接力题典 1800 常微分方程
第四节 高阶微分方程
4.1 高阶齐次线性微分方程
4.1.1 高阶齐次微分方程的基本概念
1.n阶齐次线性微分方程的定义
例如
y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}(x)y^{'}+a_{n}(x)y=0 （1）
称为n阶齐次线性微分方程
2.n阶非齐次线性微分方程的定义
例如
y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}(x)y^{'}+a_{n}(x)y=f(x)（2）
称为n阶非齐次线性微分方程，且当
1
f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)，则原方程可以拆分成
y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}(x)y^{'}+a_{n}(x)y=f_{1}(x)，（2.1）
y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}(x)y^{'}+a_{n}(x)y=f_{2}(x)，（2.2）
4.1.2 高阶微分线性微分方程解的结构
1.线性关系：假设
\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\dotsb,\varphi_{n}(x)是其的一组解。则
k_{1}\varphi_{1}(x)+k_{2}\varphi_{2}(x)+\dotsb+k_{n}\varphi_{n}(x)也是方程（1）的一组解
2.假设方程
\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x)分别是（1），(2)的两个解，则
\varphi_{1}(x)+\varphi_{2}(x)也是(2)的一个解
3.如果有
\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x)为（2）的解，则
\varphi_{1}(x)-\varphi_{2}(x)为（1）的解
4.如果有
\varphi_{1}(x)、
\varphi_{2}(x)分别是（2.1）、（2.2）的两个解，则
\varphi_{1}(x)+\varphi_{2}(x)也是（2）的解
5.假设
\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\dotsb,\varphi_{n}(x)是（2）的一组解，则
k_{1}\varphi_{1}(x)+k_{2}\varphi_{2}(x)+\dotsb+k_{n}\varphi_{n}(x)是（2）的一个解的充分必要条件是
k_{1}+k_{2}+\dotsb+k_{n}=16.假设
\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\dotsb,\varphi_{n}(x)是（2）的一组解，则
k_{1}\varphi_{1}(x)+k_{2}\varphi_{2}(x)+\dotsb+k_{n}\varphi_{n}(x)是（1）的一个解的充分必要条件是
k_{1}+k_{2}+\dotsb+k_{n}=07.设
\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\dotsb,\varphi_{n}(x)是（2）的n个线性无关的解，则
k_{1}\varphi_{1}(x)+k_{2}\varphi_{2}(x)+\dotsb+k_{n}\varphi_{n}(x)也是（1）的通解
8.若
\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\dotsb,\varphi_{n}(x)是（1）的n组线性无关解，且
\varphi_{0}(x)是（2）的一个题解，则
k_{1}\varphi_{1}(x)+k_{2}\varphi_{2}(x)+\dotsb+k_{n}\varphi_{n}(x)+\varphi_{0}(x)是（2）的一个解
4.1.3 高阶常系数微分方程
1.二阶常系数齐次微分方程的解法
方程形式：
y^{''}+py^{'}+qy=0(其中
p,q均是常数)
（1）求解方程
y^{''}+py^{'}+qy=0的特征方程
\lambda^2+p\lambda+q=0;
（2）判断方程的判别式，根据形式有三种；
1.当
\Delta=p^2-4q>0时，即两特征根
\lambda_{1}\neq\lambda_{2},则原方程得通解为
y=C_{1}e^{\lambda_{1}}+C_{2}e^{\lambda_{2}};
2.当
\Delta=p^2-4q=0时，即特征方程带有两个相等的实根
\lambda_{1}=\lambda_{2}，则原方程通解为
y=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda_{1]x}};
3.当
\Delta=p^2-4q<0时，则特征方程有两个共轭虚根，
\lambda_{1,2}=\alpha\pm\cos \beta,则原方程的通解为
y=e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x+C_{2}\sin \beta x).
例1 求方程
y^{''}-y^{}-6y=0的通解
解：由原方程可知，其特征方程为
\lambda^2-\lambda-6=0,解得特征值分别为
\lambda_{1}=-3,\lambda_{2}=2,所以原方程的通解为
y=C_{1}e^{-3x}+C_{2}e^{2x}.
例2 求方程
y^{''}-4y^{'}+4y=0的通解
解：同理根据原方程可知，特征方程为
\lambda^2-4\lambda+4=0,特征值是两个重根，即
\lambda_{1}=\lambda_{2}=2,所以原方程的通解为
y=(C_{1}+C_{2}x)e^{2x}.
