数据结构青铜到王者第十三话---优先级队列（堆）（1）

寻星探路

发布于 2025-12-17 18:34:35

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一、优先级队列的概念

前面介绍过队列，队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构，但有些情况下，操作的数据可能带有优先级，一般出队列时，可能需要优先级高的元素先出队列，该中场景下，使用队列显然不合适，比如：在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话；初中那会班主任排座位时可能会让成绩好的同学先挑座位。

在这种情况下，数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)。

二、优先级队列的模拟实现

JDK1.8中的PriorityQueue底层使用了堆这种数据结构，而堆实际就是在完全二叉树的基础上进行了一些调整。

1、堆的概念

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：Ki = K2i+1 且 Ki >= K2i+2(Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

（1）堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

（2）堆总是一棵完全二叉树。

2、堆的存储方式

从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储

#注：对于非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储，因为为了能够还原二叉树，空间中必须要存储空节点，就会导致空间利用率比较低。

将元素存储到数组中后，可以根据二叉树的性质5对树进行还原。假设i为节点在数组中的下标，则有：

（1）如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2

（2）如果2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子

（3）如果2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子

3、堆的创建

3.1堆向下调整

对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }中的数据，如果将其创建成堆呢？

仔细观察上图后发现：根节点的左右子树已经完全满足堆的性质，因此只需将根节点向下调整好即可。

向下过程(以小堆为例)：

（1）让parent标记需要调整的节点，child标记parent的左孩子(注意：parent如果有孩子一定先是有左孩子)

（2）如果parent的左孩子存在，即:child < size，进行以下操作，直到parent的左孩子不存在

parent右孩子是否存在，存在找到左右孩子中最小的孩子，让child进行标

将parent与较小的孩子child比较，如果：

parent小于较小的孩子child，调整结束

否则：交换parent与较小的孩子child，交换完成之后，parent中大的元素向下移动，可能导致子树不满足对的性质，因此需要继续向下调整，即parent =child； child = parent*2+1; 然后继续2。

 public void shiftDown(int[] array, int parent) {
    // child先标记parent的左孩子，因为parent可能右左没有右
    int child = 2 * parent + 1;
    int size = array.length;
    
    while (child < size) {
        
        // 如果右孩子存在，找到左右孩子中较小的孩子,用child进行标记
        if(child+1 < size && array[child+1] < array[child]){
            child += 1;
        }
        // 如果双亲比其最小的孩子还小，说明该结构已经满足堆的特性了
        if (array[parent] <= array[child]) {
            break;
        }else{
            // 将双亲与较小的孩子交换
            int t = array[parent];
            array[parent] = array[child];
            array[child] = t;
           
            // parent中大的元素往下移动，可能会造成子树不满足堆的性质，因此需要继续向下调整
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
         }
     }
 }

#注：在调整以parent为根的二叉树时，必须要满足parent的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。

时间复杂度分析：

最坏的情况即图示的情况，从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度，即时间复杂度为 O(logN)

3.2堆的创建

那对于普通的序列{ 1,5,3,8,7,6 }，即根节点的左右子树不满足堆的特性，又该如何调整呢？

（简单来说就是从最深层最右侧开始，（有同一个父节点）节点两两比较，大的去和父节点比较，比父节点大就互换，接着依次往左走，往上走，最后得到大堆）

参考代码：

 public static void createHeap(int[] array) {
     // 找倒数第一个非叶子节点，从该节点位置开始往前一直到根节点，遇到一个节点，应用向下调整
     int root = ((array.length-2)>>1);
     for (; root >= 0; root--) {
         shiftDown(array, root);
     }
 }

3.3建堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

因此，建堆的时间复杂度为O（N）

4、堆的插入与删除

4.1堆的插入

堆的插入总共需要两个步骤：

（1）先将元素放入到底层空间中(注意：空间不够时需要扩容)

（2）将最后新插入的节点向上调整，直到满足堆的性质

public void shiftUp(int child) {
    // 找到child的双亲
     int parent = (child - 1) / 2;
    
    while (child > 0) {
        // 如果双亲比孩子大，parent满足堆的性质，调整结束
        if (array[parent] > array[child]) {
            break;
        }
        else{
            // 将双亲与孩子节点进行交换 
            int t = array[parent];
            array[parent] = array[child];
            array[child] = t;
        
            // 小的元素向下移动，可能到值子树不满足对的性质，因此需要继续向上调增
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 1;
        }
    }
 }

4.2堆的删除

#注：堆的删除一定删除的是堆顶元素。具体如下：

（1）将堆顶元素对堆中最后一个元素交换

（2）将堆中有效数据个数减少一个

（3）对堆顶元素进行向下调整

5、用堆模拟实现优先级队列

 public class MyPriorityQueue {
    // 演示作用，不再考虑扩容部分的代码
    private int[] array = new int[100];
    private int size = 0;
    
    public void offer(int e) {
        array[size++] = e;
        shiftUp(size - 1);
    }
 
     public int poll() {
        int oldValue = array[0];
        array[0] = array[--size];
        shiftDown(0);
        return oldValue;
     }
 
     public int peek() {
     return array[0];
     }
 }