不说废话，直接记 具有n个顶点的无向图，确保是一个连通图的最少边数情况和最多边数情况： 最少边数: n - 1 条边确保图连通。...以下是关于具有 n 个顶点的无向图连通性分析的总结，包括最少和最多的边数情况： 例题：具有6个顶点的无向图，确保是一个连通图的最少边数情况和最多边数情况 1....最多边数情况 最多边数: 如果我们要考虑图中的所有可能边数，且确保连通并冗余度高，最多可以有 \frac{n(n-1)}{2} 条边。...原因: 这是一个完全图的特征（每两个顶点之间都有一条边）。在这种情况下，图不仅是连通的，而且具有最大的冗余度，确保即使移除一些边，图仍然是连通的。...对于具有 ( n ) 个顶点的无向图，最多的边数公式为： 总结： 最少边数: n - 1 条边确保图连通。
2023-08-08：给你一棵 n 个节点的树（连通无向无环的图） 节点编号从 0 到 n - 1 且恰好有 n - 1 条边 给你一个长度为 n 下标从 0 开始的整数数组 vals 分别表示每个节点的值...同时给你一个二维整数数组 edges 其中 edges[i] = [ai, bi] 表示节点 ai 和 bi 之间有一条 无向 边 一条 好路径 需要满足以下条件： 开始节点和结束节点的值 相同 。...来自左神 答案2023-08-08： 大致的步骤如下： 1.创建一个图（树）数据结构，并初始化节点的值和连接关系。 2.对节点的值进行排序，按照值的大小顺序处理节点。...3.初始化并查集，用于管理节点的连通性。 4.创建一个数组记录每个连通分量中值最大的节点的索引。 5.创建一个数组记录每个连通分量中值最大的节点所在连通分量的节点数。 6.初始化答案为节点的总数。...7.5.2.若邻居节点的值等于该最大值节点的值，则更新答案并累加该最大值节点所在连通分量的节点数。 7.5.3.合并当前节点和邻居节点所在的连通分量。 7.5.4.更新当前连通分量代表节点的索引。
2022-11-07：给你一个 n 个节点的 有向图 ，节点编号为 0 到 n - 1 ，其中每个节点 至多 有一条出边。...图用一个大小为 n 下标从 0 开始的数组 edges 表示，节点 i 到节点 edgesi 之间有一条有向边。如果节点 i 没有出边，那么 edgesi == -1 。...请你返回图中的 最长 环，如果没有任何环，请返回 -1 。输入：edges = 3,3,4,2,3。输出：3。答案2022-11-07：一个环指的是起点和终点是 同一个 节点的路径。用强联通分量。
2.2 网络流 （一）最大流 对于带有源点S和汇点T的有向图，称为网络图。在网络图中设f是定义在集合E上的非负函数。...3.立体匹配网络图的构造 在使用图割算法进行立体匹配过程中首先需要构建网络图，对于上文提到的网格图由节点和连接节点的有向边组成。源点S，汇点T为两个特殊节点。边分为两种，一种视差边，一种是平滑边。...并在S到I1中每个属于左视图分割模版(图(1))中标记为前景的像素点之间添加一个边，在T到集合 ? 即立方体网络上与OXY平面相对的另一个面上的节点，添加到汇点的边。...由此，获得一个无向图G=即： ? 则网络图中各边的容量为： (1)源点，汇点连接边的容量为：汇点链接边的容量 ? (2)视差边的容量为：对任意，边的容量为： ?...对于图，在两端分别添加源点，汇点之后，只在到中每个属于左视图分割模版中标记为目标的像素点之间添加边，在T到集合即立方体网络上与平面相对的另一个面上的节点，添加对应到汇点的边。
