黎曼 ζ 函数跟许多其它函数一样， 在某些点上的取值为零， 那些点被称为黎曼 ζ 函数的零点。在那些零点中， 有一部分特别重要的被称为黎曼 ζ 函数的非平凡零点。...关于尝试证明黎曼猜想的研究出现了很多，但均无疾而终。 关于解决黎曼猜想的尝试 自黎曼猜想提出以来，很多数学家便开始了探索证明之旅。...连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域上。这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。...这在解析数论中产生了许多相应的改进，例如，研究者可以在几乎所有短区间内证明素数定理的范围，现在从 θ>1/6=0.166… 到 θ>2/15=0.133… 作者介绍 Larry Guth 自 2019...数论中一些最著名的问题与素数的分布有关。虽然素数的大规模分布遵循数论定理（更准确的说是黎曼猜想），但很多自然问题需要处理短（或稀疏）尺度。
新智元报道 编辑：LRS 【新智元导读】STP（自博弈定理证明器）让模型扮演「猜想者」和「证明者」，互相提供训练信号，在有限的数据下实现了无限自我改进，在Lean和Isabelle验证器上的表现显著优于现有方法...斯坦福的研究人员提出了一个自博弈定理证明器（STP），模仿数学家学习和发展数学的方式，同时承担两个角色（猜想者和证明器），互相提供训练信号，可以在「有限数据」的情况下「无限运行并自我改进」。...研究人员在Lean和Isabelle上对该方法进行了实证评估，使用DeepSeek-Prover-V1.5-SFT作为STP的基础模型，在大约1.2亿个生成的证明和200万个生成的猜想的自我博弈训练后，...最终再训练（re-training） 为了避免自博弈过程中数据分布变化导致的训练不稳定，研究人员从基础模型（SFT阶段之前）开始，对最终模型进行再训练，再训练使用的数据集包括SFT数据集以及在自博弈训练过程中生成的所有正确证明...消融实验 生成的猜想提供了更多训练信号 在Isabelle实验中，研究人员使用中间模型对LeanWorkbook中的未证明命题和生成猜想的经验通过率进行了直方图分析。
如上图所示，仅使用定理语句作为证明生成模型的输入，然后从模型中抽取证明尝试，并使用Isabelle执行证明检查。...如果Isabelle接受了证明尝试而没有错误，就说明证明成功；否则从证明生成模型中抽取另一个证明尝试。...Baldur在6336个Isabelle/HOL定理及其证明的基准上进行评估，从经验上证明了完整证明生成、修复和添加上下文的有效性。...Baldur可以与定理证明助手Isabelle合作，Isabelle对证明结果进行检查。当给定一个定理陈述时，Baldur几乎在41%的时间内能够生成一个完整的证明。...而因为需要归纳，Isabelle使用的Sledgehammer默认无法证明这个定理。 训练 为了训练证明生成模型，研究人员构建了一个新的证明生成数据集。
但事实上很有意思，在数论中，特别是解析中，很多东西可以归结到这么一个问题。 于是我们就需要发展一个技巧，来证明这个东西是不等于0的。...那最后是怎么去解决的呢？ 这里我就想提到我在一开始给出的第一个公式。我的一个最初的想法，就是最关键的一步，我为什么能达到一个这样的证明。...不过，此外还有另一些s的值，能够让黎曼ζ函数为零，它们被称为非平凡零点。就是这些非平凡零点，对质数的分布有着决定性影响。 到了这里，黎曼本人也无法证明了。...倪忆在文章「千呼万唤始出来，张益唐公布证明朗道-西格尔零点猜想的论文」中解释道，如果χ(n)的取值都是实数，那么L(s,χ)在 里最多只有一个零点，而且这个零点一定是实数。...倪忆表示，朗道-西格尔零点猜想是广义黎曼假设的一种特殊情形，但这是一种非常重要也非常困难的情形。在很多解析数论问题的研究中，都需要把西格尔零点单独拿出来考虑。
但事实上很有意思，在数论中，特别是解析中，很多东西可以归结到这么一个问题。 于是我们就需要发展一个技巧，来证明这个东西是不等于0的。...在论文的引理2.3中，我给出了这么一个东西，那么我就是要证明这么一个事情—— 如果存在朗道-西格尔零点，就推出： 我想证明这个东西： 是错的，也就是说我能证明： 这个里面有一个是负的话，就可以了。...那最后是怎么去解决的呢？ 这里我就想提到我在一开始给出的第一个公式。我的一个最初的想法，就是最关键的一步，我为什么能达到一个这样的证明。...这些s的值，就称为平凡零点。 不过，此外还有另一些s的值，能够让黎曼ζ函数为零，它们被称为非平凡零点。就是这些非平凡零点，对质数的分布有着决定性影响。 到了这里，黎曼本人也无法证明了。...倪忆表示，朗道-西格尔零点猜想是广义黎曼假设的一种特殊情形，但这是一种非常重要也非常困难的情形。在很多解析数论问题的研究中，都需要把西格尔零点单独拿出来考虑。
