这个点。...这里先介绍另一种方案，这种方案实现比较简单也能达到优化效果，我们可以把贝塞尔曲线的计算方程式交给 GPU， 在 OpenGL Shader 中去完成。...具体的代码部分可以参考我的项目： https://github.com/glumes/AndroidOpenGLTutorial 在参考中，也有一个 OpenGL 绘制贝塞尔曲线的例子，不过他绘制的是贝塞尔曲线面
任务描述： 编写Python程序，调用OpenGL，绘制和拼接三次贝塞尔曲线，鼠标左键单击某个控制点可以移动其位置从而调整曲线形状，单击空白处可以增加控制点，每增加3个控制点就会多绘制一条三次贝塞尔曲线...准备工作： 安装Python以及扩展库PyOpenGL，参考：视频讲解--Python 3.10+OpenGL开发环境搭建 运行效果： http://mpvideo.qpic.cn/0bc3beabuaaajaamsfdvfnrfacoddieqagqa.f10002
任务描述： 编写Python程序，调用OpenGL接口，绘制三次贝塞尔曲线，通过鼠标可以自由调整控制点位置，从而影响贝塞尔曲线的形状。
由于没有提供与DrawCurve方法等价的方法，WPF中没有提供方法调用来绘制光滑曲线，我们可以通过一系列贝塞尔曲线绘制一个平滑的曲线。...贝塞尔曲线(Bézier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。贝塞尔曲线是计算机图形图像造型的基本工具，是图形造型运用得最多的基本线条之一。...移动两端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率（弯曲的程度）；移动中间点（也就是移动虚拟的控制线）时，贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。 ? 上图显示了这四个点是如何决定曲线形状的。...从起点和终点到控制点的距离决定了曲线与蓝色线的距离。如果控制点较远，则曲线沿蓝色线较长。 要绘制一条连接一系列点的平滑曲线，可以构建多个从这些点开始和结束的贝塞尔曲线。...那么如何定义控制点呢?看看右边的图片，它显示了三条连接点A、B、C和D的贝塞尔曲线。现在关注蓝色曲线。它需要两个控制点，一个在B点之后，一个在C点之前。
文章目录 一、使用 Path 提供的 cubicTo 方法绘制三阶贝塞尔曲线 二、代码示例 | 绘制效果 贝塞尔曲线参考 : https://github.com/venshine/BezierMaker...一、使用 Path 提供的 cubicTo 方法绘制三阶贝塞尔曲线 ---- 创建 android.graphics.Path 实例对象后 , 首先调用 Path#moveTo 方法 , 设置起始点...void moveTo(float x, float y) { nMoveTo(mNativePath, x, y); } 然后调用 Path#cubicTo 方法 , 设置 二阶贝塞尔曲线...的 控制点 和 终止点 ; /** * 从最后一个点开始添加一个三次贝塞尔， * 接近控制点（x1，y1）和（x2，y2）， * 并在（x3，y3）处结束。...getWidth() * 3F / 4F, 0, getWidth(), getHeight() / 2F); // 绘制贝塞尔曲线
文章目录 一、使用 德卡斯特里奥算法 公式计算的 方法绘制三阶贝塞尔曲线 二、代码示例 贝塞尔曲线参考 : https://github.com/venshine/BezierMaker 一、使用 德卡斯特里奥算法...公式计算的 方法绘制三阶贝塞尔曲线 ---- 在之前的博客 【Android UI】贝塞尔曲线 ④ ( 使用 android.graphics.Path 提供的 cubicTo 方法绘制三阶贝塞尔曲线示例...) 中 , 使用了 Android 官方提供的 API 绘制了贝塞尔曲线 ; 在本篇博客中 , 使用纯算法的方式 , 实现 三阶贝塞尔曲线 ; 使用的算法就是 根据 德卡斯特里奥算法 推导出的 递推公式...⑤ ( 德卡斯特里奥算法 | 贝塞尔曲线递推公式 ) 完整的贝塞尔曲线上的点坐标算法如下 : BezierX 方法用于计算 贝塞尔曲线上的 X 轴坐标点 ; BezierY 方法用于计算 贝塞尔曲线上的...⑥ ( 贝塞尔曲线递归算法原理 | 贝塞尔曲线递归算法实现 ) ; 为贝塞尔曲线控制点填充数据 : 三阶贝塞尔曲线 , 需要设置一个 起始点 , 一个终止点 , 和 两个控制点 ; /
