1. 概述
在分类算法中，损失函数通常可以表示成损失项和正则项的和，即有如下的形式：
J\left ( \mathbf{w} \right )=\sum_{i}L\left ( m_i\left (\mathbf{ w} \right ) \right )+\lambda R\left ( \mathbf{w} \right )其中，L\left ( m_i\left (\mathbf{ w} \right ) \right ) 为损失项，R\left ( \mathbf{w} \right ) 为正则项。m_i 的具体形式如下：
m_i=y^{\left ( i \right )}f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )y^{\left ( i \right )}\in \left \{ -1,\;1 \right \}f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )=\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{(i)}对于损失项，主要的形式有：
- 0-1损失
- Log损失
- Hinge损失
- 指数损失
- 感知损失
2. 0-1损失函数
在分类问题中，可以使用函数的正负号来进行模式判断，函数值本身的大小并不是很重要，0-1损失函数比较的是预测值f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) 与真实值y^{\left ( i \right )} 的符号是否相同，0-1损失的具体形式如下：
L_{01}\left ( m \right )=\begin{cases} 0 & \text{ if } m\geqslant 0 \\ 1 & \text{ if } m< 0 \end{cases}以上的函数等价于下述的函数：
\frac{1}{2}\left ( 1-sign\left ( m \right ) \right )0-1损失并不依赖m 值的大小，只取决于m 的正负号。0-1损失是一个非凸的函数，在求解的过程中，存在很多的不足，通常在实际的使用中将0-1损失函数作为一个标准，选择0-1损失函数的代理函数作为损失函数。
3. Log损失函数
3.1. Log损失
Log损失是0-1损失函数的一种代理函数，Log损失的具体形式如下：
log\left ( 1+exp\left ( -m \right ) \right )运用Log损失的典型分类器是Logistic回归算法。
3.2. Logistic回归算法的损失函数
对于Logistic回归算法，分类器可以表示为：
p\left ( y\mid \mathbf{x}; \mathbf{w} \right )=\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x} \right )^y\left ( 1-\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x} \right ) \right )^{\left ( 1-y \right )}其中， y\in \left \{ 0,1 \right \} 。为了求解其中的参数 \mathbf{w}，通常使用极大似然估计的方法，具体的过程如下：
1、似然函数L\left ( \mathbf{w} \right )=\prod_{i=1}^{n}\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )^{y^{\left ( i \right )}}\left ( 1-\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right )^{\left ( 1-y^{\left ( i \right )} \right )} 其中，\sigma \left ( x \right )=\frac{1}{1+exp\left ( -x \right )}
2、log似然
logL\left ( \mathbf{w} \right )=\sum_{i=1}^{n}y^{\left ( i \right )}log\left ( \sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right )+\left ( 1-y^{\left ( i \right )} \right )log\left ( 1-\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )\right )3、需要求解的是使得log似然取得最大值的 \mathbf{w}，可以转换为求最小值：
-logL\left ( \mathbf{w} \right )=-\sum_{i=1}^{n}y^{\left ( i \right )}log\left ( \sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right )+\left ( 1-y^{\left ( i \right )} \right )log\left ( 1-\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )\right )这便是交叉熵的具体形式。
3.3. 两者的等价
由于Log损失的具体形式为：
log\left ( 1+exp\left ( -m \right ) \right )其中，m=y^{\left ( i \right )}\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} ，y^{\left ( i \right )}\in \left \{ -1,1 \right \} ，Log损失函数的具体形式为：
\underset{\mathbf{w}}{min}\sum_{i=1}^{n}log\left \{ 1+exp\left ( -y^{\left ( i \right )}\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right \}Logistic回归与Log损失具有相同的形式，故两者是等价的。Log损失与0-1损失的关系可见下图。
4. Hinge损失函数
4.1. Hinge损失
Hinge损失是0-1损失函数的一种代理函数，Hinge损失的具体形式如下：
max\left ( 0,1-m \right )运用Hinge损失的典型分类器是SVM算法。
4.2. SVM的损失函数
对于软间隔支持向量机，允许在间隔的计算中出现少许的误差\vec{\xi }=\left ( \xi _1,\cdots ,\xi _n \right ) ，其优化的目标为：
