【数据结构初阶】二叉树--基本概念

一、树

1.1 树的概念和结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成的一个具有层次关系的集合。树，顾名思义，因为它看起来像一个倒挂的树，也就是说它根朝上，叶朝下。

• 有一个特殊的结点，称为根节点，根节点没有前驱结点。
• 除根结点外，其余结点被分成M（M>0）个互不相交的集合T1、T2、...、Tm，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。因此，树是递归定义的。
• 子树是不能相交的。（如果相交就是图了）。
• 除了根结点之外，每个结点有且只有一个父结点。
• 一棵N个结点的树有N-1条边。

【注意】

树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

非树形结构：

1.2 树的相关术语

父结点/双亲结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图中的A是B的父结点。

子结点/孩子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点,；B是A的子结点。

结点的度：一个结点有几个孩子，它的度就是多少；A的度为6，E的度为2。

树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；；该树的度为6。

叶子结点/终端结点：度为0的结点称为叶结点；B、C、O、P结点等都为叶子结点。

分支结点/非终端结点（非叶子结点）：度不为0的结点；A、D、E等结点。

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点（亲兄弟）；M和N为兄弟结点。

结点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子结点为第二层，以此类推。

树的高度或深度：树中结点的最大层次；上图树的高度为4。

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；A是所有结点的祖先。

路径：一条从树中任意结点出发，沿父结点到子结点连接，达到任意结点的序列；如，从A到P的路径为：A-E-J-P，H到P：H-D-A-E-J-P。

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。上图中，所有结点都为A的子孙。

森林：由m（m>0）棵互不相交的集合称为森林。

1.3 树的表示

树结构相对线性表更复杂，要存储起来比较麻烦，既要保存值域，又要保存结点和结点之间的关系。实际中树有很多表示方法如：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们先简单了解一下其中最常用的孩子兄弟表示法。

struct TreeNode
{
    struct Node* child;  //左边开始的第一个孩子结点
    struct Node* brother;//指向其右边的下一个兄弟结点
    int data;            //结点中的数据域
}

1.4 树形结构实际应用场景

文件系统是计算机存储和管理文件的一种方式，它利用树形结构来组织和管理文件和文件夹。在文件系统中，树结构被广泛应用，它通过父结点和子结点之间的关系来表示不同层级文件和文件夹之间的关联。

二、二叉树

2.1 概念和结构

在树形结构中，我们最常用的就是二叉树，一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成或者为空。

从图中看出二叉树具备以下特点：

• 二叉树不存在度大于2的结点（二叉树只存在度为0,1,2）；
• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树；

【注意】对于任意二叉树都是由以下几种情况复合而成的。

现实中的二叉树

2.2 特殊的二叉树

2.2.1 满二叉树

一个二叉树，如果每一层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^（k-1），则它就是满二叉树。（结点总数由等比数列求和得出）

满二叉树

2.2.2 完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

通俗点来讲，假设二叉树层次为k，除了第k层之外，每层结点的个数都达到了最大结点数，第k层结点个数不一定达到最大结点数，完全二叉树结点的顺序是从左到右的。

满二叉树一定是完全二叉树，但是，完全二叉树不一定是满二叉树。

根据满二叉树的特点可知：

• 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^（i-1）个结点；
• 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h -1；
• 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度h=log2（n+1），log以2为底，n+1为对数。

2.3 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

2.3.1 顺序结构

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费，完全二叉树更适合使用顺序结构存储。

现实中我们通常把堆（一种二叉树）使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统模拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

2.3.2 链式结构

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习一般都是二叉链。后面会学习到三叉链。

至此，二叉树的相关概念学习结束！