隐函数求导与绘图

from __future__ import annotations

from sympy import Eq , idiff , symbols

"""
因变量已显式定义为自变量的表达式,如 f(x)=x^2+3,则求导时使用diff(f, x)
因变量与自变量的关系隐含在方程中,如 x^2+y^2=9,则求导时使用idiff(x^2+y^2-9, y, x)
diff和idiff都支持通过 n 参数指定阶数

"""

# 定义符号
x = symbols('x')
y = symbols('y')
# 定义隐函数 x^2 + y^2 = 9
# 写法1：
expr = x ** 2 + y ** 2 - 9
# 对隐函数 x^2 + y^2 = 9 求 dy/dx 的导数
dy_dx_auto = idiff(expr , y , x)
print(f"expr = {expr}, dy/dx = {dy_dx_auto}")

# 写法 2：
expr_2 = Eq(x ** 2 + y ** 2 , 9)
dy_dx_auto_2 = idiff(expr_2.lhs - expr_2.rhs , y , x)
print(f'expr_2 = {expr_2}, dy/dx = {dy_dx_auto_2}')

# 写法 3：
dy_dx_auto_3 = idiff(expr_2.lhs , y , x)
print(f'expr_2 = {expr_2}, dy/dx = {dy_dx_auto_3}')

from __future__ import annotations

from sympy import Eq , Function , diff , solve , sqrt , symbols

# 定义符号
t = symbols('t')  # 时间变量
L = symbols('L')  # 梯子长度（符号常量）
x = Function('x')(t)  # 底端距离函数
y = Function('y')(t)  # 顶端高度函数

# 1. 建立几何约束方程（勾股定理）
constraint = Eq(x ** 2 + y ** 2 , L ** 2)

# 2. 对约束方程关于时间t求导（隐函数求导）
derivative_eq = diff(constraint.lhs - constraint.rhs , t)

# 3. 整理导数关系式
dy_dt_expr = solve(derivative_eq , diff(y , t))[ 0 ]

# 4. 代入具体数值求解
dx_dt_val = 1  # 底端速度
x_val = 6  # 底端距离
L_val = 10  # 梯子长度
y_val = sqrt(L_val ** 2 - x_val ** 2)  # 顶端高度 (y=8)

# 计算dy/dt
dy_dt_val = dy_dt_expr.subs({
    diff(x , t):dx_dt_val ,
    x:          x_val ,
    y:          y_val ,
    L:          L_val ,
    })
print(f"\n当x={x_val}米时, dy/dt = {dy_dt_val} 米/秒")

from __future__ import annotations

from typing import Callable , Tuple

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


def plot_closed_curve(
        equation: Callable[ [ np.ndarray , np.ndarray ] , np.ndarray ] ,
        x_range: Tuple[ float , float ] ,
        y_range: Tuple[ float , float ] ,
        levels: list ,
        resolution: int = 400 ,
        ) -> None:
    """
    绘制闭合隐函数曲线

    参数:
        equation: 隐函数方程 F(x, y) = 0
        x_range: x轴范围 (x_min, x_max)
        y_range: y轴范围 (y_min, y_max)
        levels: 等高线值列表（通常为[0]）
        resolution: 网格分辨率（默认400）
    """
    # 生成网格
    x = np.linspace(x_range[ 0 ] , x_range[ 1 ] , resolution)
    y = np.linspace(y_range[ 0 ] , y_range[ 1 ] , resolution)
    X , Y = np.meshgrid(x , y)
    
    # 计算方程值
    Z = equation(X , Y)
    
    # 绘制等高线（F(x,y)=0）
    plt.contour(X , Y , Z , levels = levels , colors = 'blue' , linewidths = 2)
    plt.gca().set_aspect('equal')  # 保持纵横比
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.grid(True)
    plt.show()


if __name__ == "__main__":
    # 示例：绘制圆 x² + y² = 1
    plot_closed_curve(
            equation = lambda x , y:x ** 2 + y ** 2 - 1 ,
            x_range = (-1.5 , 1.5) ,
            y_range = (-1.5 , 1.5) ,
            levels = [ 0 ] ,
            )

from __future__ import annotations

from typing import Tuple

from sympy import Eq , plot_implicit , symbols
from sympy.plotting.plot import Plot


def plot_open_curve(
        equation: Eq ,
        adaptive: bool = True ,
        points: int = 500 ,
        x_range: Tuple[ float , float ] = (-5 , 5) ,
        y_range: Tuple[ float , float ] = (-5 , 5) ,
        ) -> Plot:
    """
    绘制非闭合隐函数曲线

    参数:
        equation: 符号方程 Eq(F(x,y), 0)
        adaptive: 是否启用自适应采样（默认开启）
        points: 采样点数（自适应关闭时生效）
        x_range: x轴范围（默认-5至5）
        y_range: y轴范围（默认-5至5）
    """
    # 自动调整范围避免截断
    p = plot_implicit(
            equation ,
            adaptive = adaptive ,
            points = points ,
            xlim = x_range ,
            ylim = y_range ,
            line_color = 'red' ,
            title = 'Non-closed Implicit Curve' ,
            )
    return p


if __name__ == "__main__":
    # 示例：绘制双曲线 x² - y² = 1
    x , y = symbols('x y')
    plot_open_curve(equation = Eq(x ** 2 - y ** 2 , 1))