总第122篇 前言 我们在前面说过机器学习中的损失函数，其实机器学习中的每一个模型都是在求损失函数的最优解，即让损失达到最小值/极小值，求解方式有多种，本篇讲讲其中两个基本的优化方法： 梯度下降法 牛顿法...具体的逼近原理就是让两个函数p(x)和f(x)在x0处的函数值相等（y值相等），一阶导数相等（斜率方向相等），二阶导数相等（斜率大小相等），…，n阶导数相等，这样函数p(x)就在点x0处无限接近了函数f...那么p(x)的函数应该是什么样子的呢？p(x)函数应该是从f(x)到f(x) n阶导数的一个集合，那么该怎么把这些拼凑起来呢？...函数p(x)在x0的值为a0,就是f(x0),函数p(x)在x0处的一阶导为a1，函数p(x)在x0处的二阶导为a2，…函数p(x)在x0处的n阶导为an。...2.利用牛顿法求解最优化问题思路： 已知函数待求解最优化问题可以转化为求函数f(x)的极值，求f(x)的极值可以转化为求f(x)的导数 φ′(x)=0的解。
，找出最值 求偏导，套黑塞矩阵判别式，化简消元，不难 二重积分，对称性化简，判断被积函数在积分域上正负 分快矩阵求伴随，常规题 注意第一个命题有 c=0 的特例 白给题 填空题 一阶非线性微分方程...，答案先求了原函数，再用级数找的高阶导数，我直接求了三阶找的规律 回过头看这题长的确实像微分方程，应该先求原函数的 隐函数和极限结合，导数定义 二重积分，换序后换元 可微定义， f(x_0+\Delta...隐函数方程求偏导数 二阶微分方程少 y 第二型降阶 极值互化后 r,\theta 换序 用相似转换研究对象 方程组有解问题， r(A) = m n r(A,b_m) = m n 有无穷解...，泰勒展开和求极限 但是本题并不是在 x=0 处展开，故代入后高阶不会消失，因此不能用一点处的高阶导数做法 剩下就是任意点高阶导数做法了，即找规律和莱布尼茨公式，考虑求几阶找规律 最后统一代入...第19题微分方程没做出来，有时要颠倒求解好好反思 2008 133 10/23 {\(f(x_n)\)}表示函数 \(f(x)\) 的生成数列第一次错线代题，用到了 克拉默法则拐点是 二阶导数为0 或
： 在 11.1 版中，D 返回了 Sin 的 n 阶导数的这个公式： 一个上述解析式的直接用法就是高速计算函数的高阶导数。...在版本 11.1 中，许多这些函数的 n 阶导数都可以通过 D 用解析式算出来。下面的表中列出了这些漂亮复杂的公式，每一个都把计算给定函数的高阶导数的信息囊括其中。 表中的有些项相当简单。...如果我们现在给定公式中 n 的值，可以获得前几个导数的答案。 这些答案与用 D 分别求每个导数所得到的答案相同。...对结果进行简化： 微积分中熟悉的和、积以及链式法则可以被优美地推广到求 n 阶导数的情况。求和法则是最简单的，和的 n 阶导数就是 n 阶导数的和。...到目前为止，我们讨论的函数都是可微的，因为对于变量的所有值它们都有导数。绝对值函数提供了一个不可微函数的标准例子，它在原点处没有导数。
牛顿法采用了一阶导数与二阶导数信息。 对多元函数在x0处作二阶泰勒展开，有： ? 忽略二次及以上的项，将函数近似成二次函数，并对上式两边同时对x求梯度，得到函数的梯度为： ?...采用牛顿法近似求解，对目标函数在yi,t-1'点处作二阶泰勒展开后得到 ? 损失函数的一阶导数为 ?...寻找最佳分裂的算法流程为 输入数据I：，当前节点的训练样本集，训练样本数为n 输入数据d：，特征向量维数 初始化分裂质量：score ← 0 计算所有样本的一阶导数，二阶导数之和：G←∑i∈I gi ,...,d 对所有训练样本按照第k个特征升序排序 初始化左子集所有训练样本的一阶导数，二阶导数之和：GL ←0,HL =0 循环，对j=1,......,n，以第j个样本的第k个特征分量xjk作为分裂阈值 计算左子集所有样本的一阶导数和二阶导数之和，在之前的基础上加上本次 被从右 边分到左边的样本的一阶导数和二阶导数值即可：GL ←GL +gi,HL
