算法基础（四）| 前缀和算法及模板详解
⭐写在前面的话：本系列文章旨在复习算法刷题中常用的基础算法与数据结构，配以详细的图例解释，总结相应的代码模板，同时结合例题以达到最佳的学习效果。本专栏面向算法零基础但有一定的C++基础的学习者。若C++基础不牢固，可参考：10min快速回顾C++语法，进行语法复习。 🔥本文已收录于算法基础系列专栏： 算法基础教程 免费订阅，持续更新。
文章目录
前缀和
一维前缀和
原数组a[i]: a[1], a[2], a[3] … a[n];
前缀和：S[i] = a[1] + a[2] + a[3] …+a[n]
模板1：如何求S_i[n] ?
模板2：求[l, r][l, r] = S_r - S_{l-1}
例题：前缀和
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n, 1≤n,m≤100000 −1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4输出样例：
3
6
10代码模板
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N],s[N];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
int m , n;
scanf("%d%d", &n ,&m);
for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d",&a[i]);
for(int i = 1; i <= n; i++)s[i] = s[i - 1] + a[i];
while( m-- )
{
int l ,r;
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d\n", s[r] - s[l-1]);
}
return 0;
}二维前缀和
S[i][j] : 两个方向的前缀和，左上角这一部分所有元素的和。
a[i][j] : 元素。
首先，写出计算前缀和的公式：
s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]
计算部分前缀和的公式如下所示：
s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]
注意，这里把每个格子看成元素就好。
例题：子矩阵的和
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。
输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000 1≤q≤200000 1≤x1≤x2≤n 1≤y1≤y2≤m −1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4输出样例：
17
27
21代码模板
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N],s[N][N];
int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
scanf("%d", &a[i][j]);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
//求前缀和
s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
while (q -- )
{
int x1, y1, x2, y2;
scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
//算部分前缀和
printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
}
return 0;
}腾讯云开发者
