学习树的基本概念 二叉树： 二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。二叉树可以为空，或者由根节点、左子树和右子树组成。...特殊的二叉树包括满二叉树和完全二叉树，它们在某些操作中具有更高的效率。 二叉搜索树（BST）： 二叉搜索树是一种特殊的二叉树，对于每个节点，其左子树的所有节点都小于它，右子树的所有节点都大于它。...这个特性使得BST在查找、插入和删除等操作中具有较快的速度。 平衡树： 平衡树是为了保持二叉搜索树的平衡性而设计的。...理解树的遍历方式 前序遍历： 前序遍历是一种树遍历的方式，它首先访问根节点，然后按照前序遍历的顺序递归地访问左子树和右子树。前序遍历的应用包括构建表达式树、复制整个树等。...学习堆和优先队列的应用 堆： 堆是一种特殊的树结构，具有以下性质：对于最大堆，父节点的值大于等于其子节点的值；对于最小堆，父节点的值小于等于其子节点的值。
[j-1]; } L.data[i-1] = e; L.length++; } 插入元素应该加上对插入位置的判断 合法的插入范围是1->length+1,即数组中的0->length...申请插入节点s并赋值 // 3. r的next指针指向s // 4. r后移一步指向s，为下一步的操作做准备 // 最后将最后一个节点的nextz 二叉树 顺序存储 几个常考的基本操作 i的左孩子...i的右孩子 i的父节点 i所在的层次 二叉树的顺序存储中，一定要把二叉树的节点编号和完全二叉树一一对应起来 链式存储 二叉链表 找到节点p的左右孩子节点时间复杂度低 但是找某个节点的父节点...，并在递归左右子树之前要count++ 二叉树判断左右子树高度和统计节点总数，都要递归实现，并递归返回的条件是传入的节点为空 设计算法按前序次序打印二叉树中的叶子结点 void PrintLeaves...在小根堆中，每个父节点都必须小于子节点元素 在大根堆中，每个父节点都必须大于子节点元素 按照层序遍历的顺序来给节点编号 上滤 当叶子节点破坏了堆序性，让他和他的父元素比较,若大于父节点则交换
它是由 n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做 “树” 是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。 它具有以下的特点： 每个节点都只有有限个子节点或无子节点。...，则这个节点称为其子节点的父节点； 子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟； 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点...树的种类 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树； 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树； 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；...二叉查找树的插入 如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。...同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。
子树：一个节点及其所有后代节点构成的树。 树的相关术语 度：一个节点拥有的子树数。 叶子节点：度为0的节点。 根节点：树的起点，没有父节点。 父节点与子节点：节点与其直接子节点之间的关系。...特点： 顺序存储结构通常只适用于完全二叉树和满二叉树，因为这样可以最大化地利用数组的空间，避免浪费。 顺序存储结构可以快速地通过下标找到节点的父节点或子节点（如果存在的话）。...这可以通过给二叉树添加一些空的子节点来实现。 二叉树的顺序存储结构示意图如下 二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。...二叉树的链式结构是一种灵活且高效的存储方式，它支持动态地插入和删除节点，适用于各种需要动态操作二叉树的场景。...堆： 二叉堆：二叉堆是一种用于实现优先队列的数据结构。它具有以下特点：任意节点的关键字值都小于（或大于）或等于其子节点的关键字值，根节点的关键字值最小（或最大）。
显然树的定义是递归的，适合表示具有层次结构的数据 树中一个节点的子节点的个数称为该节点的度，树中节点的最大度数称为树的度 度大于0的节点称为分支节点，度为0的节点称为叶子节点 树的性质 树中的节点数等于所有节点的度数加...二叉排序树或者是一颗空树，或者具有以下特例的非空二叉树： 若左子树非空，则左子树上所有结点关键字均小于根结点的关键字 若右子树非空，则右子树上所有结点关键字均大于根结点的关键字 左右子树本身也分别是一颗二叉排序树...平衡二叉树可定义为它或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度差的绝对值不超过1。 1....先序遍历：若树非空，则先访问根结点，再按从左到右的顺序遍历根节点的每一颗子树。其访问顺序与这颗树相应二叉树的现需遍历顺序相同。...后序遍历：若树非空，则按从左到右的顺序遍历根节点的每一颗子树，之后再访问根节点。其访问顺序与这棵树相应二叉树的中序遍历顺序相同。
在这里插入图片描述 讯飞星火，代码不能运行： 二叉搜索树（BST）和最小堆是两种不同的数据结构，它们具有以下不同之处： 1.二叉搜索树是一种有序的二叉树，其中每个节点的值都大于其左子树中的所有节点的值，...而最小堆是一种完全二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其子节点的值。 2.在二叉搜索树中，我们可以使用中序遍历来按顺序访问所有节点。...2.插入顺序不同：二叉搜索树的插入顺序为左子树->根节点->右子树，而最小堆的插入顺序为根节点->左子树->右子树。...在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 通义千问： 二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的每个节点都有一个值，并且满足以下性质： • 所有的左子节点的值都小于根节点的值。...在这里插入图片描述 天工： 二叉搜索树（BST）是一种特殊的二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其左子树中任意节点的值，小于或等于其右子树中任意节点的值。