例3 求
y^{''}-2y^{'}+2y=0的通解
解：根据方程知特征方程为
\lambda^2-2\lambda+2=0,解得特征值为
\lambda_{1,2}=1\pm i,则原方程的通解为
y=e^{x}(C_{1}\sin x+C_{2}\cos x)2.二阶常系数非齐次线性微分方程得特解
方程形式：
y^{''}+py^{'}+q=f(x)（其中
q,p均是常数），按照
f(x)的不同可以分一下几种情况
（1）
f(x)=P_{n}(x)e^{kx}case 1:当
k是其非特征值，令
y_{0}=(a_{1}+a_{2x}+\dotsb+a_{n}x)e^{kx}=Q(x)e^{kx}当
y^{''}-y^{'}-y=(x+1)e^{x},令
y_{n}=(ax+b)e^{x};\
case2：假如
k与其中一个特征值相同，
y_{0}=x(a_{0}+a_{1}x+\dotsb+a_{n}x^n)x=xQ(x)e^{kx},对于
y^{''}-y^{'}-2y=0，
可以设
y_{0}=x(ax+b)e^{2x}=(ax^2+bx)e^{2x};
case3：如果
k与两个特征值都相同，则设
y_{0}=x^2(a_{0+}a_{1}x+\dotsb+a_{n}x^n)=x^2Q_{x}e^{kx},例如：
y^{''}-4y^{'}+4y=(2x-1)e^{2x},
则可以设
y_{0}=x^2(ax+b)e^{2x}=(ax^3+bx^2)e^{2x}(2)
f(x)=e^{\alpha}(P_{l}\cos \beta x+P_{s}\sin \beta x)令
n=\max\{l,s\}case1：如果
\alpha+\beta i不是特征值，则令
y_{0}(x)=e^{\alpha x}[Q_{n}^{(1)}(x)\cos \beta x+Q_{n}^{(2)}(x)\sin \beta x];
case2 ：若
\alpha+\beta i是其特征值，则令
_{0}(x)=xe^{\alpha x}[Q_{n}^{(1)}(x)\cos \beta x+Q_{n}^{(2)}(x)\sin \beta x];
例 设
y^{''}-2y^{'}+2y=xe^{x}\cos x,求方程的特解形式
解：根据特征方程知
\lambda^2-2\lambda+2=0,解得
\lambda_{1,2}=1\pm i,其中
\alpha=1,\beta=1,且
\alpha+\beta i=1+i是其特征值，
所以特解为
y_{0}=xe^{x}[(ax+b)\sin x+(cx+d)\cos x]
4.2 欧拉方程（主要是数一）
4.2.1 欧拉方程的定义
方程形式：
x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\dotsb+a_{1}xy^{'}=f(x)，其中
a_{n-1},\dotsb,a_{1}均是常数
4.2.2 方程得解法
利用换元法，令
x=e^{t},则有
xy^{'}=Dy=\frac{dy}{dt},xy^{''}=D(D-1)y=\frac{d^{2}y}{dt^2}-\frac{dy}{dt},\dotsb,x^{n}y^{(n)}=D(D-1)\dotsb(D-n+1)y,
带入原方程可以化简为高阶常系数微分方程。
基础篇
45 求微分方程
y^{''}+4y^{'}+4y=e^{ax}的通解
解：可知特征方程为
\lambda^2+4\lambda+4=0,解得特征值分别为
\lambda_{1}=\lambda_{2}=-2,所以对应的齐次线性微分方程的通解为：
y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x]}(
C_{1},C_{2}均是常数），由于在方程的右边含有参数，故对
a进行讨论
（1）当
a\neq-2时，由于
a不是特征值，所以直接设原方程的特解为
y_{0}=Ae^{ax},带入原方程求得
A=\frac{1}{(a+2)^2},
所以原方程的通解为
y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x}+\frac{1}{(a+2)^2}e^{ax}(
C_{1},C_{2}均是常数）；
（2）当
a=-2时，因为
a=-2是其特征方程的二重特征值，所以设特解
y_{0}(x)=Ax^2e^{-2x},带入原方程，得
A=\frac{1}{2},
所以原方程的通解为
y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x}+\frac{1}{2}x^2e^{-2x}(
C_{1},C_{2}均是常数)
46 求微分方程
y^{''}+y=x^2+3+\cos x的通解
解：首先特征方程可知
\lambda^2+1=0,解得特征值分别为
\lambda_{1}=-i,\lambda_{2}=i,所以齐次方程得通解为
y=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x,
对原方程进行拆分，
y^{''}+y=x^2+3,可知特解为
y_{1}=x^2+1,而对于
y^{''}+y=\cos x,设特解为
y_{2}=Ax\sin x,带入解得
A=\frac{1}{2},
所以特解为
y_{0}=x^2+1+\frac{1}{2}x\sin x,故原方程的通解为
y=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x+x^2+1+\frac{1}{2}x\sin x这些题目都是考研常见的，主要还是题型的识别，然后记住类型，综合利用齐次方程与非齐次方程的关系，注意特解的设法，
可能用到拆分，其次就是特征方程的求解很重要，要进行判断，注意不要弄错了，后面都是按类型进行求解。有问题留言，这几天毕业设计忙，估计停更新几天。感谢大家的关注！
作者：小熊
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写作日期：5.25
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