相关知识： 确定一条n次贝塞尔曲线需要n+1个控制点和n+1个对应的调和函数，每个调和函数的定义域和值域都为[0,1]，且所有调和函数值之和恒等于1，与自变量取值无关。...以三次贝塞尔曲线为例，需要4个控制点（记为P1、P2、P3、P4），相应的4个调和函数的表达式分别为： B03 = (1-t)^3 B13 = 3 * (1-t)^2 * t B23 = 3 * (1-...t) * t^2 B33 = t^3 贝塞尔曲线的所有性质都与调和函数有关，例如端点性质（曲线起点与第一个控制点重合，曲线终点与最后一个控制点重合，其他控制点均不在曲线上，但是会影响曲线的形状），曲线起点处的切线...相关阅读： Python+OpenGL绘制和拼接三次贝塞尔曲线 Python+Matplotlib绘制三次贝塞尔曲线 Python+OpenGL绘制任意形状的三次贝塞尔曲线 任务描述： 编写Python...程序，调用Matplotlib，可视化三次贝塞尔曲面的4个调和函数曲线，移动鼠标时显示一条跟随的竖线以及4个调和函数的函数值，可以验证，这4个调和函数的函数值之和恒等于1，与自变量取值无关（也可以通过二项式定理进行证明
任务描述： 编写Python程序，使用扩展库Matplotlib绘制三维曲线，实现计算机图形学中的三次贝塞尔曲线。...相关阅读： Python绘制三次贝塞尔曲线 Python+OpenGL绘制任意形状的三次贝塞尔曲线 准备工作： 安装扩展库Matplotlib，安装过程中遇到问题的话请参考：Python扩展库安装与常见问题解决完整指南
今天我们主要是学习如何绘制圆弧和贝塞尔曲线。...我们先看下在制图软件中用钢笔工具绘制一条贝塞尔曲线的过程： 可以看到每两点可以连成一条贝塞尔路径，且每一个点都有一条方位控制线来控制曲线的弯曲程度和走向，在canvas中也是以类似形式控制贝塞尔曲线的形状...CEx、CEy表示贝塞尔曲线终点方向控制线末端的x坐标和y坐标。Ex、Ey表示贝塞尔曲线终点坐标。...如上图所示的贝塞尔曲线我们可以这样绘制： ---- 我们可以绘制两条或者多条连在一起的贝塞尔曲线，从而塑造我们想要的曲线： ---- 使用过矢量制图软件的朋友可能有个地方会困惑，那就是我们很多时候开始绘制一条曲线时...---- 我们试着来绘制一条这样的曲线，它是我在AI中用钢笔工具绘制出来的： 它的矢量轮廓是这样的： 由于起点是没有方向控制线的，我们很容易知道得先绘制一条quadraticCurve，然后再紧接着绘制一条
对于贝塞尔曲线而言，其特点在于第一个控制点恰好是曲线的起点，最后一个控制点是曲线的终点，其他控制点并不在曲线上，而是起到控制曲线形状的作用。...import sys from math import pi as PI from math import sin, cos from OpenGL.GL import * from OpenGL.GLU...import * from OpenGL.GLUT import * class MyPyOpenGLTest: #重写构造函数，初始化OpenGL环境，指定显示模式以及用于绘图的函数 def _...透视投影变换 gluPerspective(45.0, width/height, 0.1, 100.0) glMatrixMode(GL_MODELVIEW) #计算三次贝塞尔曲线上指定参数对应的点坐标...GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT) glLoadIdentity() #平移 glTranslatef(-3.0, 0.0, -8.0) #指定三次贝塞尔曲线的
4.5 绘制贝塞尔曲线 4.5.1 什么是贝塞尔曲线 贝塞尔曲线(Bézier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。 ...贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具如PhotoShop等。...在Flash4中还没有完整的曲线工具，而在Flash5里面已经提供出贝塞尔曲线工具。 ...贝塞尔曲线于1962，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。...一次贝塞尔曲线(线性贝塞尔曲线) 一次贝塞尔曲线其实是一条直线。 ? 二次贝塞尔曲线 ? ? 三次贝塞尔曲线 ? ?