简介 最大流算法主要分为两大类，一类为增广路算法，一类为预流推进算法。最大流算法解决的是在有向网路图 中计算从源点 到汇点 的最大流量问题，以及最小割容量问题。...最小割最大流定理 最大流的值等于 的最小割容量。 2. 增广路算法 剩余容量 剩余容量 表示边 的容量与流量之差。...增广路 对于一个网络图 ，从图 G 中找到一条从源节点 到目标节点 的路径，且路径上所有边的剩余容量都大于 0 ，则这条路径称为增广路 。...残量网络 对于网络图 ，残量网络定义为网络 G 中所有节点和剩余容量大于 0 的边构成的子图，即 2.1 EK 算法 BFS 寻找增广路，一次 BFS 一次增广 每一条有向边都需要构造反向边.../ 节点所在层次 // 链式前向星 struct edge { ll to, next, flow; // 分别代表：边的终点、同起点的下一条边的编号、边的流量
且二分图的最大独立集大小==|G|(二分图顶点数) - 二分图最大匹配数。 DAG的最小路径覆盖： 即在DAG图中寻找尽量少的路径，使得每个节点恰好在一条路径上(不同的路径不可能有公共点)。...注意：单独的节点也可以作为一条路径。 DAG最小路径覆盖解法如下： 把所有节点i拆为左边点集的i和右边点集的i’，如果DAG图中有i到j的有向边，那么添加一条二分图的i到j’的无向边。...把有向图的所有节点i拆为左边点集的i和右边点集的i’，如果有向图中有i到j的有向边，那么添加一条二分图的i到j’的无向边。...本问题解法：把有向图的所有节点i拆为左边点集的i和右边点集的i’，如果有向图中有i到j的有向边，那么添加一条二分图的i到j’的无向边。...然后：将二分图的所有边看成是从XiXi到YjYj的一条有向边，容量为1。 求最大匹配就是求ss 到tt 的最大流。 最大流图中从XiXi 到YjYj 有流量的边就是匹配集合中的一条边。
集聚系数（Clustering coefficient）——图中所有构成的三角形个数除以由节点构成三角形的最大可能数（最大可能数是n*(n-1)(n-2)/321=n(n-1)*(n-2)/6）。...加权度为加权出度和加权入度的总和。有向图的平均加权度：加权度总和/2*节点数；无向图的平均加权度：加权度总和/节点数。 网络直径（graph distance）——网络中任意两结点间距离的最大值。...图密度（graph density）——有向图：边数/(节点数节点数-节点数)；无向图：边数2/(节点数节点数-节点数)。...其中（节点数节点数-节点数）即为n*(n-1)，也就是n个节点可能产生的最大边数（有向图，若是无向图则要除以2）。图密度就是用实际边数除以可能产生的最大边数，结果越大表示图中节点连接越紧密。...add_cycle(G_to_add_to, nodes_for_cycle, **attr)：向图形G_to_add_to添加一个循环。 2.节点 nodes(G)：在图节点上返回一个迭代器。
网络最大流问题属于算法 里面较难的问题，因为牵涉的概念比较多，这一篇可能需要你花比较多的时间去理解，除了看这个，最好能多参考别的书籍或者文章进行比较学习，不然可能容易产生理解的偏差。...如果你觉得一次难以看懂，可以在时间多的时候看看。 网络流，顾名思义，可以认为是网络通信的流量，也可以想象成水管里水的流动情况，存在节点和边，每条边有容量且不一样（管道大小不一）。...最大网络流就是要寻找从节点s到节点t的能够取得的最大流量。 现在我们来理解网络最大流算法。前方高能，信息量会比较大 ? 。...1、容量网络：定义图G是一个有向图（网络），对于每一条边，有一个权重c，这个权重c表示这条边的容量capacity。 ?...最大流的理解比较花时间，每个概念都可能产生误解，建议一边看代码一边理解最大流的算法思想。
