线性方程组是各个方程的未知元的次数都是一次的方程组。解这样的方程组有两种方法：克拉默法则和矩阵消元法。 矩阵消元法 矩阵消元法。...将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵 ，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。...当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。 这种方法适合手工解方程，通过编写程序来解方程这种方法基本行不通。...用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算 n+1 个 n 阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，...的值，既然如此，那么我就只要逆矩阵*常数向量就可以得出解向量 x 了，代码实现比上面那种方法简单太多了，一行代码就能求出解向量，代码如下： # 系数矩阵的逆*常数向量 x = inv(a)@b for
SOR迭代是在Gauss-Seidel迭代方法基础之上的进一步改进。其特征是取xk+1和xk的一个适当的加权平均来加快Gauss-Seidel收敛。对于方程组 ?...·数值算例 对于下列的稀疏方程组，其精确解是X=[1,1,...,1]。 ?...1)当n=200时,分别用Jacobi，Gauss-Seidel以及SOR （ω=1.5和ω=1.2），比较三种方法收敛所需的迭代步数。 ?...2)当n=1000时,分别取ω=1.2，1.3，1.6时SOR收敛所需的迭代步数 ? 合理选择参数ω决定了SOR比Gauss-Seidel更快收敛。
当线性方程组的规模比较大时，采用高斯消元法需要太多时间。这时就要采用迭代法求解方程组了。高斯消元法是一个O(n^3)的浮点运算的有限序列，在经过有限步计算之后理论上得到的是精确解(无舍入误差时)。...而迭代法在经过有限步迭代之后一般不产生精确解，迭代法在计算过程中逐渐减小误差，当误差小于容许值时停止迭代计算。方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵时，迭代总是收敛的。...继续迭代过程最终会收敛到解[1，2].这个迭代过程就是Jacobi迭代。 对于方程组u+2v=5，3u+v=5，由于方程组的系数矩阵不是严格对角占优矩阵时，因此迭代不收敛。来看迭代过程： ?...设D表示系数矩阵A 的主对角部分，L表示A的主对角线下方部分，U表示A的主对角线上方部分。则A=D+L+U，AX=b可改写为 ? 对于上面的方程组3u+v=5，u+2v=5，写成矩阵形式 ?...这与之前的迭代格式是一致的。 Fortran源代码 ?
迭代持续进行，直到向量gk的模达到一个较小的值，也就是误差允许范围之内。 后台回复“梯度法”可获取Fortran及python代码下载地址。...共轭梯度法是介于梯度下降法与牛顿法之间的一个方法，是一个一阶方法。它克服了梯度下降法收敛慢的缺点，又避免了存储和计算牛顿法所需要的二阶导数信息。...在n维的优化问题中，共轭梯度法最多n次迭代就能找到最优解（是找到，不是接近），但是只针对二次规划问题。...共轭梯度法的思想就是找到n个两两共轭的共轭方向，每次沿着一个方向优化得到该方向上的极小值，后面再沿其它方向求极小值的时候，不会影响前面已经得到的沿哪些方向上的极小值，所以理论上对n个方向都求出极小值就得到了...n维问题的极小值。
与Jacobi迭代法密切相关的一种迭代方法叫做Gauss-Seidel迭代方法。Gauss-Seidel方法与Jacobi方法之间的差别是：在一个迭代步里，一旦未知变量值有更新，则立马投入使用。...注意红圈位置是Gauss-Seidel方法与Jacobi方法之间的差别：v1的计算用到了u1而不是u0。通常情况下Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收敛更快。...设D表示系数矩阵A 的主对角部分，L表示A的主对角线下方部分，U表示A的主对角线上方部分。则A=D+L+U，AX=b可改写为(D+L+U)x=b,进一步有 ?...系数矩阵是严格对角占优的，因此迭代将收敛到精确解[2，-1，1]。 Gauss-Seidel方法的Fortran程序 ?
