MoorePenrose伪逆

1. 简介

Moore-Penrose 伪逆常用于求解或简化非一致线性方程组的最小范数最小二乘解。其在实数域和复数域上都是唯一的，并且可以通过奇异值分解求得。

2. 定义

矩阵 A 的伪逆定义为

\begin{array}{c} A^+ = \lim_{\alpha \rightarrow 0}(A^T A + \alpha I)^{-1} A^T \end{array}

实际计算往往使用以下公式

\begin{array}{c} A^+ = V D^+ U^T \end{array}

其中，矩阵 U、D、V 分别是矩阵 A 奇异值分解后得到的矩阵。

【注】对角矩阵 D 的伪逆 D+ 是其非零元素取倒数之后转置得到的。

3. 性质

• 当矩阵 A 的列数多于行数时， x = A^+ y 是方程所有可行解中欧几里得范数 |x|_2最小的。
• 当矩阵 A 的行数多于列数时， x = A^+ y 是使得 Ax 和 y的欧几里得距离 |Ax - y|_2最小的解。