链表的优点： 链表是很常用的一种数据结构，不需要初始化容量，可以任意加减元素； 添加或者删除元素时只需要改变前后两个元素结点的指针域指向地址即可，所以添加，删除很快； 缺点： 因为含有大量的指针域...，指向一个链表的头，当然这个链表可能为空，也可能元素很多。...将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。常见的堆有二叉堆、斐波那契堆等。 堆的定义如下：n个元素的序列{k1,k2,ki,…,kn}当且仅当满足下关系时，称之为堆。...8、图 图是由结点的有穷集合V和边的集合E组成。其中，为了与树形结构加以区别，在图结构中常常将结点称为顶点，边是顶点的有序偶对，若两个顶点之间存在一条边，就表示这两个顶点具有相邻关系。...按照顶点指向的方向可分为无向图和有向图： 图是一种比较复杂的数据结构，在存储数据上有着比较复杂和高效的算法，分别有邻接矩阵 、邻接表、十字链表、邻接多重表、边集数组等存储结构，这里不做展开
本文参考以下文章 Maximum flow Flow Networks基本性质 在图论中，网络流被定义为一个有向图，其中包含一个起点Source和一个终点Target，以及几条连接各顶点的边。...每条边都有各自的容量Capacity，这是边所能允许的最大流量 网络流中的流量$f$应满足如下条件 从节点$x$流向节点$y$的流量，不能比$edge(x,y)$的capacity还大，$f(x,y)≤...若在Path：S-A-C-D-T上的所有边都有6单位的流量，那么这些边，$edge(S,A)$、$edge(A,C)$、$edge(C,D)$、$edge(D,T)$的剩余容量都应该减6。...,y)还能容纳多少流量 Residual Networks也是一个有向图，其中： 顶点集与原有向图完全相同 边的容量被residual capacity取代，如下图所示 ?...最关键的是，若$edge(A,C)$上有6单位的流量流过$f(A,C)=6$，那么在其Residual Networks上，会相应产生出一条顶点C指向顶点A的边$edge(C,A)$，并具有6单位的residual
贪心 活动选择问题 哈夫曼编码 摊还分析 聚合法/合计法 栈操作分析 核算法/记账法 栈操作 势能法 栈操作 图论 图 入度：有向图中连向该节点边的条数。...出度：有向图中从该节点连出的边的条数。 度：节点出度与入度之和，即连接该节点边的条数。 简单图：没有多重边，没有自环。 简单路径：对于一条由连续边与节点组成的路径，没有经过重复的节点。...连通图：对于一个无向图，任意两个节点之间都存在一条路径连接。 强连通图：对于一个有向图，任意2个节点之间都存在一条有向路径连接。...稀疏图：|E|≈|V| 稠密图：|E|≈|V|² 完全图：对于一个有向或者无向图，任意两个节点之间都有边邻接（对于有向图需要两个方向 的边）。...需要注意的是，Prim算法的实现通常需要使用优先队列（最小堆）来高效地选择权值最小的边。 流网络 流网络是一个有向图G=（V，E），其中每条边(u,v)均有一非负容量c(u,v)≥0。
thoughts）作为图的顶点，顶点之间的依赖关系作为图的边。...用于选择最相关思维的排序函数 推理过程 研究人员将推理过程建模为一个有向图，顶点代表某个问题（初始问题、中间问题、最终问题）的一个解决方案，有向边代表使用「出节点」作为直接输入构造出的思维...每次变换操作都包含两部分：1）反映当前推理状态的图，以及2）一个用到的语言模型。 变换操作会修改当前的图，添加新的节点和输入边。...为了最大化GoT的表现力，用户可以指定要删除的相应顶点和边来显式删除思维；为了节省上下文空间，用户可以删除推理中未来不改进的部分。...ToT提供logk N的延迟，但容量也下降了； GoT是唯一一个同时具有logk N的低延迟和高容量N的方案，可能是由于GoT利用聚合思想，可以从分解图中的其他中间思维获取到最终思维。