\underset{\mathbf{w},\gamma ,\xi }{min}\left [ \frac{1}{2}\left \| \mathbf{w} \right \|^2+C\sum_{i=1}^{n}\xi _i \right ]约束条件为：
\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\gamma \right )y^{\left ( i \right )}\geqslant 1-\xi _i,\; \xi _i\geq 04.3. 两者的等价
对于Hinge损失：max\left ( 0,1-m \right )
优化的目标是要求：
\underset{\mathbf{w}}{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}max\left ( 0,1-f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )y^{\left ( i \right )} \right ) \right ]在上述的函数 f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) 中引入截距\gamma ，即：
f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )=\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\gamma并在上述的最优化问题中增加L_2 正则，即变成：
\underset{\mathbf{w},\gamma }{min}\; \left [ C\sum_{i=1}^{n}max\left ( 0,1-f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )y^{\left ( i \right )} \right )+\frac{1}{2}\left \| \mathbf{w} \right \|^2 \right ]至此，令下面的不等式成立：
max\left ( 0,1-f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x} \right )y \right )=\underset{\xi }{min}\xi约束条件为：
\xi \geqslant 1-f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x} \right )y;\xi \geqslant 0则Hinge最小化问题变成：
\underset{\mathbf{w},\gamma ,\xi }{min}\; \left [ C\sum_{i=1}^{n}\xi _i+\frac{1}{2}\left \| \mathbf{w} \right \|^2 \right ]约束条件为：
\xi _i\geqslant 1-\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\gamma \right )y^{\left ( i \right )};\xi _i\geqslant 0这与软间隔的SVM是一致的，说明软间隔SVM是在Hinge损失的基础上增加了L_2 正则。
5. 指数损失
5.1. 指数损失
指数损失是0-1损失函数的一种代理函数，指数损失的具体形式如下：
exp\left ( -m \right )运用指数损失的典型分类器是AdaBoost算法。
5.2. AdaBoost基本原理
AdaBoost算法是对每一个弱分类器以及每一个样本都分配了权重，对于弱分类器\varphi _j 的权重为：
\theta _j=\frac{1}{2}log\frac{1-R\left ( \varphi _j \right )}{R\left ( \varphi _j \right )}其中，R\left ( \varphi _j \right ) 表示的是误分类率。对于每一个样本的权重为：
w_i=\frac{exp\left ( -f\left ( x^{\left ( i \right )}y^{\left ( i \right )} \right ) \right )}{\sum_{n}\left [ exp\left ( -f\left ( x^{\left ( i \right )}y^{\left ( i \right )} \right ) \right ) \right ]}最终通过对所有分类器加权得到最终的输出。
5.3. 两者的等价
对于指数损失函数：
exp\left ( -m \right )可以得到需要优化的损失函数：
\underset{\mathbf{\theta }}{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}exp\left ( -f_\mathbf{\theta }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )y^{\left ( i \right )} \right ) \right ]假设\tilde{f} 表示已经学习好的函数，则有：
\underset{\mathbf{\theta },\varphi }{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}exp\left ( -\left \{ \tilde{f}_\mathbf{\theta }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )+\theta \varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right \}y^{\left ( i \right )} \right ) \right ]=\underset{\mathbf{\theta },\varphi }{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}\tilde{w_i}exp\left ( -\theta \varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right ) \right ]而：
\sum_{i=1}^{n}\tilde{w_i}exp\left ( -\theta \varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right )\\ =\left \{ exp\left ( \theta \right ) - exp\left ( -\theta \right ) \right \}\sum_{i=1}^{n}\frac{\tilde{w_i}}{2}\left ( 1-\varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right )+exp\left ( -\theta \right )\sum_{i=1}^{n}\tilde{w_i}通过最小化\varphi ，可以得到：
