每日一练4.19

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\text{接力题典\ }1800
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\text{基础篇\ 40\ 设}f\left( x \right) \text{在}x=a\text{处二阶可导，证明：}\underset{h\rightarrow 0}{\lim}\frac{f\left( a+h \right) +f\left( a-h \right) -f\left( a \right)}{h^2}=f^”\left( a \right) .
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\text{解：原式}=\underset{h\rightarrow 0}{\lim}\frac{f^’\left( a+h \right) -f^’\left( a-h \right)}{2h}=\frac{1}{2}\underset{h\rightarrow 0}{\lim}\frac{f^’\left( a+h \right) -f\left( h \right)}{h}+\frac{1}{2}\underset{h\rightarrow 0}{\lim}\frac{f^’\left( h \right) -f^’\left( a-h \right)}{h}
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=f^”\left( a \right) 
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\text{解题思路：首先根据二阶可导得出一阶函数的连续性，根据函数在}a\text{处的值，直接洛必达法则，然后}
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\text{构造二阶函数在}a\text{处的导数值，即用定义即可。}
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42\ \text{设}\int_0^{x^2}{te^tdt+}\int_0^{\ln y}{e^t\sqrt{1+t^2}dt=e^{x^2}}\text{，求}\frac{dy}{dx}.
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\text{解：两边对}x\text{求导，}x^2e^{x^2}\cdot 2x+e^{\ln y}\sqrt{1+\ln ^2y}\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=2x\cdot e^{x^2},
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\text{整理得：}\frac{dy}{dx}=\frac{2x\left( 1-x^2 \right) e^{x^2}}{\sqrt{1+\ln ^2y}}.
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\text{解题思路：首先直接对两边求导，然后看成复合求导，对与}y\text{，直接看成}x\text{的复合}
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\text{导数，后面进行整理就可以得到结果。}
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\text{提高篇\ 60\ }f\left( x \right) \text{在}\left[ -1,1 \right] \text{上三阶连续可导，且}f\left( -1 \right) =0\text{，}f\left( 1 \right) =1\text{，}f^‘\left( 0 \right) =0.
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\text{证明：存在}\xi \in \left( -1,1 \right) \text{，使得}f^{’’’}\left( \xi \right) =3.
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\text{解：由泰勒公式得：}f\left( -1 \right) =f\left( 0 \right) +f^‘\left( 0 \right) \left( -1-0 \right) +\frac{f^{’’}\left( 0 \right)}{2!}\left( 0 \right) \left( -1-0 \right) ^2+\frac{f^{’’’}\left( \xi _1 \right)}{3\text{！}}\left( -1-0 \right) ^3,\xi _1\in \left( -1,0 \right) ;
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\text{同理}f\left( 1 \right) =f\left( 0 \right) +f^‘\left( 0 \right) \left( 1-0 \right) +\frac{f^{’’}\left( 0 \right)}{2!}\left( 0 \right) \left( 1-0 \right) ^2+\frac{f^{’’’}\left( \xi _2 \right)}{3\text{！}}\left( 1-0 \right) ^3,\xi _2\in \left( 0,1 \right) .\text{两式相减，}
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\text{带入}f^’\left( 0 \right) =0,\text{得}f^{’’’}\left( \xi _1 \right) +f^{’’’}\left( \xi _2 \right) =6,\text{由介质定理，}f\left( x \right) \text{在}\left[ -1,1 \right] \text{上三阶连续可导，所以}f^{’’’}\left( x \right) \text{在}\left[ \xi _1,\xi _2 \right] \text{连续，}
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\text{有介质定理，}f^{’’’}\left( x \right) \text{在}\left[ -1,1 \right] \text{上取得最大值}M\text{和最小值}m,\text{故}2m\leq f^{’’’}\left( \xi _1 \right) +f^{’’’}\left( \xi _2 \right) \leq 2M\text{，}m\leq 3\leq M\text{，}
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\text{即存在}\xi \in \left[ -1,1 \right] \text{上，使得}f^{’’’}\left( \xi \right) =3\text{。}
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\text{解题思路；首先题目出现函数端点的值，还有函数在区间中点的一阶导数值，故想到用泰勒公式}
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\text{即想到在0除展开为，展开的次数为三阶，然后带入已知的值，进行两式的加减（一般是减法），然后}
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\text{后面想到的的是连续导函数的性质，即介质定理，介质定理首先用到的是闭区间，将函数的取值范围得出，}
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\text{即函数可取到最大和最小值，题目得证。}
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61\ \text{设}f\left( x \right) \text{在}\left[ a,b \right] \text{上连续，在}\left( a,b \right) \text{上二阶连续可导，证明：存在}\xi \in \left( a,b \right) \text{，使得}f\left( b \right) -\frac{1}{2}f\left( \frac{a+b}{2} \right) +f\left( a \right) =\frac{\left( b-a \right) ^2}{4}f^{’’}\left( \xi \right) .
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\text{解：用泰勒公式，在}x=\frac{a+b}{2}\text{处展开，}f\left( a \right) =f\left( \frac{a+b}{2} \right) +f^’\left( \frac{a+b}{2} \right) \left( a-\frac{a+b}{2} \right) +\frac{f^”\left( \xi _1 \right)}{2\text{！}}\left( a-\frac{a+b}{2} \right) ^2,\xi _1\in \left( a,\frac{a+b}{2} \right) ;
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\text{同理}f\left( b \right) =f\left( \frac{a+b}{2} \right) +f^’\left( \frac{a+b}{2} \right) \left( b-\frac{a+b}{2} \right) +\frac{f^”\left( \xi _2 \right)}{2\text{！}}\left( b-\frac{a+b}{2} \right) ^2,\xi _2\in \left( a,\frac{a+b}{2} \right) .;\text{两式相加得}
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f\left( a \right) +f\left( b \right) -2f\left( \frac{a+b}{2} \right) =\frac{\left( b-a \right) ^2}{2}\left[ f^”\left( \xi _1 \right) +f^”\left( \xi _2 \right) \right] \text{，}f^”\left( x \right) \text{在}\left( a,b \right) \text{上连续，所以，}f^”\left( x \right) \text{在}\left( \xi _1,\xi _2 \right) \text{上连续}
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\text{即}f^”\left( x \right) \text{能构取得最小值}m\text{和最大值}M,\text{即}m\leq \frac{f^”\left( \xi _1 \right) +f^”\left( \xi _2 \right)}{2}\leq M\text{，由介质定理可得存在}\xi \in \left( \xi _1,\xi _2 \right) \in \left[ a,b \right] \text{使得}
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\frac{f^”\left( \xi _1 \right) +f^”\left( \xi _2 \right)}{2}=f^”\left( \xi \right) ,\text{故}f\left( b \right) -\frac{1}{2}f\left( \frac{a+b}{2} \right) +f\left( a \right) =\frac{\left( b-a \right) ^2}{4}f^{’’}\left( \xi \right) .
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\text{解题思路：首先对题目出出现端点以及中点的值的证明问题。但是没有出现函数具体的值，故想到用泰勒公式进行化简}
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\text{，中点一般是展开点，故直接用函数注解展开，进行化简的同时不忘进行加减，然后直接对，后面是上一个题相似的套路，}
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\text{先进行连续函数的极值问题，在闭区间上一定可以取得最大最小值，后面进行函数的介质定理进行求解。即可得出结论！}
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