定义： 二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个节点的有限集合，该集合或者空集（称为空二叉树），或者由一个根节点和两棵互不相交的，分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。...特点： 每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。注意不是只有两棵子树，而是最多有。没有子树或者有一棵子树都是可以的。 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。...二叉树的五种形态： 空二叉树 只有一个根节点 根节点只有左子树 根节点只有右子树 根节点既有左子树又有右子树 特殊二叉树： 斜树：所有的节点都只有左子树的二叉树叫做左斜树，所有的节点都只有右子树的二叉树叫做右斜树...满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支节点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层，这样的二叉树称为满二叉树 完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i （1的结点与同样深度的满二叉树中编号为...二叉树遍历方法： 前序遍历：规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。如图所示，遍历的顺序为：ABDGHCEIF。 ?
定义： 二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个节点的有限集合，该集合或者空集（称为空二叉树），或者由一个根节点和两棵互不相交的，分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。...特点： 每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。注意不是只有两棵子树，而是最多有。没有子树或者有一棵子树都是可以的。 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。...二叉树的五种形态： 空二叉树 只有一个根节点 根节点只有左子树 根节点只有右子树 根节点既有左子树又有右子树 特殊二叉树： 斜树：所有的节点都只有左子树的二叉树叫做左斜树，所有的节点都只有右子树的二叉树叫做右斜树...满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支节点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层，这样的二叉树称为满二叉树 完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i （1的结点与同样深度的满二叉树中编号为...二叉树遍历方法： 前序遍历：规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。如图所示，遍历的顺序为：ABDGHCEIF。
，只需改变节点中的指针指向 缺点：存储空间利用率低，需通过指针维护节点间的逻辑关系；查找效率比顺序存储慢 度：当前节点下的子节点个数 二叉树 二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构，左侧子树节点称为...每个节点最多有2个子节点的树（即每个定点的度小于3）。 二叉树的特点 至少有一个节点(根节点) 每个节点最多有两颗子树，即每个节点的度小于3。 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。...AVL树的特点 具有二叉查找树的特点(左子树任一节点小于父节点，右子树任一节点大于父节点)，任何一个节点的左子树与右子树都是平衡二叉树 任一节点的左右子树高度差小于1，即平衡因子为范围为[-1,1] 如上左图根节点平衡因子...一颗m阶(m指一个节点中最多包含的子节点数)B树特点如下： 所有叶子处于同一水平位置 除根节点外的每个节点都必须至少包含m/2-1个key，并且最多具有m-1个key，除根以外的所有非叶子节点必须至少具有...112成为新的根节点，小于112的key作为112根节点的左子节点，大于112的key作为112根节点的右子节点，原插入节点位置的水平子树成为根节点左右子节点的子节点 删除 B树的删除比插入要复杂得多，
2.2线性表的顺序存储结构 特点是物理位置上的邻接关系来表示结点的逻辑关系，具有可以随机存取表中的任一结点的，但插入删除不方便 2.3线性表的链式存储结构 用一组任意的存储单元来存放线性表的数据元素...2.4线性表的插入和删除 2.5栈的顺序存储 采用两个顺序栈共享一个数据空间：（先进后出） ### 2.6队列 只允许在表的一端插入元素（队尾），另一端删除元素（队头）。...（先进先出） 2.7子串 子串包含在它的主串中的位置是子串的第一个字符首次出现的位置。 2.8广义表 广义表是线性表的推广,是由零个或多个单元素或子表所组成的有限序列。...具有n个结点的完全二叉树的深度为 2.10树与二叉树的转换 左孩子不变，其兄弟结点变为左孩子的右孩子；或是将树置保留左孩子结点，其它全删去，然后将各层的兄弟结点连起来。...2.14查找二叉树 查找二叉树（二叉排序树）——动态查找表：或者为空树或者满足： 查找树的左右子树各是一颗查找树。 若查找树的左子树非空，则其左子树上各节点的值均小于根结点的值。
