问渐进索引成语中的APL恒等式

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这些成语有一些共同之处。这两种方法的最后一步都是一个索引操作，它们都使用某种镜像的级联策略，也许最重要的是，左参数和右参数的输出都是相同的。这在相当大程度上简化了身份的搜索，因为我们可以比较正确的1号参数和正确的参数#5：

(⍴Y)⍴⍋⍋X⍳Y,X                ⍝ right arg #1
(⍋X⍳Y,X)⍳⍳⍴Y                ⍝ right arg #5

另一件可以简化搜索的事情是删除或修改任何截断输出的内容，因为这两个参数的输出是相同的，而没有截断。习语1使用(⍴Y)⍴将其截断为Y的长度，而成语#5中右参数的长度取决于⍳⍴Y中Y的长度。在第一种情况下，可以删除截断，在第二种情况下，可以将其修改为Y,X的完整长度：

⍋⍋X⍳Y,X                     ⍝ #1
(⍋X⍳Y,X)⍳⍳⍴Y,X              ⍝ #5

考虑到这两个表达式都包含⍋X⍳Y,X，让我们将其赋值给变量A ← ⍋X⍳Y,X并进行简化。但是，重要的是要指出，我们现在拥有的恒等式只适用于A是置换向量时，我稍后会更多地讨论这个问题。与此同时，我们有这样的身份：

⍋A ←→ A⍳⍳⍴Y,X

由于‘Y，X’在这个表达式中除了提供向量长度之外什么也不做，而且由于这个长度等于‘A，所以恒等式可以简化为它的最终形式：

⍋A ←→ A⍳⍳⍴A, where A is a permutation vector

这很有道理。升级操作符位于标识的左侧，返回如果按升序排列的A的每个值将具有的索引值。右边的index-of运算符返回⍳⍴A升序值所在的A中的索引。例如：

5 2 1 4 3                   ⍝ A←5 2 1 4 3
3 2 5 4 1                   ⍝ ⍋A

5 2 1 4 3                   ⍝ A←5 2 1 4 3
1 2 3 4 5                   ⍝ ⍳⍴A
3 2 5 4 1                   ⍝ A⍳⍳⍴A

看看最后两行，1在A中有3的索引，2有2，3有5，4有4，最后5有1，这是有意义的，因为从定义上看，这就是等级提升运算符所做的。

置换向量

如前所述，只有当A是置换向量时，这个恒等式才是有效的。作为一种思想工具，肯尼思·艾弗森在他的论文中定义了一个置换向量：“一个向量P，其元素是其指数的某种排列(即^/1=+/P∘.=⍳⍴P)将称为置换向量。”从一些成语本身来看，您可以看到这种想法以各种方式表现出来：

Y[⍋Y]^.=X[⍋X]           #6 permutations of each other 
X^.=⍋⍋X                 #7 test if permutation vector
X[⍋X]^.=⍳⍴X             #29 test if permutation vector
⍋X                      #48 Inverting a permutation 
X⍳⍳⍴X                   #212 Inverting a permutation
^/1=+⌿X∘.=⍳⍴X           #281 test if permutation vector
^/(⍳⍴X)∊X               #454 test if permutation vector
A←⍳⍴X ⋄ A[X]←A ⋄ A      #654 Inverting a permutation 

在成语#7中，表达式的右侧是升序基数成语，我在另一个帖子中讨论了这个习语，在那篇文章中，我谈到了升级运算符在两种状态、秩和索引之间来回切换的事实，因此我们有以下两个标识：

⍋X ←→ ⍋⍋⍋X ←→ ⍋⍋⍋⍋⍋X ...
⍋⍋X ←→ ⍋⍋⍋⍋X ←→ ⍋⍋⍋⍋⍋⍋X ...

如果X是成语#7所确定的置换向量，则第二个恒等式可以扩展如下：

X ←→ ⍋⍋X ←→ ⍋⍋⍋⍋X ←→ ⍋⍋⍋⍋⍋⍋X …

我们知道，升级运算符将从1到参数中的值数的所有数字返回。再应用两次梯度算子，得到完全相同的向量。因此，成语#7只是说置换向量包含从1到其他值的所有数字一次，而且只有一次。(这假定1被设置为第一个索引值。)

上述习语列表的另一个有趣之处是，习语#48和#212是答案中讨论的标识的左右侧：

⍋A ←→ A⍳⍳⍴Y,X