文章目录 一、德卡斯特里奥算法 二、贝塞尔曲线递推公式 贝塞尔曲线参考 : https://github.com/venshine/BezierMaker 一、德卡斯特里奥算法 ---- 贝塞尔曲线的...三阶 / 四阶 / 五阶 曲线的绘制 , 都是依赖于其低阶贝塞尔曲线实现的 , 三阶贝塞尔曲线 是由 二阶贝塞尔曲线 实现的 , 四阶贝塞尔曲线 是由 三阶贝塞尔曲线 实现的 ; 德卡斯特里奥算法 可以实现...贝塞尔曲线 降阶的效果 ; 下面开始介绍 德卡斯特里奥算法 ; 在 向量 AB 上 选择 C 点 , C 点将 AB 向量切割成比例为 u : 1- u , 也就是 A 到 C...: |AB| = u A 到 B 的距离 |AB| 全长为 1 , A 到 C 的距离 |AC| 比例占到全长的 u , u 的取值范围是 0 ~ 1 之间的浮点值...: 二阶贝塞尔曲线 ( 起止点 + 1 个控制点 ) 由 2 条 一阶贝塞尔曲线 确定 , 三阶贝塞尔曲线 ( 起止点 + 2 个控制点 ) 由 2 条 二阶贝塞尔曲线 确定 , 四阶贝塞尔曲线
它是由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于20世纪50年代发明的，并在汽车设计领域广泛应用。贝塞尔曲面由多个控制点定义，这些点控制了曲面的形状。...这个公式描述了如何根据控制点的位置以及参数u和v的值来计算曲面上的点。 贝塞尔曲面的优点之一是它在控制点的位置和权重上具有直观性，可以通过移动控制点来调整曲面的形状。...此外，贝塞尔曲面是局部控制的，这意味着一个控制点的改变只会影响曲面上的局部区域。 在计算机图形中，贝塞尔曲面通常用于建模、渲染和处理复杂的曲面形状，例如汽车外壳、船体、飞机机身等。...对于每个 (i, j) 坐标点，我们使用贝塞尔曲面的公式计算了 x、y 和 z 坐标，并将它们存储在 vertices 中。 计算法线和纹理坐标 在这段代码中，法线的计算似乎与顶点坐标相同。...我现在更清楚地知道如何创建和渲染三维图形。 编程技能提升：通过实际的项目开发，我不仅提高了C++编程技能，还学会了如何使用OpenGL进行图形编程。
自主绘制的地图主要利用了墨卡托投影原理，将地球正轴圆柱投影，由经纬度信息转化到画布上对应的位置。 本文案例中用了 d3.js 中的 geoMercator 进行墨卡托投影转换。...[79dccf30c63e2acb29ddde9affc0fa72.png] 2.贝塞尔曲线 贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，它通过一个方程来描述一条曲线，根据方程的最高阶数，又分为线性贝塞尔曲线...、二次贝塞尔曲线、三次贝塞尔曲线和更高阶的贝塞尔曲线。...本案例中主要应用了二次贝塞尔曲线，二次贝塞尔曲线的函数如下： B(t) = (1-t) ²P0 + 2t(1-t)P1 + t²P2, t ∈ 0,1 [a35bbbb26e2a60dc4275c9ac1ce65cec.png...~ 1，曲率的绝对值越大，曲线越弯曲，percent为飞线位置占比。
抛开编辑器的快速实现不说，我们大致来说下canvas绘制飞线的大致原理。 贝塞尔曲线 飞线的路径主要是一个贝塞尔曲线，canvas绘制贝塞尔曲线比较容易。...canvas支持绘制二次和三次，在本次示例中，主要还是绘制二次贝塞尔曲线为主。...percent = 0.; } requestAnimationFrame(render); } 问题的关键在于如何绘制贝塞尔曲线的一部分...一种思路是使用二次贝塞尔曲线的公式，把曲线分成很多片段来进行模拟，然而这种方式的效率并不高。 其实可以使用插值的方式来获取一段贝塞尔曲线。...借助上面一次贝塞尔曲线的计算方法，可以通过以下步骤来确定二次贝塞尔曲线的B(t)点: * 选定 $t \in $[0,1] * 通过插值运算法则，在P0和P1所组成的线段上，计算出P0和P1点之间的插值点
