关于单调有界方法求解数列极限的综合题
1 设
0< x_{1}<3，
\textstyle x_{n+1}=\sqrt{x_{n}(3-x_{n})}(n=1,2,3\dotsb)，证明
\{x_{n}\}的极限存在，且求出此极限.
解：首先观察递推式，注意根式，想到逆用不等式， 显然
0< x_{n} <3，而
\textstyle x_{n+1}=\sqrt{x_{n}(3-x_{n})}\leq\dfrac{1}{2}(x_{n}+3-x_{n})=\dfrac{3}{2}，即有数列有上界；由前面，有
0< x_{n}<\dfrac{3}{2}下面证明其单调性，有
\textstyle \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=\dfrac{\sqrt{x_{n}(3-x_{n})}}{x_{n}}=\sqrt{\dfrac{3-x_{n}}{x_{n}}}>1，则有数列
\{x_{n}\}是单调递增的；综上，极限存在。令
\lim\limits_{x\to +\infty}x_{n}=A，则
A=\sqrt{A(3-A)}，解得
A=\dfrac{3}{2}.
2 设数列
\{x_{n}\}满足
x_{1}>0，且
\textstyle e^{x_{n+1}}-x_{n}=1(n=1,2,\dotsb)（1）证明
\lim\limits_{n\to +\infty}x_{n}存在，且求出其值；（2）求
\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)^{\dfrac{1}{x_{n}}}解：（1）由题意有
\textstyle e^{x_{n+1}}=1-x_{n}>0，所以
\textstyle x_{n}<1，即
\textstyle 0< x_{n}<1，而当
\textstyle 0< x <1时，有
\textstyle e^{x}-1>x，所以
\textstyle e^{x_{n+1}}-1=x_{n}> x_{n+1}，即数列
\textstyle \{x_{n}\}单调递减有下界，所以极限存在；设
\textstyle \lim\limits_{n\to +\infty}x_{n}=A，
e^{A}-A=1，解得
A=0，所以
\textstyle\lim\limits_{n\to +\infty}x_{n}=0（2）
\begin{align*}\displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)^{\dfrac{1}{x_{n}}} & =\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{x_{n+1}+x_{n}-x_{n}}{x_{n}}\right)^{\dfrac{1}{x_{n}}}=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{x_{n+1}+-x_{n}}{x_{n}}\right)^{\dfrac{1}{x_{n}}}\\ &=\exp(\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{x_{n+1}-x_{n}}{x_{n}^{2}})=\exp(\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{x_{n+1}-e^{x_{n}+1}}{(e^{x_{n+1}-1})^{2}})\\ &=\exp(\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1-e^{x_{n+1}}}{2x_{n+1}})=-\dfrac{1}{2}
\end{align*}暑假到来，考研更新偏向综合，小编希望与大家一起备战考研，一同努力，有问题留言，谢谢支持！
作者：小熊
写作日期：7.1
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