解线性方程组的直接法 0. 问题描述 1. 消元法 1. 三角方程组 1. 对角方程组 2. 下三角方程组 3. 上三角方程组 2. Gauss消元法 3....问题描述 这一章节考察的就是如何求解线性方程组： {...{LyUx=b=y 分别解上述两个方程，即可得到最终的解 ： {...⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧lijuij=aik−r=1∑k−1lirurk=(akj−r=1∑k−1lkrurj)/lkk 同样的，我们可以通过下述函数对最终的解...，我们可以直接写出最终的解如下： {
解线性方程组的迭代法 0. 问题描述 1. Jacobi迭代 1. Jacobi迭代方法 2. Jacobi迭代矩阵 3. Jacobi迭代收敛条件 4. python伪代码实现 2....问题描述 这一章节要解的问题和上一章是一样的，依然还是 元线性方程组的求解问题。...而本章则是的思路则是将问题 转换成 的迭代形式，从而，我们就可以给出迭代数组 。 此时，如果 满足收敛条件，那么 就会收敛到 的一组解当中，上述问题同样可以得到解答。 1....迭代则是在计算每一个 的时候就是用当前已经迭代计算完成的所有的 的结果。...逆矩阵的计算原则上来说其实算是上述解线性方程组的一个特殊应用，事实上解 个单元向量然后将其解拼接一下就能得到我们的逆矩阵了。
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 克莱姆法则（由线性方程组的系数确定方程组解的表达式）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组。...有唯一解，其解为 记法2：若线性方程组的系数矩阵A可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组有唯一解，其解为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式...推论 1）n元齐次线性方程组有唯一零解的充要条件是系数行列式不等于零，系数矩阵可逆（矩阵可逆=矩阵非奇异=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性无关）； 2）n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零...法则总结 1.克莱姆法则的重要理论价值： 1）研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系； 2）与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。...（一般没有计算价值，计算量较大，复杂度太高） 2.应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解： 1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解； 2）如果方程组无解或者有两个不同的解
MySQL通常使用B树（或其变体如B+树）作为唯一性索引的数据结构。这种结构允许高效的数据检索和插入操作。当插入新行或更新现有行的索引列时，MySQL首先在索引中检查是否已存在相同的键值。...如果发现索引列的新值已存在于唯一性索引中，MySQL将阻止该插入或更新操作，并返回一个错误。 在支持事务的存储引擎（如InnoDB）中，事务机制和锁定协议有助于维护索引的唯一性。...唯一性索引查询更快吗？ 在数据库中，通过唯一性索引来创建唯一性约束，可以确保表中指定列的值是唯一的，从而避免了数据重复和错误插入的问题。...唯一性索引查询通常比非唯一性索引查询更快，因为唯一性索引能够快速定位到唯一的记录，而非唯一性索引则需要扫描整个索引并匹配符合条件的记录。...首先，唯一性索引需要确保索引列的唯一性，因此在插入数据时需要检查是否存在相同的索引值，这会对插入性能产生一定的影响。
，从而算得行列式的值 定理中包含着三个结论： 1）方程组有解；（解的存在性） 2）解是唯一的；（解的唯一性） 3）解可以由公式(2)给出....定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 . 定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零....齐次线性方程组的相关定理 定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零. 1....线性方程组的解的结构 问题：什么是线性方程组的解的结构？...答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．
维基百科将线性方程组定义为： 在数学中，线性方程组（或线性系统）是两个或多个涉及同一组变量的线性方程的集合。 解决线性方程组的最终目标是找到未知变量的值。...在矩阵解中，要求解的线性方程组以矩阵形式表示AX = B。...该变量X包含方程式2的解，并输出如下： [ 5. 3. -2.] 未知数x，y和的值分别是5、3 z和-2。您可以将这些值代入公式2并验证其正确性。...使用solve（）方法 在前两个示例中，我们使用linalg.inv()和linalg.dot()方法来找到方程组的解。...但是，Numpy库包含该linalg.solve()方法，该方法可用于直接找到线性方程组的解： print(X2) 输出： [ 5. 3. -2.] 您可以看到输出与以前相同。
这类线性方程组求解的直接法，数值求解该方程组的基础思想是Gauss消元法 实质是通过一组满秩的初等行变换，将A保秩变换成一个三角矩阵U，此变换过程称为矩阵A的非奇异上三角化 我们的目的就是寻求一个矩阵...同解（ ?...由于分解的唯一性，可知 ? ，从而有 ? 我们可以记， ? ,从而 ?...此种分解手段称为Cholesky分解，限定对角元素为正，此类分解唯一 上述的Cholesky分解中涉及了开方的运算，下面介绍一种改进的平方根法 易知， ? ,则 ? 先解 ? ,后解 ?...这里给出一类特殊的范数， Frobenius范数 ? 对于 ? 上面的任意一种向量诱导范数，都有 ?
