复数的三角表示
复数是由实部和虚部组成的数： z=a+bi (i^2=-1)，其中a为实部，b为虚部。
复平面： Z(a,b)
这是一个平面直角坐标系，但是复数也可以用极坐标来表示，如：Z(ρ,θ)
其中的ρ代表模长|OZ|，θ代表与x坐标的角度。
通过极坐标向直角坐标的关系转化可以得到
直角坐标向极坐标转换可以得到
将 a、b 的三角取值代入 z=a+bi 就有
z=a+bi=ρcosθ+(ρsinθ)i=ρ(cosθ+isinθ)
这就是复数的三角形式。
复数的四则运算
令 z1=a+bi，z2=c+di
加法：z1+z2=(a+c)+(b+d) i
减法：z1-z2=(a-c)+(b-d) i
数乘：λz1=λa+λbi (λ∈R)
乘法：z1*z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc) i
除法：z1/z2=(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=(ac-adi+bci+bd)/(c^2+d^2)=(ac+bd)+(bc-ad) i/(c^2+d^2)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad) i/(c^2+d^2)
在除法运算中，分子分母都会乘以一个分母 c+di 的共轭复数 c-di，将分母转化成实数。这里我们可以看到使用复平面的表示方式进行乘法和除法比较繁琐，而且缺乏可解释性，现在我们用复数的三角形式来运算它的乘法和除法。
令 z1=ρ1(cosθ1+isinθ1)，z2=ρ2(cosθ2+isinθ2)
乘法：z1z2=ρ1 (cosθ1+isinθ1)*ρ2 (cosθ2+isinθ2)=ρ1ρ2 (cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=ρ1ρ2 (cosθ1cosθ2+isinθ1cosθ2+icosθ1sinθ2-sinθ1sinθ2)
=ρ1ρ2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)
根据余弦和正弦公式，上式可以化为
=ρ1ρ2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))
根据上式，我们可知，两个复数相乘等于这两个复数的模相乘，得到新的模；辐角相加，得到新的辐角。
除法这里可以直接给出答案，为
z1/z2=(ρ1/ρ2)(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2))
也就是，两个复数相除等于这两个复数的模相除，得到新的模；辐角相减，得到新的辐角。
共轭复数与模长
共轭复数
给定一个复数，保持它的实部不变，虚部给出相反数，就是其共轭复数。
从上图中，我们可以看出 Z 和它的共轭复数 Z' 是关于 x 轴对称的。
- 性质
Z*Z'=(a+bi)(a-bi)=
+
=
这里我们会发现复数乘以它的共轭复数可以转化成实数，也就是它的模的平方。
这个有点类似于共轭根式，如 (2+
)(2-
)=1，这里本来是两个无理数，相乘后变成了有理数。
从复数的三角形式来看
Z=ρ(cosθ+isinθ)，则 Z 的共轭复数为
Z'=ρ(cosθ-isinθ)
由于余弦函数是一个偶函数，所以 cosθ=cos (-θ)；正弦函数是一个奇函数，所以 - sinθ=sin (-θ)，故上式可以化为
Z'=ρ(cosθ-isinθ)=ρ(cos(-θ)+isin(-θ))
故如果复数的辐角是 θ，则其共轭的辐角就是 -θ。故复数乘以共轭，代表逆时针旋转了 θ，然后再顺时针旋转了 θ，刚好回到了实数轴，转化成了实数。
- 共轭的加减法性质：
- 共轭的乘除法性质：
模长
Z=a+bi
|Z|=
=|OZ|
- 模长满足三角不等式：|
|
|
|+|
|
如上图所示，我们设
=
+
，则 |
+
|=|
|，红色的边其实就是
，根据三角形两边之和大于第三边，故该三角不等式成立。
- 模长乘除等式：|
|=|
||
|，|
|=
令
=
(cos
+isin
)，
=
(cos
+isin
)
根据之前复数三角形式的乘法性质，有
=
(cos(
+
)+isin(