2.3 实现曲线 2.3.1 贝塞尔曲线 前面我们简单介绍了贝塞尔曲线，Canvas 也支持贝塞尔二次和三次曲线，通常使用三次贝塞尔曲线画法。下面我们详细讲解一下。...2.3.2 使用 Canvas 绘制贝塞尔曲线 在 Canvas 中绘制三次贝塞尔曲线使用 bezierCurveTo() 方法，具体参数定义可以在 MDN 上查阅，这里不罗列了。...2.3.3 样条曲线与获取段 了解了如何绘制三次贝塞尔曲线，我们回到实际场景，一个线图会有若干个数量的点连接生成。但只使用 Canvas 提供的功能，并不能满足这个需求。...前面我们绘制折线是提出了段的概念，如果我们将一条完整的曲线拆分成多个段，每个段都是个三次贝塞尔曲线，问题好像就可以解决。那么问题就转化为如何生成多个贝塞尔曲线且它们能平滑连接。...2.3.4 点的计算 我们用一个简单的公式来计算各个点的值（公式结合 B 样条曲线和三次贝塞尔曲线在端点处的一阶和二阶导出得到），这里不介绍具体公式推导。
，达到快速绘制曲线的效果实现方式：钢笔工具即多段的三次贝塞尔曲线，工具页面中用SVG技术实现曲线绘制和调整，支持按键快捷操作 路径上运动 解析：元素沿路径按"animation-timing-function...贝塞尔曲线上匀速运动的函数设计 要在曲线上匀速运动，须知任意时刻中曲线上的点坐标。...获取一段三次贝塞尔曲线中点坐标的公式如下： 由于工具采用的是多段三次贝塞尔曲线，不同线段的t取值范围并不是[0,1]，而是该线段在整个曲线中的比例。...如下图，是两段贝塞尔曲线，弧长比值约1:1，故当t=0.5时，坐标点应近似位于P3处，公式参数应为“弧P0P3”，t=1；当t=0.75时，公式参数应为“弧P3P6”，t=0.5。...同理，通过三次贝塞尔曲线公式计算模拟出CSS中animationTimingFunction属性影响的运动速度。
pyopengl，下载合适版本的whl文件，如图所示（根据自己所安装Python的版本选择32位或64位）： 5、下载到Python3.6的安装目录的scripts文件夹中（注意，不要修改文件名），然后使用...from OpenGL.GL import * from OpenGL.GLU import * from OpenGL.GLUT import * class MyPyOpenGLTest: #重写构造函数...gluPerspective(45.0, float(width)/float(height), 0.1, 100.0) glMatrixMode(GL_MODELVIEW) #计算三次贝塞尔曲线上指定参数对应的点坐标...| GL_DEPTH_BUFFER_BIT) glLoadIdentity() #平移 glTranslatef(-3.0, 0.0, -8.0) #指定三次贝塞尔曲线的...glBegin(GL_LINES) #设置顶点颜色 glColor3f(0.0, 0.0, 0.0) #绘制多边形顶点 for i in range(1001):
很多绘图工具中的钢笔工具，就是典型的贝塞尔曲线的应用，这里的一个网站可以在线模拟钢笔工具的使用： http://bezier.method.ac/ ?...1.png 贝塞尔曲线模拟 在Android中，一般来说，开发者只考虑二阶贝塞尔曲线和三阶贝塞尔曲线，SDK也只提供了二阶和三阶的API调用。...对于再高阶的贝塞尔曲线，通常可以将曲线拆分成多个低阶的贝塞尔曲线，也就是所谓的降阶操作。下面将通过代码来模拟二阶和三阶的贝塞尔曲线是如何绘制和控制的。...那么如何来实现完美的拟合呢？实际上，也就是说贝塞尔曲线与圆的连接点到贝塞尔曲线的控制点的连线，一定是圆的切线，这样的话，无论圆的半径如何变化，贝塞尔曲线一定是与圆拟合的，具体效果如图所示： ?...关键代码如下所示： 微信放不下了，只能看原文了 圆的拟合 贝塞尔曲线做动画，很多时候都需要使用到圆的特效，而通过二阶、三阶贝塞尔曲线来拟合圆，也不是一个非常简单的事情，所以，我直接把结论拿出来了，具体的算法地址如下所示
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