数组（Array）：是一种线性数据结构，它将一组具有相同类型的数据元素存储在一起，并为每个元素分配一个唯一的索引。数组的特点是具有随机访问的能力。...平衡二叉树的本质是二叉搜索树，所以它具有二叉搜索树的所有特点，即左子树上的所有节点的值都比根节点小，右子树上的所有节点的值都比根节点大。平衡二叉树的特点：任意节点的左、右子树高度差的绝对值不超过1。...本质是二叉搜索树，具有二叉搜索树的所有特点。插入、删除节点时需要保持树的平衡，需要调整各个节点的高度，以满足平衡二叉树的特点。...注：以上三种遍历方式的顺序均为节点的访问顺序，即访问左、右子树部分时仍然按照对应遍历方式的顺序进行。例如，在前序遍历中，先访问左子树的根节点，然后遍历左子树的左子树，最后是左子树的右子树。...Test() { /* 初始化二叉搜索树 */ BinarySearchTree bst = new BinarySearchTree(); // 请注意，不同的插入顺序会生成不同的二叉树
树的结构类似于自然界中的树，具有层次分明的特点。以下是数的一些基本术语： 根节点（Root）：树的顶端节点，没有父节点。 子节点（Child）：一个节点的直接下级节点。...高度（Height）：从某个节点到叶子节点的最长路径长度。 树的常见类型 二叉树（Binary Tree） 二叉树是一种特殊的树，每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。...二叉树具有以下性质： 第i层的最大节点数为。 高度为k的二叉树最多有个节点。 满二叉树（Full Binary Tree） 满二叉树是指高度为k的二叉树并且有个节点的二叉树。及每层的节点数都是满的。...键值：节点中的键按升序排列，且每个键的左子树键值小于它，右子树键值大于它。 操作：插入和删除通过分裂和合并节点保持平衡。 B树常用于数据库索引和文件系统，因为它能够高效地支持范围查询和顺序扫描。...顺序访问：叶子节点通过指针连接，支持高效的范围查询。 平衡性：所有叶子节点在同一层。 操作：插入和删除通过分裂和合并节点保持平衡。
1.3 常见的树结构 常见的树结构包括以下几种： 二叉树（Binary Tree）：每个节点最多有两个子节点的树结构称为二叉树。子节点分别称为左子节点和右子节点。...通过维护一个队列，将当前节点的子节点按顺序入队，从而实现按层级遍历的效果。...最坏情况：O(log n)，平衡树的插入操作会触发平衡调整，但这些操作仍然在树的高度范围内。 平均情况：O(log n)，平衡树在插入操作后会进行平衡调整，使得树的高度保持较低水平。...在实际应用中，树的平衡性可能会受到数据的分布和插入顺序的影响，导致插入操作的时间复杂度稍有不同。因此，在选择树的类型和实现插入操作时，需要综合考虑数据特点和性能需求。...输出结果按照访问顺序打印了节点编号。 六、总结 树和图是数据结构中常见且重要的非线性结构。它们在计算机科学和软件开发中具有广泛的应用。
子节点,父节点，兄弟节点：节点的子树的根被称为该节点的子节点，而该节点称为子节点的父节点(parent).具有相同父节点的子节点之间互称为兄弟节点。...二叉树的顺序存储 顺序存储指的是充分利用满二叉树的特性:每层的节点数分别为1, 2, 4, 8,…,2的(i-1)2的i次方。...先（前）序遍历二叉树 中序遍历二叉树 后序遍历二叉树 如果L,D,W表示左子树、根、右子树，习惯上总是必须先遍历左子树，后遍历右子树，根据遍历根节点的顺序不同，上面三种算法可表示如下。...先序遍历 先序遍历指先处理根节点，其处理顺序如下： (1) 访问根节点 (2) 递归遍历左子树 (3) 递归遍历右子树 中序遍历 中序遍历指其次处理根节点.其处理顺序如下。...hanfuma2.PNG 排序二叉树 排序二叉树是一种特殊结构的二叉树，通过它可以非常方便地对树中的所有节点进行排序和检索 排序二叉树要么是一颗空二叉树，要么是具有下列性质的二叉树 若它的左子树不空，则左子树上所有的节点的值均小于它的根节点的值
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林； 树的种类 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树； 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树...N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1; 4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2(n+1); 5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系： ...二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： （1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； （2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值； （3）左...平衡二叉树的定义： 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又被称为AVL树（有别于AVL算法），且具有以下性质：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树...它们都是一种自平衡的树，能够保持数据有序。这种数据结构能够让查找数据、顺序访问、插入数据及删除的动作，都在对数时间内完成。
“深度”这个概念在生活中是从上往下度量的，比如水中鱼的深度，是从水平面开始度量的。所以，树这种数据结构的深度也是类似的，从根结点开始度量，并且计数起点也是 0。...大部分二叉树代码都是通过这种结构来实现的。 我们再来看，基于数组的顺序存储法。...经典的方法有三种，前序遍历、中序遍历和后序遍历。其中，前、中、后序，表示的是节点与它的左右子树节点遍历打印的先后顺序。...如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。...同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。 3.