+
))
根据复数三角形式的定义，我们可知 |
|=
= |
||
|，得证。
根据之前复数三角形式的除法性质，有
=
(cos(
-
)+isin(
-
))
根据复数三角形式的定义，我们可知 |
|=
=
, 得证。
欧拉公式
如果令复数的模为 1，则
=cos
+isin
，
=cos
+isin
=cos(
+
)+isin(
+
)
令 Z=cosθ+isinθ=f (θ)，这里 f (θ) 是一个函数，那么
=f(
)，
=f(
)，则有
f(
)f(
)=f(
+
)
通过观察这个式子，我们可以回忆起初等函数中，指数函数是满足这个性质的。
令 f (x)=
，则 f (
)f(
)=
*
=
- 虽然我们想将这两种形式对应起来，但是这里有一个问题就是指数函数
∈R (实数集)，而 Z∈C (复数集)
- 且复数函数 f (θ) 是周期函数，周期为 2π
cos(θ+2π)+isin(θ+2π)=cosθ+isinθ=f(θ)
f(θ+2π)=f(θ)
1. 但是 f(x)=不是周期函数
这里我们猜测指数函数 f(x)=
中的 a∈C，会不会有可能对应起来呢？
指数函数导数 f'(x)=a
=af(x)
复函数的导数 f'(θ)=-sinθ+icosθ=
sinθ+icosθ=i(cosθ+isinθ)=if(θ)
根据上面两个求导的推导 (有关指数函数和三角函数的求导可以参考高等数学整理 中的简单函数求导)，如果 f (θ)=
，则 a=i，则有
cosθ+isinθ=
这就是欧拉公式。
- 性质：
令 θ=π，则由欧拉公式有
-1=
则有
+1=0
这个就是欧拉恒等式。
- 复指数函数
现在我们对复指数函数的定义存在疑问。
Z∈C，令 g (Z)=
，g (Z) 函数需要满足两个条件:
- g(0)=1
- g'(Z)=g(Z)
由此，需要证明 g (iθ)=cosθ+isinθ
令 F (θ)=g(-iθ)
(cosθ+isinθ)，我们知道一个复数乘以它的共轭是一个实数，所以我们只需要证明 F (θ) 是一个实数就可以了。
F'(θ)=-i
(cosθ+isinθ)+
(-sinθ+icosθ)=0
这里需要注意的是
是一个复合函数，所以 (
)'=-i
。
由于实数的导数为 0，所以 F (θ) 是一个实数，得证。
- 复数的指数形式
由欧拉公式，我们来看一下指数形式的复数的乘法和除法。
=
，
=
=
=
=
由此，我们知道了复数的三种表示方法
- Z=a+bi
- Z=ρ(cosθ+isinθ)
- Z=ρ
- 棣莫弗定理
令 Z=
=cosθ+isinθ，则
=
=cosnθ+isinnθ
=cosnθ+isinnθ n∈N (整数集)
这个就是棣莫弗定理，它构建了 n 倍角和 1 倍角之间的关联。
当 n=2 的时候
=
+2icosθsinθ-
=(
-
)+(2cosθsinθ)i
这个是我们根据平方和公式推出来的结果，又根据棣莫弗公式有
=cos2θ+isin2θ
故可以得出我们的 2 倍角公式
- cos2θ=
-
=2
-1
- sin2θ=2cosθsinθ
当 n=3 的时候
=
+3
isinθ+3cosθ
+
=
+3
sinθ
i-3cosθ
-i
=(
-3cosθ
)+(3
sinθ-
)i
这个是我们根据立方和公式推出来的结果，又根据棣莫弗公式有
=cos3θ+isin3θ
故可以得出我们的 3 倍角公式
- cos3θ=
-3cosθ
=4
-3cosθ
- sin3θ=3
sinθ-
根据棣莫弗公式可以推出任意的多倍角公式，可以算 n=4、5、6......
这里我们会发现当 n=2 的时候，cos2θ=2
-1，它是一个关于 cosθ 的二次多项式，记作
(cosθ)；当 n=3 的时候，cos3θ= 4
-3cosθ，它是一个关于 cosθ 的三次多项式，记作
(cosθ)。
如果 n 取任意整数，cosnθ=
(cosθ)，它是一个关于 cosθ 的 n 次多项式，我们称该多项式为 (第一类) 切比雪夫多项式。
对于 sinnθ 来说，它满足这样的规律，
=
(cosθ)，它是一个关于 cosθ 的 n-1 次多项式，我们称该多项式为 (第二类) 切比雪夫多项式。
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