求ODE的特征值和特征函数
求ODE的特征值和特征函数
提问于 2011-11-18 19:15:32
假设一个是y'‘+ ay = 0，边界条件是y'(0) =0，y'(1) =0。如何利用数学找到特征值和特征函数？如果给一个更一般的ODE，假设y'‘+(y^2-1/2)y=0，边界条件相同呢？
西蒙在下面的评论中回答了这个问题。
回答 1
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发布于 2011-11-18 21:33:50
DSolve只给出了“泛型”参数的解决方案，这就是为什么
DSolve[y''[x] + a^2 y[x] == 0 && y'[0] == 0 && y'[1] == 0, y, x]只返回琐碎的{{y -> Function[{x}, 0]}}。
如果考虑$-a^2$是具有0速度边界条件的二阶导数算子的特征值，则首先求解
In[1]:= sol = DSolve[y''[x] + a^2 y[x] == 0, y, x]
Out[1]= {{y -> Function[{x}, C[1] Cos[a x] + C[2] Sin[a x]]}}然后使用Reduce强制执行边界条件(在这里，为了简化结果，我还假设a != 0和sol并不简单)
In[2]:= Reduce[y'[0] == 0 && y'[1] == 0 &&
a != 0 && (C[1] != 0 || C[2] != 0) /. sol,
a] // FullSimplify
Out[2]= Element[C[3], Integers] && C[2] == 0 && C[1] != 0 &&
((a == 2*Pi*C[3] && a != 0) || Pi + 2*Pi*C[3] == a)它表示特征向量与$\cos( x)$与$a =2npi$或$a =(2n+ 1) \pi$成正比，$n$是一个整数。
至于你问题中的第二个方程，只需要讨论线性算子的特征向量。对于非线性微分方程，特征向量可以用来研究临界点附近的线性化行为。
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https://stackoverflow.com/questions/8191606
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