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考研（大学）数学导数与微分（6）

用户9628320

发布于 2022-11-23 08:25:40

2860

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导数与微分（6）

基础

设

f (x)

$f\left( x \right)$

在

[1, 2]

$\left[ 1,2 \right]$

上连续，在

(1, 2)

$\left( 1,2 \right)$

内可导，证明：存在

ξ \in (1, 2)

$\xi \in \left( 1,2 \right)$

，使得

$\xi f^{'}\left( \xi \right) -f\left( \xi \right) =f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right)$

解：由题目得

$xf^{'}\left( x \right) -f\left( x \right) =f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right)$

，得

$\dfrac{xf^{'}\left( x \right) -f\left( x \right)}{x^2}-\dfrac{f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right)}{x^2}=0$

；还原得

$\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x}+\dfrac{f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right)}{x} \right] ^{'}=0$

，令

$\varphi \left( x \right) =\dfrac{f\left( x \right)}{x}+\dfrac{f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right)}{x}$

，则可以

$\varphi \left( 1 \right) =\dfrac{f\left( 1 \right)}{1}+\dfrac{f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right)}{1}=f\left( 2 \right) -f\left( 1 \right)$

，

$\varphi \left( 2 \right) =\dfrac{f\left( 2 \right)}{2}+\dfrac{f\left( 2 \right) -2\left( 1 \right)}{2}=f\left( 2 \right) -f\left( 1 \right)$

；即可以得

$\varphi \left( 2 \right) =\varphi \left( 1 \right)$

；由罗尔定理得存在一点内，使得

$\varphi^{'}\left( \xi \right) =0$

，即

$\dfrac{\xi f^{'}\left( \xi \right) -f\left( \xi \right)}{\xi ^2}+\dfrac{f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right)}{\xi ^2}=0$

，即

$\xi f^{'}\left( \xi \right) -f\left( \xi \right) =f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right)$

。

解题思路：首先看到

$\xi f^{'}\left( \xi \right) -f\left( \xi \right)$

这种式子，一般看成函数集成的分式除法公式变形，先进行两边除

$x^2$

，然后经过还原得到原函数，后面就是罗尔定理的应用，注意函数的两个特殊点，带入进去既可以得出结果。

设

$f\left( x \right)$

在

$\left[ 0,1 \right]$

上连续，在

$\left( 0,1 \right)$

内可导，证明：存在

$\xi ,\eta \in \left( 0,1 \right)$

内，使得

$\dfrac{4}{\pi}f^{'}\left( \xi \right) =\left( 1+\eta ^2 \right) f^{'}\left( \eta \right)$

解：

$g\left( x \right) =\arctan x$

，

$g^{'}\left( x \right) =\dfrac{1}{1+x^2}\ne 0$

，由柯西中值定理得，存在一点

$\eta \in \left( 0,1 \right)$

，

$\dfrac{f\left( 1 \right) -f\left( 0 \right)}{g\left( 1 \right) -g\left( 0 \right)}=\dfrac{f^{'}\left( \eta \right)}{g^{'}\left( \eta \right)}$

，

$\dfrac{f\left( 1 \right) -f\left( 0 \right)}{g\left( 1 \right) -g\left( 0 \right)}=\dfrac{4}{\pi}\cdot \left( f\left( 1 \right) -f\left( 0 \right) \right)$

，对于

$f\left( 1 \right) -f\left( 0 \right)$

由拉格朗日中值定理，存在一点

$\xi \in \left( 0,1 \right)$

，使得

$f\left( 1 \right) -f\left( 0 \right) =f^{'}\left( \xi \right)$

，综上所述可得}

$\dfrac{4}{\pi}f^{'}\left( \xi \right) =\left( 1+\eta ^2 \right) f^{'}\left( \eta \right)$

解题思路：首先对于这种式子，一般将式子看成两部分，右边证明的式子由于含同一个参数，所以看成柯西中值定理的条件，左边的看成一个变形的式子，发现只含一个参数，想到的是罗尔定理，进行化简之后进行直接化简得，由两个进行综合，则可以得出结果。

设

$b > a > 0$

，证明：

$\dfrac{b-a}{b} < \ln \dfrac{b}{a} < \dfrac{b-a}{a}$

解：由要证明的式子进行化简（

$b > a$

，

$b-a > 0$

），

$\dfrac{1}{b}<\dfrac{\ln b-\ln a}{b-a}<\dfrac{1}{a}$

，构造

$g\left( x \right) =\ln x$

，知道

$g^{'}\left( x \right) =\dfrac{1}{x}$

，由拉格朗日中值定理，得存在一点

$\xi \in \left( a,b \right)$

，使得

$g^{'}\left( \xi \right) =\dfrac{\ln b-\ln a}{b-a}=\frac{1}{\xi}$

，

$a < \xi < b$

，所以

$\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{\xi} < \dfrac{1}{a}$

，证明完毕。

解题思路：首先根据不等式进行变形，将两个区间的端点的加减变成分母上去，后面对于除法的公式，进行拉格朗日中值定理的处理，后面得到 $\xi$ 的取值范围，根据取值的变形就可以得到不等式的范围，即证明完毕。

作者：小熊

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原始发表：2021-12-04，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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