试题经常以下列形式出现： 求 x 求 f(x)的导数 求下列方程的根 计算型问题通常涉及一系列计算 （即步骤） 以获得最终结果。可以通过计算解决的问题使用的方法往往是重复的。...现在的目标不是确定结论（因为你已经被告知），而是搞清楚为什么这是真的。根据你自己的卡片和游戏过程中暴露的信息，最终应该能够使用逻辑证明为什么在游戏开始时被告知的信息一定是真实的。...这个项目的目标是解决学生在一年级课程中遇到的任何归纳证明问题。为了使这成为现实, 我搜遍了互联网和教科书, 寻找所有的归纳证明问题。 需要解释一下的是，这个项目并不是我能找到的所有归纳问题的数据库。...因此，我没有在应用程序中添加非常具体的证明, 而是添加模式匹配的证明。 表达式8^n - 3^n中，我对8和3并不太关心，因为即便这些数字变了，证明的逻辑结构仍不会改变。...问题是归纳步骤的许多计算需要假定 k 在一定范围内。例如，在上面的证明中，其中一步依赖于k >= 2时，3 < 2^k这个事实。
另外，这些方法使用的视频数据中的文本信息（通常由ASR或自动翻译生成）包含大量噪声，导致文本描述与视频内容的匹配度不高，影响训练效率。因此，预训练过程通常需要海量的数据和计算资源。...近期，涌现一些基于深度学习的位姿估计新方法，然而由于6D位姿估计训练数据标注难度大、硬件设备要求高和自监督深度学习算法预测精度低等原因限制了其在工业领域的应用。...已有方法考虑目标散射点之间关系，将目标结构化稀疏特性引入压缩感知框架，获取了视觉效果较好的ISAR图像。然而这些方法在迭代求解过程中均涉及大矩阵求逆计算，运算效率低，无法满足实时ISAR成像要求。...为充分利用各散射点之间的关联性，即目标结构化稀疏特性，所提方法将稀疏孔径ISAR成像建模为最小化卷积加权l1范数问题，在迭代过程中，分别将图像每一像素的四周像素的卷积作为下一次迭代中该像素的权值，所得ISAR...基于雷达实测数据的实验结果表明，本方法在ISAR成像过程中充分利用了目标结构化先验信息，可从目标稀疏孔径一维距离像中获取高质量ISAR图像，且运算效率高，有较高工程应用价值。
我们索性就全都写成Xn – X0 下列不等式： $$ \begin{cases} X1 - X0 的这个差分约束系统无形中又存在一个条件： X0 = 0 > 也就是说在不等式组(1)、(2)组成的差分约束系统的前提下，再把其中的一个未知数的值定死。...这样的情况在实际问题中是很常见的。比如一个问题表面上给出了一些不等式，但还隐藏着一些不等式，比如所有未知数都大于等于0或者都不能超过某个上限之类的。...下面我来粗略地证明一下，这个证明过程要结合Bellman-Ford算法的过程来说明。...其它各种过程，包括证明为什么解出的是最小值的证法，都完全类似。
在单棵树中，将测试数据 所在叶子结点的观测目标值取平均作为该树对 的预测； 2. 在多棵树中，将单棵树的不同预测结果取平均作为最终的预测结果。...加权求解局部估计等式阶段：下式中 表示我们感兴趣的参数， 表示我们不感兴趣但必须估计的参数， 表示观测到的与我们感兴趣的参数相关的值。...在 predict 阶段，我们可以证明，随机森林恰好是广义随机森林的一个特例，证明如下： 首先，在随机森林的 setting 下，，我们感兴趣的参数恰好是 ； 极大似然函数为 ，其 score function...function 为 ； 此时： 3.3 局部估计等式 在广义随机森林中，假设下列的数据产生过程： 这里 ，有： 此时 相当于： 带上权重 的时候类似。...在随机森林假设的线性 treatment effect 的情况下，这两种计算本质上是等价的。那为什么式 (13) 中的 不能直接用第一种方式求，而是要大费周章地用梯度去近似呢？
他的解就是牛顿方程： ? 我们来求解牛顿方程，a,b,c为下列随机值： ? 我们可以直接使用Solve求解d: ?...寻找支持几何不等式的证据 最后，我们来看一下2019年2月刊 Problems and Solutions 专栏中的问题12098，由LeonardGiugiuc和KadirAltintas提出。...假设三角形的半周长为s，内切圆半径为r,其形心位于内切圆周上。证明 ? ，并确定等号成立的条件。 生成三个单独的实例： ? 验证每个实例中的不等式是否成立： ? 验证不等式一般适用于边长 ?...的三角形，使用半周长公式 ? ，内切圆公式 ? ，和从内切圆心到形心的距离公式 ? : ? 由于 ? 在取遍所有边长 a, b 和 c 并且满足给定约束条件下的最小值为 ? （边长为1, ?...验证满足等式关系的三角形都是2-5-5等腰三角形，证明论点的一般性： ? 到此，我们已经证明了不等式在一般情况下成立，等号对于某一类相似三角形成立。 ----