具体来说，最小生成树是一个无向加权连通图的一个子图，它具有以下特性：连通性：包含图中所有的顶点，并确保这些顶点仍然连通。无环性：不包含任何环路（亦即是一个树结构）。...这个问题在交通运输、计算机网络、供水系统等领域有广泛的应用。流网络：是一个有向图，其中每条边都有一个非负容量，表示该边所能承载的最大流量。...源节点（s）和汇节点（t）：源节点是流量的起点，汇节点是流量的终点。流量（Flow）：是从源节点到汇节点所实际传输的量。对于任何一条边，流量不能超过其容量。...3.1 最大流问题最大流问题的目标是找到从源节点到汇节点的最大可能流量，使得所有边的容量约束和流量守恒条件得到满足。...对数据中的噪声敏感：小的噪声或数据变化可能导致树结构的显著变化。偏向多值特征：具有更多可能取值的特征容易被选择为分裂点。
；它是又有限节点组成的一个具有层次关系的集合。...树的属性： 节点的度：该节点子节点的个数； 树的度：一颗树中，最大的节点的度，为树的度； 根节点：没有父节点的节点； 叶节点：度为零的节点； 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 节点层次：从根开始定义起...图结构：图G由顶点V和边E构成；边可以是单向的和双向的；权重可以加在边和顶点上；图有有向图和无向图；一个顶点有出度和入度；实际生活中的交通运输网，社交网络都可以利用图来进行表示； 无向图与有向图： ?...无向完全图：每两个点之间，都存在边； ? 有向完全图：每两个点之间，都存在相反的两条边； ? 有向无环图：如果一个有向图无法从某个顶点出发经过若干条边回到该点，则这个图是一个有向无环图。...无权与有权图；图的连通性； 简单图：不考虑平行边和自环边的图； ? 图的表示： 邻接矩阵：v表示顶点，表中的数组表示权重； ?
有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权（Weight）。...因此，有向图的邻接表分为出边表和入边表（又称逆邻接表），出边表的表节点存放的是从表头节点出发的有向边所指的尾节点；入边表的表节点存放的则是指向表头节点的某个顶点，如下图所示。 ? ...，默认容量为10，且不需要数组存储空间不够的情况，简化了操作。...3.2 基本方法实现 （1）添加一个顶点 View Code 就是往集合里边加入新元素； （2）添加一条边 这里需要分为两种情况，一种是添加无向图的边，这时无向图的两个顶点都需要记录边的信息...); ②有向图 View Code ③如何添加边 在实现中，无论是无线图还是有向图都是添加的有向边，只不过无向图是添加了两条有向边： View Code （3）打印每个顶点及其邻接点的信息
节点是由边互连的值 - 描述两个节点之间的依赖关系（有时与成本/距离相关联）的线。 图有两种主要类型：有向图和无向图。在无向图中，边(x, y)在两个方向上都可用：(x, y)和(y, x)。...树（Trees） 一棵树是一个无向图，在连通性方面最小（如果我们消除一条边，图将不再连接）和在无环方面最大（如果我们添加一条边，图将不再是无环的） ....所以任何无环连通无向图都是一棵树，但为了简单起见，我们将有根树称为树。 根是一个固定节点，它确定树中边的方向，所以这就是一切“开始”的地方。叶子是树的终端节点——这就是一切“结束”的地方。...在严格二叉树中，除了叶子之外，每个节点都有两个孩子。具有 n 层的完整二叉树具有所有2ⁿ-1 个可能的节点。...特性 作为一棵树，具有 n 个顶点的图的 MST 具有 n-1 条边；可以使用以下方法解决： Prim 算法 — 密集图的最佳选择（具有 n 个节点且边数接近n(n-1)/2)的图）； Kruskal
