大学生数学竞赛非数专题三（5）

用户9628320

发布于 2022-11-23 08:58:03

4050

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界灰灰的数学与机械世界

专题三一元积分学（5）

3.5 变限积分的应用

知识点：变限积分的几个公式

3.14 （南京大学1995年竞赛题） 求

$\displaystyle\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt{x}\int_{x}^{x+1}\frac{dt}{\sqrt{t+\sin t+x}}$

解：根据积分的放缩，有

$\displaystyle\int_{x}^{x+1}\dfrac{dt}{\sqrt{t+\sin t+x}}\leq \int_{x}^{x+1}\dfrac{dt}{\sqrt{x-1+x}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}$

同理

$\displaystyle\int_{x}^{x+1}\frac{dt}{\sqrt{t+\sin t+x}}\geq \int_{x}^{x+1}\frac{dt}{\sqrt{x+1+1+x}}=\frac{1}{\sqrt{2x+2}}$

因此有

$\displaystyle \underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt{x}\frac{1}{\sqrt{2x-1}}=2$

，

$\displaystyle\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt{x}\frac{1}{\sqrt{2x+2}}=2$

，所以原式

$=2$

解题技巧：综合利用放缩法（利用分母以及三角函数的有界性），以及积分的计算。

3.15 （江苏省1998年竞赛题） 已知

$g(x)$

是以

$T$

为周期的连续函数，且

$g(0)=1$

，

$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{2x}|x-t|g(t)dt$

，求

$f^{'}(T)$

解：先对函数进行区间拆分，有

$\begin{align*}f(x)&=\int_{0}^{x}(x-t)g(t)dt+\int_{x}^{2x}(t-x)g(t)dt\\&=x\int_{0}^{x}g(t)dt-\int_{0}^{x}tg(t)dt+\int_{x}^{2x}tg(t)dt-x\int_{x}^{2x}g(t)dt\end{align*}$

再求导得

$\begin{align*}\displaystyle f^{'}(x)&=\int_{0}^{x}g(t)dt+xg(x)-xg(x)+4xg(2x)-xg(x)-\int_{x}^{2x}g(t)dt-2xg(2x)+xg(x)\\&=\int_{0}^{x}g(t)dt-\int_{x}^{2x}g(t)dt+2xg(2x)\end{align*}$

令

$x=T$

，根据周期以及初始值，带入得

$\displaystyle f^{'}(T)=\int_{0}^{T}g(t)dt-\int_{T}^{2T}g(t)dt+2Tg(2T)=2T$

解题技巧：带绝对值的定积分区间拆分，含参积分求导公式，以及定积分的周期性。

3.16 （浙江省2002年竞赛题）设

$f(x)$

连续，且当

$x>-1$

时，有

$\displaystyle f(x)\left(\int_{0}^{x}f(t)dt+1\right)=\frac{xe^x}{2(1+x)^2}$

，求

$f(x)$

解：令

$\displaystyle y(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt+1$

，显然

$y^{'}(x)=f(x)$

，带入原等式，

$\displaystyle y^{'}(x)y(x)=\frac{xe^x}{2(1+x)^2}$

两边积分一下，左边有

$\displaystyle \int y^{'}(x)y(x)dx=\int y(x)dy(x)=y^{2}(x)$

右边得

$\begin{align*}\int\frac{xe^x}{2(1+x)^2}dx&=-\int xe^x\frac{dx}{1+x}\\&=-\frac{xe^x}{1+x}+\int\frac{1}{1+x}e^x(1+x)dx\\&=\frac{e^x}{1+x}+C\end{align*}$

根据初始值，得

$C=0$

，所以

$\displaystyle y(x)=f(x)\sqrt{\frac{e^x}{1+x}}$

解题技巧：利用不定积分的性质，构造微分方程，其次分部积分法。

作者：小熊

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-12-17，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度