3．函数求偏导数的MATLAB命令 MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。 ? ? diff(f,x,n)? 求函数f关于自变量x的n阶导数。...求函数的极值点和极值. 首先用diff命令求z关于x,y的偏导数 >>clear;?...,R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数： >>clear;?...例２ 求函数在条件下的极值..构造Lagrange函数 求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数 >>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff...这个问题实际上就是求函数 在条件及下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数 求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数 >>clear; syms x y z u v >>l=x^2
这些方法都采用了各种各样的技巧，没有一个统一的方案。 真正的飞跃发生在大学时，微积分为我们求函数的极值提供了一个统一的思路：找函数的导数等于0的点，因为在极值点处，导数必定为0。...至于是极大值还是极小值，要看二阶导数/Hessian矩阵，Hessian矩阵我们将在后面的文章中介绍，这是由函数的二阶偏导数构成的矩阵。...一元函数的极值判别法为，假设在某点处导数等于0，则： 如果二阶导数大于0，函数有极小值 如果二阶导数小于0，函数有极大值 如果二阶导数等于0，情况不定 在这里我们可能会问：直接求函数的导数/梯度，然后令导数...比如下面的函数： ? 我们分别对x和y求偏导数，并令它们为0，得到下面的方程组： ? 这个方程非常难以求解，对于有指数函数，对数函数，三角函数的方程，我们称为超越方程，求解的难度并不比求极值本身小。...推导过程 首先我们来看一元函数的泰勒展开，以便于更好的理解多元函数的泰勒展开。如果一个一元函数n阶可导，它的泰勒展开公式为： ?
泰勒公式是将一个在 处具有 n 阶导数的函数 f(x) 利用关于 的 n 次多项式来逼近函数的方法，若函数 f(x) 在包含 的某个闭区间 上具有 n 阶导数，且在开区间 (a,b) 上具有 n...+1 阶导数，则对闭区间 上任意一点 x 有 其中的多项式称为函数在 处的泰勒展开式， 是泰勒公式的余项且是 的高阶无穷小。...我们以平方损失函数为例： 则： 由于在第 t 步时 其实是一个已知的值，所以 是一个常数，其对函数的优化不会产生影响，因此目标函数可以写成： 所以我们只需要求出每一步损失函数的一阶导和二阶导的值（由于前一步的...，然后获取叶子节点上的样本集合，最后在求损失函数。...上图给出目标函数计算的例子，求每个节点每个样本的一阶导数 和二阶导数 ，然后针对每个节点对所含样本求和得到的 和 ，最后遍历决策树的节点即可得到目标函数。
\dfrac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{t=0} 解答 参数方程 + 隐函数 求 具体某一点的二阶导数值 考虑直接代公式 接下来的问题是求出 y,x 在 x=0 处的 一阶 和 二阶...{1}{n}x^n \\ x^2\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} -\frac{1}{n}x^{n+2} ] 我们都知道，幂函数的多项式，求 n 阶导后，代入 x=0...后，只会保留 x^n 的系数： 次数小于 n 的，求 n 阶导后为 0 次数大于 n 的，求 n 阶导后，保留有 x ，代入 x=0 后，值为 0 因此找 f^{(n)...0 的驻点，或不可导点 有可疑点： x = 0 ，显然在 x=0 不存在二阶导数，不妨用一阶导数左右正负来看 x\to0^- 时： x\ln(-x) > 0 x\to0^+ 时： x\ln(-...}) = 0 再用一次 罗尔定理，会发现一个规律，每用一次，函数的 求导阶数 上升 一阶，函数 零点个数 减少 一个 不妨使用 数学归纳法证明（这里我就不写了，很简单，在 k 次式的时候两两用 罗尔定理
