问半球谐波卷积

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这个答案试图对一些重要的方面作一个简短的概述。由于HSH定义相当复杂，而且我无法找到一些预评估函数的概述，所以我没有提供简单的示例，因为它现在会花我太多的时间。

问题描述&布鲁特力

要确定任意一组基函数的卷积，从而计算系数，我们通常需要计算区域上的积分(=球面表示SH，半球计算HSH)。我们需要做的一切，通过HSH基函数H的系数c来表示半球函数f，它定义在θ(“上/下”)和phi (“左/右”)的角度上，是这样的：

罪恶(θ)之所以存在，是因为我们在(半)球体的表面上进行了整合。从概念上讲，在目前的θ上，来自于改变phi的一块区域的大小是大或小的。有关此这里的更多信息

如果我们不太关心准确性或计算时间，我们可以简单地通过抽样来解决这个问题:生成均匀分布(!)在半球上的方向，计算f和H的乘积，平均结果(如果你有真正的分布点，你不需要罪恶(θ))。

开始使用分析解决方案

当然，我们希望对我们的函数有一个解析解，但这是事情可能变得非常困难的地方。作为第一步，我们可能需要将笛卡尔方向上给定的函数转换为球面坐标。这个部分仍然很简单，只需将所有的x、y和z替换如下：

请注意，这给了我们一个系统，其中z轴是半球(theta=0)的“向上”，应该用HSH来表示。在此之后，可能已经有可能将所有东西插入到计算机代数系统中并求解该方程。不要试图解决所有并购L的问题，而是一次尝试一个系数，因为不太可能有一个简洁的表达式同时描述所有这些因素。HSH的定义比较复杂，这使得对这些函数的评价变得非常繁琐。在本论文中，给出了笛卡尔坐标系下的零阶和一阶HSH基函数。

关于旋转的

注记&区域谐波

围绕这个z轴旋转对称的函数是成功的解析推导的很好的候选函数，因为它们只影响纬向系数，它们都是指数m等于零的系数。这特别有助于更一般的球面谐波，其中存在一个简单的公式，允许将任何区域球面谐波表示旋转到任意方向，从而使球面谐波表示没有任何数据损失(见这里)。这意味着你可以通过假定你的径向对称的“函数指向z”来导出ZSH系数，然后把它旋转到任何想要的方向。这是完美的，例如，与各种余弦叶变化，并提供您在问题中提到的因素。

现在坏消息是:对于HSH，任何函数围绕另一个轴的旋转都是有损的，因为你的函数在旋转后会“触碰”下一个未定义的半球。因此，也没有方便的“半纬到HSH”旋转公式。相反，有多种方法来做它有不同的缺点。有关更多细节，请参见纸和介绍性。

顺便说一句:对于H-基来说，所有这些都要简单一些，因为它也是半球形的(但最初只定义了有限的几个频带)。