\hat{\varphi }=\underset{\varphi }{argmin}\sum_{i=1}^{n}\frac{\tilde{w}_i}{2}\left ( 1-\varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right )将其代入上式，进而对\theta 求最优解，得：
\hat{\theta }=\frac{1}{2}log\frac{1-\hat{R}}{\hat{R}}其中，
\hat{R}=\left \{ \sum_{i=1}^{n}\frac{\tilde{w}_i}{2}\left ( 1-\varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right ) \right \}/\left \{ \sum_{i=1}^{n}\tilde{w}_i \right \}可以发现，其与AdaBoost是等价的。
6. 感知损失
6.1. 感知损失
感知损失是Hinge损失的一个变种，感知损失的具体形式如下：
max\left ( 0,\; -m \right )运用感知损失的典型分类器是感知机算法。
6.2. 感知机算法的损失函数
感知机算法只需要对每个样本判断其是否分类正确，只记录分类错误的样本，其损失函数为：
\underset{\mathbf{w},\mathbf{b}}{min}\left [ -\sum_{i=1}^{n}y^{\left ( i \right )}\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} + \mathbf{b}\right ) \right ]5.3. 两者的等价
对于感知损失：
max\left ( 0,\; -m \right )优化的目标为：
\underset{\mathbf{w}}{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}max\left ( 0,-f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )y^{\left ( i \right )} \right ) \right ]在上述的函数f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) 中引入截距\mathbf{b} ，即：
f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )=\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b}上述的形式转变为：
\underset{\mathbf{w},\mathbf{b}}{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}max\left ( 0,-\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b} \right )y^{\left ( i \right )} \right ) \right ]对于max函数中的内容，可知：
max\left ( 0,-\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b} \right )y^{\left ( i \right )} \right )\geqslant 0对于错误的样本，有：
max\left ( 0,-\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b} \right )y^{\left ( i \right )} \right )= -\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b} \right )y^{\left ( i \right )}类似于Hinge损失，令下式成立：
max\left ( 0,-f_{\mathbf{w},\mathbf{b} }\left ( \mathbf{x} \right )y \right )=\underset{\xi }{min}\xi约束条件为：
\xi \geqslant -f_{\mathbf{w},\mathbf{b} }\left ( \mathbf{x} \right )y则感知损失变成：
\underset{\xi }{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}\xi _i\right ]即为：
\underset{\mathbf{w},\mathbf{b}}{min}\left [ -\sum_{i=1}^{n}y^{\left ( i \right )}\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} + \mathbf{b}\right ) \right ]Hinge损失对于判定边界附近的点的惩罚力度较高，而感知损失只要样本的类别判定正确即可，而不需要其离判定边界的距离，这样的变化使得其比Hinge损失简单，但是泛化能力没有Hinge损失强。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
xmin, xmax = -4, 4
xx = np.linspace(xmin, xmax, 100)
plt.plot([xmin, 0, 0, xmax], [1, 1, 0, 0], 'k-', label="Zero-one loss")
plt.plot(xx, np.where(xx < 1, 1 - xx, 0), 'g-', label="Hinge loss")
plt.plot(xx, np.log2(1 + np.exp(-xx)), 'r-', label="Log loss")
plt.plot(xx, np.exp(-xx), 'c-', label="Exponential loss")
plt.plot(xx, -np.minimum(xx, 0), 'm-', label="Perceptron loss")
plt.ylim((0, 8))
plt.legend(loc="upper right")
plt.xlabel(r"Decision function $f(x)$")
plt.ylabel("$L(y, f(x))$")
plt.show()
参考文章
[1] Advice for applying Machine Learning
[2] Schroff F , Kalenichenko D , Philbin J . FaceNet: A Unified Embedding for Face Recognition and Clustering[J]. IEEE, 2015.