如何保证 ID 的全局唯一性？ 分库分表之后如何生成全局唯一的数据库主键呢？ 数据库中的主键如何选择？...使用唯一 ID 作为主键 如果使用唯一 ID 作为主键，就需要保证 ID 的全局唯一性，如何保证唯生成全局唯一性的ID ?...，性能会比较好，但是这样有个问题， 随着业务服务器的数量变多，很难保证机器 ID 的唯一性。...另外一个部署方式是将信号发生器作为独立的服务部署，业务使用信号发生的时候需要多一次网络调用，存在对内网调用性能的损耗，发号器部署实例是有限的，一般可以将机器 ID卸载配置文件里，这样可以保证机器 ID的唯一性...生成序列号可以使用随机的。 上面的方法主要是两种思路： 让算法中的ID符合规则自己的业务特点 解决时间回拨的问题。
维基百科将线性方程组定义为： 在数学中，线性方程组（或线性系统）是两个或多个涉及同一组变量的线性方程的集合。 解决线性方程组的最终目标是找到未知变量的值。...解决此类系统的方法有多种，例如消除变量，克莱默规则，行缩减技术和矩阵解决方案。在本文中，我们将介绍矩阵解决方案。 在矩阵解中，要求解的线性方程组以矩阵形式表示AX = B。...该变量X包含方程式2的解，并打印如下： [ 5. 3. -2.] 未知数x，，y和的值分别是5、3 z和-2。您可以将这些值代入公式2并验证其正确性。...使用solve（）方法 在前两个示例中，我们使用linalg.inv()和linalg.dot()方法来找到方程组的解。...但是，Numpy库包含该linalg.solve()方法，该方法可用于直接找到线性方程组的解： print(X2) 输出： [ 5. 3. -2.] 您可以看到输出与以前相同。
一 简介 相信大家在开发脚本或者写程序的时候 ，大多会遇到如何判断已经有程序在运行的情况。...比如设计备份binlog ，由于某个实例产生的binlog 数量大于备份的速度，在下一个时间点，会启动一个新的进程对binlog进行备份。...二 shell 脚本的解决方法 利用mkdir 的特性 创建已经存在的文件目录则会失败。...Python的文件锁是由fcntl这个库实现的，它实际上为 Unix上的ioctl，flock和fcntl 函数提供了一个接口。...主进程结束后文件锁失效； 3. flock()的LOCK_EX是"劝告锁"，系统内核不会强制检查锁的状态，需要在代码中进行文件操作的地方显式检查才能生效。
概述 本文不深究理论，不深究原理，从我们开发使用者的角度，动手实践，去体验一下JVM中，Class对象的唯一性与类加载器的关系。...而且这么说其实也并不严谨，假如说我们有一个类的两个实例对象，而这两个实例对象在内存里对应的的class信息是由两个不同的类加载器加载的，也就是说这个时候这两个实例对应的就是两个不同的Class对象。...Class对象的唯一性的确定因素之一就是加载它的类加载器。 下面我们从4个章节去体验一下Class对象的唯一性与类加载器之间的关系。...这NM不是我们这个测试项目build的后的class文件的目录嘛！！...其实对于任意一个Class对象，都需要由它的类加载器和这个类本身一同确定其在就Java虚拟机中的唯一性，也就是说，即使两个Class对象来源于同一个class文件，只要加载它们的类加载器不同，那这两个Class
头文件中定义全局变量，保证变量定义的唯一性 // constants.h #ifndef CONSTANTS_H #define CONSTANTS_H inline constexpr double...类的静态成员变量 可以用来定义模板类的内联静态成员变量，也可以用来定义普通类的内联静态成员，只是普通类的静态成员变量通常来讲定义在源文件内，没必要内联。...不要在多个源文件中定义相同的内联变量：虽然编译器只会保留一个实例，但仍然不建议在多个源文件中定义相同的内联变量，以避免混乱和不必要的复杂性。...不要过度使用内联变量，每个编译单元都会维护一个内联变量的副本，如果定义过多的内联变量，不仅会导致程序占用大量的内存空间，也会增加编译时间。...然而，仍需要谨慎使用内联变量，并注意其初始化和定义的位置，以确保程序的正确性和可维护性。
，只是此线性方程组与前面我们求解的线性方程组具有相同的解。...” 显然，求解线性方程组，即写出其增广矩阵，然后通过初等行变换化成阶梯形矩阵（包括最终的单位矩阵），从而得到原线性方程组的解。这种方法称为高斯（Gauss）消元法。...★任意一个矩阵都可以通过一系列的初等行变换化成阶梯形矩阵。 ” 正如你所知，线性方程组的系数和常数项为有理数时，线性方程组的解有三种可能：无解、有唯一解、有无穷多个解。...否则，有解： 若阶梯形矩阵的非零行数（用 表示）等于未知量的数，即 ，则原方程组有唯一解； 若$r 以上简要说明了利用矩阵求解线性方程组的方法，当然，这种方法是用手工计算完成的。...不妨对线性方程组的系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵： 观察阶梯形矩阵可知，原线性方程组有解，且$r=3,n=4,r 这个解称为原线性方程组的一般解，其中 称为自由变量。
对于矩阵有一类特殊的矩阵，叫做三角矩阵。 这种矩阵如果还是按照定义一个二维数组来对数值进行存储的话，无疑将消耗掉不必要的空间，所以我们采用压缩存储的方式，将矩阵存储在一位数组中。 ...问题：若一个一阶线性方程组的系数矩阵为下三角矩阵，则方程组的解则很容易计算出。 对于此方程组的求解可以表示为： 对于系数矩阵为上山角矩阵的，方程组的解同样可以很容易推出。
线性方程组 1. 解的个数 齐次线性方程组： 只有零解：当系数矩阵的秩等于未知量的个数 n 时，即 rank()=rank(A)=n。...齐次线性方程组的解 基础解系：齐次线性方程组的基础解系是指一组线性无关的解向量，使得所有解都能表示为这些向量的线性组合。...非齐次线性方程组的解 解的结构：非齐次线性方程组的解集可以表示为一个特解加上齐次方程组的所有解。 求解步骤： 求特解：通过数值方法或符号计算求出一个特解 xp。...-0.5] 从上面的结果可以看出： 对于齐次线性方程组，我们得到了两个特征值 4 和 2，以及对应的特征向量。特征向量代表了齐次方程组的解向量。...对于非齐次线性方程组，我们得到了未知量 x 的解为 [0.5,0,−0.5][0.5,0,−0.5]。
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