图的类型 有向图 在有向图中，边具有方向。它们从一个节点转到另一个节点，并且该方向是单向的。如下图所示，边（连接）现在具有指向特定方向的箭头。...只可以向一个方向前进并到达目的地，无法通过同一条边返回。 ? 无向图 在这种类型的图中，边是无向的（它们没有特定的方向）。将无向边视为双向街道。您可以从一个节点转到另一个节点并返回相同的“路径”。...因为每个节点都可能与所有其他节点连接并与自身连接。因此，图表可以具有的 最大边数是|V|*|V|，即节点总数乘以每个节点可以具有的最大连接数。当图形中的边数接近最大边数时，图形是密集的。...稀疏图 稀疏图形边缘很少。如下图所示，节点之间的连接不多。当图中的边数明显少于最大边数时，图是稀疏的。 ? 循环 如果您按照图中的一系列连接边，可能会找到一条路径使得从开始节点出发然后带回到同一节点。...当图形的边具有特定的方向时，可以指向图形，类似于单向街道，或者当它们的边没有特定方向时，类似于双向街道。 边可以具有与它们相关联的值，称为权重。 如果图形有许多边，则称为密集图。
如果每个顶点到每个其他顶点都有一条有向路径，那么有向图是强连通的。 一个非强连通的有向图由一组强连通分量组成，这些分量是最大的强连通子图。...实现一个算法来定向无向图中的边，使其成为强连通图。罗宾斯定理断言，当且仅当无向图是双边连通的（没有桥）时，这是可能的。...混合图是具有一些有向边和一些无向边的图。设计一个线性时间算法来确定是否可以定向无向边，使得结果有向图是无环的。...设计一个线性时间算法来确定是否可以定向无向边，使得结果有向图具有有向循环。 应用：确定最大流是否唯一。 解决方案：一个算法。 后序引理变种。...有向图的传递闭包是具有与原始有向图相同传递闭包的边数最少的有向图。设计一个 V（E + V）算法来计算有向图的传递闭包。请注意，有向图中的传递闭包不一定是唯一的，也不一定是原始有向图的子图。
匈牙利算法(也称为kuhn-munkres算法)是一种多项式时间算法，使加权二分图中的权重匹配最大化。在这里，承包商和合同可以被模型化为二分图，，它们的效力是承包商和合同节点之间的边权值。...原因如下：在上面的方法中，每个节点添加到新的流网络表示为有向图 K或者是完全相同的副本节点从有向图 H或者一个节点 n已经具有添加到其的相同数量n.datum.flowIn作为它的n.datum.flowOut...**还要注意，由于具有“拉”的残差可能是扩展路径的一部分，所以在流网络的DiGraph中受影响的节点可能不在路径中G!。...如果我们找到一个完美的匹配上有向图中的代表性线性分配问题，如果每个的重量弧的匹配是零，那么我们已经找到了最小重量的匹配，因为这种匹配表明，所有节点的有向图已经匹配由圆弧 具有最低可能的成本（根据先前的定义...没有其他弧可以添加到匹配（因为所有节点已经匹配），并且不应该从匹配中删除弧，因为任何可能的替换弧将至少具有相同的重量值。
网络流的背景我就不多说了，就是在一个有向图中找出最大的流量，有意思的是，该问题的对偶问题为最小割，找到一种切分，使得图的两边的流通量最小，而且通常对偶问题是原问题的一个下界，但最小割正好等于最大流，即切割的边就是最大流中各个...说得可能比较含糊，这里想要了解清楚还是查阅相关资料吧。 最大流最原始最经典的解法就是FF算法，算法复杂度为O(mC)，C为边的容量的总和，m为边数。...而今天讲的Push-relabel算法是90年代提出的高效算法，复杂度为O(n^3)，其实网络流最关键的步骤就是添加反向边，得出剩余图。而其他的改进就是为了在寻找增广路径时尽可能贪心，流量尽可能大。...好了，开始讲Push-relabel的主要思想，首先构造一个函数excess，代表每个节点保存的流量，就是等于该节点的入流量-出流量，正常来说，s的保存流量为负，t的保存流量为正，其他节点的保存流量均为...然后，初始化过程是，h(s)=n，h(v)=0，对于所有不为s的节点，f(s, u)=c(s, u)，对于所有从s出发的边都默认饱和，这是上界。
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