一棵二叉树可以分为根节点、左子树、右子树，对于每一棵子树，也可以这样细分，直到其子树不存在为止。 这里要注意：左右子树的次序不能颠倒。 1. 满二叉树 满二叉树是一种特殊的二叉树。...（二胎→左子树→右子树→无后代子树） 如图，就是一个完全二叉树 由于 满二叉树 满足完全二叉树的条件，所以它是一种特殊的完全二叉树。 5....二叉树的存储形式 一般来讲，二叉树的存储形式有两种：顺序存储结构和链式存储结构。 5.1 顺序存储结构 顾名思义，用数组来存储二叉树的数据。...对比两图可以看出，非完全二叉树的顺序存储会 浪费一定的空间，所以 完全二叉树更适合顺序存储。 通常情况下，我们将采用顺序存储结构存储的完全二叉树叫做堆。...二叉树的顺序结构——堆 之前提到，采用顺序存储结构存储的完全二叉树叫做堆。 1. 堆的结构 堆的逻辑结构：完全二叉树 堆的物理结构：顺序存储 2.
性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。 满二叉树 定义 除了最后一层，所有分支节点的子节点个数为2 特点 叶子只能出现在最后一层。...），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树： 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 任意节点的左、...value,null,null); //创建根节点,此时没有左右子节点 return; //返回即可，表示插入成功，这个插入的节点就是根节点 } //如果根节点已经存在，那么就需要从根节点开始比较大小...，不允许插入"); return; //直接返回，后面的数字不用插入了 } } //循环结束，此时的parentNode就是待插入数字的父节点 //如果待插入的节点是左子节点...删除含有两个子节点的节点 参考文章 https://www.cnblogs.com/Michaelwjw/p/6384428.html 二叉树的遍历 前序遍历 访问顺序： 先访问父结点，再前序遍历左子树
0的结点； 如上图：D、E、F、G…等结点为分支结点 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点...1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= ....(ps： 是log以2为底，n+1为对数) 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有： 1.若i>0，i位置结点的双亲序号：(...二叉树的存储结构 顺序存储 顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。...堆中插入数据 这里的插入和顺序表的插入方法是一样的,因为初始化的时候并没有给数组空间容量, 所以再插入的时候需要先开辟空间.
类创建树的单个节点 创建一个简单的树 创建二叉排序树（递归插入方法） 树遍历（前序，中序和后序） 前序遍历 中序遍历 后序遍历 删除树 ---- 二叉树数据结构 简介 元素最多包含2个子元素的树称为二叉树...由于二叉树中的每个元素只能有2个子元素，因此我们通常将它们命名为左右子元素。 ? 二叉树节点包含以下部分。...cs101 cs112 cs113 2.树（具有一些排序，例如BST）提供适度的访问/搜索（比链接列表更快并且比数组慢）。 3.树提供适度的插入/删除（比阵列更快，比无序链接列表慢）。...二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： （1）若左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值； （2）若右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值； （3）左、右子树也分别为二叉排序树...答案很简单 -> 后序，因为在删除父节点之前，我们应该首先删除它的子节点。删除了树，还要将root更改为NULL 对于以下树节点，按顺序删除 - 4,5,2,3,1 ?
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