熵值法的原理+实现

1.定义

熵：在物理学上是度量热力系统学系统中的无序程度，在信息论中是度量系统的不确定性。

下面我们用两个例子来解释熵这个概念

左边克劳修斯的罐子里有9颗绿色的豆子，右边波尔兹曼的罐子里有5颗红色豆子和4颗绿色豆子。左边瓶子里的豆子很完整，都是绿色的豆子，所以它的熵比较小，信息熵越小，数据成纯度越高，也就是说左边罐子里只有同一种颜色，它豆子的纯度比较高。右边的瓶子豆子很凌乱，所以熵的伤比较大，也就是说右边的罐子里有红色和绿色两种不一样的豆子，它包含的豆子种类多，信息量大。

同样我们对比小唠说的“啦啦啦啦啦”和小叨说的“我是卖报的小行家这”两句话。“啦啦啦啦啦”这几个字它的纯度高，带有的信息量少，所以他的熵值小。“我是卖报的小行家”这几个字，他的纯度低，信息量大，所以你的熵值大。我们可以通过香浓提供的公式来算出它所对应的熵值。

从上面两个案例，我们可以总结出以下两个性质：

信息熵越大，信息量越多，纯度越低。（不确定性高，离散程度高）

信息熵越小，信息量越小，纯度越高。

2.适用范围

可以用熵值来判断某个指标的离散程度，其信息熵值越小，指标的离散程度越大， 该指标对综合评价的影响（即权重）就越大，如果某项指标的值全部相等，则该指标在综合评价中不起作用。因此，可利用信息熵这个工具，计算出各个指标的权重，为多指标综合评价提供依据。

通常我们构建一个评价指标需要分为一级指标，二级指标，三级指标等等。例如上表我们评价一级指标时采用了AHP层次分析法,二级指标的权重确定使用了熵值法。因为我们在请专家根据自己的经验对指标进行评价时，我们能请到的专家数量有有限，所以只让专家对一级指标进行主观评定。二级指标，三级指标则通过数据计算的方式确定权重。最终的权重系数为一级指标乘以二级指标乘以三级指标计算得出。同时采用以上的方法AHP和商商权法的组合,是一种主观加客观的方式,在一定程度上避免了层次分析法主观性较强的缺点，使得评价结果更加准准确。

可以用熵值来判断某个指标的离散程度，其信息熵值越小，指标的离散程度越大， 该指标对综合评价的影响（即权重）就越大，如果某项指标的值全部相等，则该指标在综合评价中不起作用。因此，可利用信息熵这个工具，计算出各个指标的权重，为多指标综合评价提供依据。

3.实现

这是几位同学期末的一个成绩单，首先我们来看一下上面的成绩。我们想通过一种方法来确定学号1~5号中谁是最优秀的，我们先计算出了平均分，发现一号和五号的平均分都是86分。我们来看各科的成绩其中数据库原理大家都是80分，c语言程序设计这一门课成绩差异非常大，最低分有40分，最高分有90分。体育一门课成绩成绩差距也不是很大，都是八九十。

这时我们就要提出一种评价指标，来评价这几位同学的成绩。以上的成绩我们考虑给C语言程序设计加一些权重。根据熵值法的原理来看。数据库原理，这一门课的离散程度为0，他在权重一定是零。体育和c语言程序设计比较来说c语言程序设计的离散程度较大从素质上来看有40的也有90的，差距比较大。体育这一门课最低有88最高也只有93，差距比较小。计算结果的权重一定是c语言程序设计的权重比体育的权重大。因为现实中的思维来想，可能是c语言程序设计考试比较难，所以他的分数差距就比较大，而体育和数据库原理很简单，它的分数差距就比较小。这样子来说，数据库原理和体育这两门课，它的可比性就比较小，因为大家的分数都差不多，C语言程序设计这一门课就有可比性。

下面使用SPSSAU计算以上指标的熵权

得出以下计算结果：

以上的分析结果来看C语言程序设计权重系数为99.84，数据库原理的权重为0，体育的权重为0.52。然后我们可以给每一个科目不同的权重系数和各科的成绩相乘以后，得出每一位学生的综合成绩，评价这几位学生。