二进制与十进制的转换

一、基础概念

1. 十进制
   • 十进制是我们日常生活中最常用的计数系统。它使用十个数字（0 - 9）来表示数值。每个数位的权重是10的幂次方，从右向左依次为$10^0,10^1,10^2,\cdots$。例如，数字$123$表示$1\times10^2 + 2\times10^1+3\times10^0 = 100 + 20+3$。

• 二进制
  • 二进制是计算机中最基本的计数系统。它只使用两个数字（0和1）来表示数值。每个数位的权重是2的幂次方，从右向左依次为$2^0,2^1,2^2,\cdots$。例如，二进制数$101$表示$1\times2^2+0\times2^1 + 1\times2^0=4 + 0+1 = 5$（在十进制下）。

二、转换方法

1. 十进制转二进制
   • 除2取余法
     • 例如将十进制数$13$转换为二进制。
       • $13\div2 = 6\cdots\cdots1$（余数为1）
       • $6\div2=3\cdots\cdots0$
       • $3\div2 = 1\cdots\cdots1$
       • $1\div2=0\cdots\cdots1$
     • 然后将余数从下往上排列得到二进制数$1101$。

• 二进制转十进制
  • 按位权展开法。
    • 例如二进制数$1011$转换为十进制。
      • $1\times2^3+0\times2^2 + 1\times2^1+1\times2^0=8 + 0+2 + 1 = 11$。

三、优势

1. 二进制的优势
   • 在计算机中，硬件电路很容易实现二进制的表示，因为电路只有两种状态：开（1）和关（0）。这简化了计算机硬件的设计，提高了计算的可靠性和效率。
   • 对于数据处理和存储，二进制运算规则简单，例如加法和乘法运算，只需要考虑0和1的组合情况，便于计算机进行快速运算。

• 十进制的优势
  • 对于人类来说，十进制更符合我们的计数习惯，方便日常的交易、计量等活动。例如在货币计算、长度测量等方面，十进制更直观。

四、应用场景

1. 二进制的应用场景
   • 在计算机的底层操作中，如CPU的运算、内存的数据存储等都是以二进制形式进行的。在数据传输中，如网络通信中的比特流也是二进制形式。
   • 在图像、音频等多媒体数据的编码存储中，最终也是以二进制数据的形式存在于存储介质中。

• 十进制的应用场景
  • 在商业活动中的价格标注、财务报表等方面都使用十进制。在科学实验中的数据记录（如物理量的测量值）大多也采用十进制以便于理解和比较。