泰勒公式是将一个在 处具有 n 阶导数的函数 f(x) 利用关于 的 n 次多项式来逼近函数的方法，若函数 f(x) 在包含 的某个闭区间 上具有 n 阶导数，且在开区间 (a,b) 上具有 n...+1 阶导数，则对闭区间 上任意一点 x 有 其中的多项式称为函数在 处的泰勒展开式， 是泰勒公式的余项且是 的高阶无穷小。...我们以平方损失函数为例： 则： 由于在第 t 步时 其实是一个已知的值，所以 是一个常数，其对函数的优化不会产生影响，因此目标函数可以写成： 所以我们只需要求出每一步损失函数的一阶导和二阶导的值（由于前一步的...，然后获取叶子节点上的样本集合，最后在求损失函数。...j 对应的权值： 所以目标函数可以化简为： 上图给出目标函数计算的例子，求每个节点每个样本的一阶导数 和二阶导数 ，然后针对每个节点对所含样本求和得到的 和 ，最后遍历决策树的节点即可得到目标函数
在没有额外说明的情况下，对于向量 \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n ，我们用 x_i (1\le i\le n) 来表示其第 i 维的分量。...因此简单起见，统一用梯度来称呼标量值函数与向量值函数的导数，并用 \nabla 符号表示求梯度或雅可比矩阵。 特别的，标量值函数的梯度是向量。...类比于二阶导数，如果对梯度 \nabla f 再求一次梯度，得到的矩阵就称为 f 的黑塞矩阵（Hessian matrix）： \boldsymbol{H}_f = \nabla^2 f(\boldsymbol...所以，如果导数存在零点 x_0 ，在零点左边导数始终小于0，函数值单调减小；在零点右边导数始终大于0，函数值单调增加。这样，导数为零的点一定是函数的极小值点。 ...要让上式成立，就需要左边表示的线段始终在右边对应位置的函数值上方，和上面我们希望的函数图像没有“起伏”是一致的。否则，我们就可以在函数图像有“鼓包”的地方找到两个点，使它们的连线在函数下方了。
通常情况下无法得到驻点的解析解，因此只能采用数值优化算法，如梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法。这些数值优化算法都依赖于函数的一阶导数值或二阶导数值，包括梯度与Hessian矩阵。...因此需要解决如何求一个复杂函数的导数问题，本文讲述的自动微分技术是解决此问题的一种通用方法。...自动微分的前向模式实际上与我们在微积分里所学的求导过程一致。 前向传播算法每次只能计算对一个自变量的偏导数，对于一元函数求导是高效的。对于实数到向量的映射，即n个一元函数 ?...同样只运行一次前向算法即可同时计算出每个函数对输入变量的导数值。对于向量到向量的映射函数 ? 即m个n元函数，则需要运行n此前向算法才能求得对每个输入变量的偏导数。...对于某一个节点vi，假设它在计算图中有k个直接后续节点vn1,...vnk，则根据链式法则有 ? 因此在反向计算时需要寻找它所有的后续节点，收集这些节点的导数值 ? ，然后计算本节点的导数值。
，而整合两两二阶交叉的线性模型的系数个数为 ? 。分解机的系数个数是n的线性函数，而整合交叉项的线性模型系数个数是n的指数函数，当n非常大时，训练分解机模型在存储空间及迭代速度上是非常有优势的。...一般来说，大多数情况一个用户只对某个标的物进行一次隐式反馈，因此针对划分在测试集中的(u,i)对，在训练集中没有数据与之对应，这时，我们无数据用于训练求参数 ? 。...为了后面的算法讲解方便，下面我们先来求目标函数的导数，对于回归问题(最小平方损失)来说，导数为 ? 对于分类问题(logit损失)，导数为 ?...有了导数，下面我们来讲解怎么用SGD优化方法来求解FM模型。随机梯度下降算法(SGD)是分解类模型的常用迭代求解算法，该方法简单易懂，对各种损失函数效果都不错，并且计算和存储成本相对较低。...参考文献2中有对高阶分解机做简单介绍，通过类似2阶分解机的方法也可以将预测计算复杂度降低到线性时间复杂度，但是文章没有细说怎么做。参考文献16对高阶分解机进行了非常深入的介绍。
也就是说，对于刚转向机器学习领域的同胞们，在掌握数据挖掘的基本常识概念之后，要想在比赛中有所收获，掌握XGBoost算法也是当务之急。...XGBoost不同于传统的GBDT只利用了一阶导数的信息，而XGBoost对损失函数做了二阶泰勒展开，并在目标函数中加入了正则项，整体求最优解，用以权衡目标函数和模型的复杂程度，防止过拟合。...加了正则化项，使得算法会选择简单而性能较好的模型fm，公式中的正则化项只是抑制在迭代过程中弱学习器fm(X)过拟合，并不参与最终模型的集成。式中 ? 应至少满足是二阶连续可导的凸函数。...处的负梯度，而XGBoost算法是先求损失函数在该点的二阶泰勒近似值，然后最小化该近似损失函数来训练弱学习器fm(X)，得到 ?...表示损失函数假设在点Pm-1(X)处的第i个分量Fm-1(xi)的一阶偏导数， ? 为损失函数在点Pm-1(X)处的第i个分量Fm-1(xi)的二阶偏导数，使用上式作为近似优化目标函数。