在希尔伯特难题中，黎曼猜想排在第8个 2 黎曼为什么要把那么多并非显而易见的证明从略呢？也许是因为它们对于他来说确实是显而易见的，也许是因为不想花太多的时间来撰写文章。...关于那些非平凡零点，容易证明的结果只有一个，那就是它们都分布在一个带状区域上，但黎曼认为它们的分布要比这个容易证明的结果齐整得多，他猜测它们全都位于该带状区域正中央的一条直线上，这就是所谓的黎曼猜想。...而这条被猜测为包含黎曼ζ函数所有非平凡零点的直线则被称为临界线。 黎曼猜想自1859年“诞生”以来，已过了一百五十多个春秋，在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。...因此，为了知道哈代的结果离黎曼猜想的要求还有多远，我们需要更具体的结果。 那样的具体结果出现在七年后的1921年。...那一年，哈代与英国数学家李特伍德合作，对自己七年前那个结果中的“无穷多”做出了具体估计。那么，按照这个具体的估计，那位于临界线上的“无穷多个非平凡零点”跟全部非平凡零点相比，究竟占多大的百分比呢？
那么，如果给定N和k，能够证明其m_H(N)的最大值的上界是多项式的，则根据霍夫丁不等式，就能用m_H(N)代替M，得到机器学习是可行的。...这个地方的推导非常巧妙，也解释了为什么会这样分组。...根据递推公式，推导出B(N,K)满足下列不等式： 上述不等式的右边是最高阶为k-1的N多项式，也就是说成长函数m_H(N)的上界B(N,K)的上界满足多项式分布poly(N)，这就是我们想要得到的结果...四、A Pictorial Proof 我们已经知道了成长函数的上界是poly(N)的，下一步，如果能将m_H(N)代替M，代入到Hoffding不等式中，就能得到E_{out}\approx E_...然后，我们通过简单的三步证明，将m_H(N)代入了Hoffding不等式中，推导出了Vapnik-Chervonenkis(VC) bound，最终证明了只要break point存在，那么机器学习就是可行的
KL散度有时被称为KL距离，但它不满足距离的性质： KL散度不对称，。 KL散度不满足三角不等式。 交叉熵 将KL散度公式变形： 等式的前半部分是P分布的熵的负数，等式后半部分，就是交叉熵。...在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，由于KL散度中的前一部分，label的分布是已知且不变的常数，所以它的熵是个定值，故在计算Loss时，只需要计算交叉熵就可以了...直观上可以把E(x,y)∼γ[||x−y||]理解为在γ这个路径规划下把土堆P1挪到土堆P2所需要的消耗。而Wasserstein距离就是在最优路径规划下的最小消耗。...首先损失函数的功能是通过样本来计算模型分布与目标分布间的差异，在分布差异计算中，KL散度是最合适的。...这也是为什么在机器学习中的分类算法中，我们总是最小化交叉熵，因为交叉熵越低，就证明由算法所产生的策略最接近最优策略，也间接证明我们算法所算出的predicts分布越接近真实分布。
，故等式成立。...2.用基本公式证明下列等式成立。...代入规则 在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。...3.逻辑函数 L=(A+\bar{B})(A+C) 的对偶式为 L^{\prime}=A \bar{B}+A C 当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。...利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式。
在极大似然估计中，用最值的方法，将使得 取得最大值的参数 作为估计值，有一类概率模型比较简单，只含有观测变量 ，比如中心一元高斯模型，可以直接利用模型分布的观测变量，然后基于极大似然估计法，估计出这个模型的参数...2 抛出EM算法的迭代公式 首先，先看看如何进行迭代，这里先给出EM算法中的参数迭代公式： 上式表示在第 轮迭代的过程中，能够利用第 轮的参数估计值 ，去迭代估计出第 轮的参数 。...3 EM算法为什么有效？？？ 这里就先说为什么每一轮迭代都可以使似然函数 的值不断增大。...下面使用KL散度来辅助不等式2的证明，过程如下： 于是不等式2也得到证明。...那么经过 的迭代之后 的问题也就得到了证明，也就是说通过一轮一轮的迭代，log似然函数的取值也在不断的增大，最终log似然函数收敛到最大值，待估计参数 也就不断趋近于参数的真实值。
需要注意的是，迭代法不一定会是收敛的，也就是说x不一定会收敛到某个值，这样并不是我们所希望的，故后面会讨论一下迭代法的收敛性，我们先来谈谈迭代法的构造，从迭代格式中可以看到，我们对矩阵A进行了一次分裂，...下面通过这样的一种分裂方式，我们介绍几种迭代形式，首先是Jacobi迭代法（同步迭代） 注意到线性迭代中的M和N，在Jacobi迭代中，我们令M=D, N=L+U，构造出迭代格式，即 ?...x必须全部更新完成之后才可以进行下一步的迭代，由此我们介绍下一种迭代，Gauss-Seidel迭代（异步迭代） 在Gauss-Seidel迭代中，我们和上面对A进行同样的分裂方式，只不过在M，N的选取上做出了改变...个x仍然使用初始值，也就是一种异步的思想 在实际中，我们使用Jacobi迭代或者是Gauss-Seidel迭代都可能会出现不收敛或者收敛速度比较慢这样的情况，我们是不是可以试着去构造一种带参数的迭代方法...注意到等式右端的第一部分，即 ? ,这一部分其实就是之前的上一步的值 等式的第二部分就是类似Gauss-Seidel迭代得到的解然后乘上一个松弛因子（ ?
我们几个月前发布的第一个比较简略的版本的论文时，我们并不知道这个恒等式在以前的文献中多次出现，过去我和其他研究人员的关于随机矩阵理论的论文中曾经使用过相关的恒等式，但就我们所知，这个恒等式似乎是新出现的...在这篇文章的最后，我们推测了一些可能的原因，分析了为什么在2019年11月的Quantamagazine文章出炉之前，特征向量-特征值恒等式的知名度这么低，其传播是如此缓慢。...另外，在不同文献中所使用的符号从外观上也有很大的差异，这使得在检索过程中很难看到它的出现。...2.3 Coordinate-free proof 无坐标证明 该部分证明尽可能避免使用坐标或者矩阵。 {引理}：无坐标特征向量-特征值恒等式。设T是消除了单位向量v的自伴随线型图。...为二次型w的行列式，在 ? 的约束条件下，有 ? 成立。 证明该引理即等同于证明了特征向量-特征值恒等式。
这个过程被称为形式化（formalisation），但仅仅一个证明就可能需要数年的工作，因此只有一小部分数学知识被形式化，然后由机器证明。...在最近的一项研究中，谷歌的 Yuhuai Wu 与其合作者使用 OpenAI Codex 的神经网络进行自动形式化工作。...它能够将四分之一的问题转换为与形式证明求解程序 Isabelle 兼容的格式。 Wu 表示，许多不成功的转换是系统不理解某些数学概念的结果。...这项工作探讨了大语言模型的自动形式化的前景，研究者发现大型语言模型已经在一个交互式定理证明器中具备相当好的形式化自然语言数学的能力。 下图 1 是一个完美的自动形式化示例。...He 说，因为用户可以在 LaTeX 中定义自己的函数和符号，这些函数和符号可能只在一篇数学论文中使用，这对于仅在纯文本上训练过的神经网络来说可能很棘手。
其证明需要用到赫尔德不等式（Holder），可用于放缩的方法求最值（极值）、证明不等式等。...二、人名不等式 1、柯西不等式 柯西不等式，是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。...从历史的角度讲，柯西不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式（柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式），因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步...卡尔松不等式在不等式的证明中有着广泛的应用。 卡尔松不等式是柯西不等式的推广。 3、琴声不等式 琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森（John Jensen）命名。...还有很多形式的杨氏不等式，可参看 https://zhuanlan.zhihu.com/p/41654910 5、赫尔德不等式 赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto Hölder
这样的数称为素数（或质数），在纯数学和应用数学领域，它们发挥了重要的作用。所有的自然数中的素数的分布并不遵循任何规律。...ζ（s）= 0位于一条垂直直线上 这些是检查自前10000000000000（1×10^13)个解决方案的结果，证明它会带来许多围绕素数分布的奥秘。 猜想来源 ?...这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的 乘积。从某种意义上讲，它们在 数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的 原子。...黎曼猜想自1859年“诞生”以来，已过了150多个春秋，在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。...在黎曼猜想的研究中， 数学家们把 复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line（ 临界线）。
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