max函数，求整个矩阵的最大值 %在实际上，可以通过max(A(:))的调用方式，只用一次max函数就得到最大值。...选择最近样本点的值作为插值数据。 pchip: 分段3次埃尔米特抽值。米用分段三次多项式，乐满疋插值条件，还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光滑的同时，还具有保形性。...每个分段内构造一个三次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数。 多项式次数并非越高越好。...次数越高，越容易产生震荡而偏离原函数，这种现象称为龙格(Runge）现象。 四种方法的比较： 线性插值和最近点插值方法比较简单。其中线性插值方法的计算量与样本点n无关。n越大，误差越小。...3次埃尔米特插值和3次样条插值都能保证曲线的光滑性。相比较而言,3次埃尔米特插值具有保形性;而3次样条插值要求其二阶导数也连续,所以插值函数的性态更好。
也就是说，对于刚转向机器学习领域的同胞们，在掌握数据挖掘的基本常识概念之后，要想在比赛中有所收获，掌握XGBoost算法也是当务之急。...XGBoost不同于传统的GBDT只利用了一阶导数的信息，而XGBoost对损失函数做了二阶泰勒展开，并在目标函数中加入了正则项，整体求最优解，用以权衡目标函数和模型的复杂程度，防止过拟合。...加了正则化项，使得算法会选择简单而性能较好的模型fm，公式中的正则化项只是抑制在迭代过程中弱学习器fm(X)过拟合，并不参与最终模型的集成。式中 应至少满足是二阶连续可导的凸函数。...处的负梯度，而XGBoost算法是先求损失函数在该点的二阶泰勒近似值，然后最小化该近似损失函数来训练弱学习器fm(X)，得到 式中 表示损失函数假设在点Pm-1(X)处的第i个分量Fm-1(xi)的一阶偏导数...， 为损失函数在点Pm-1(X)处的第i个分量Fm-1(xi)的二阶偏导数，使用上式作为近似优化目标函数。
MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。 syms函数的一般调用格式为： syms 变量1 变量2 … 变量n 注意：符号变量之间用空格而不要用逗号或分号分隔。...符号表达式包含符号函数和符号方程，其中符号函数没有等号，而符号方程必须带有等号。...clc; clear; % 求极限 syms n; % limit函数用于求极限运算。...ans = 1/(2*pi)^(1/2) 例3.3 导数 求 ?...1/(2*t^(1/2)), 0 ]; % 矩阵f对x的二阶导数 dfdx2 = diff(f,2); dfdx2 = [0, -t/x^2; 0, 2 ]; % 求二阶混合导数 dfdtdx = diff
希望看过此文后，你对这两类矩阵有一个更深刻的理解。 在向量分析中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式....这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵, 这就是所谓的雅可比矩阵： 此矩阵表示为： ，或者为 。 这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置yi(i=1,…,m)表示的。...如果p是Rn中的一点，F在p点可微分, 那么在这一点的导数由 给出(这是求该点导数最简便的方法)....海森Hessian矩阵 在数学中，海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下： 如果f的所有二阶导数都存在，那么f的海森矩阵即...假设任务是优化一个目标函数f，求函数f的极大极小问题，可以转化为求解函数f的导数 的问题，这样求可以把优化问题看成方程求解问题（ ）。剩下的问题就和第一部分提到的牛顿法求解很相似了。
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