幂函数拟合报错及解决办法

问题描述

采用MATLAB、Python对数据拟合时（函数形式如y=1-c*exp(k*x^t)），程序有时能够完美运行，给出你想要的结果，然而有时候竟然报错，运行不出结果，或者给出的结果明显不对，让你时常怀疑电脑是不是中病毒了，😅，为什么交给电脑同样的任务（拟合求参数），电脑还需要根据自身心情来决定是否给你想要的结果？

昨天，硕士好友王博士同样也遇见这个问题，现分析其具体原因？于此同时，针对疲劳裂纹扩展具体的工程问题，对最小二乘法拟合（疲劳裂纹扩展速率以及应力强度因子）实验数据的基本过程进行简要介绍，具体如下：

拟合结果明显有问题：图中黑色点点为数据点，蓝色为MATLAB工具箱拟合结果

解决办法有：

修改初始点位置，限制指数 n 的范围可以大大改善该问题

添加方程参数（还未能解释为何添加的参数会改善拟合效果，甚至最后发现添加的参数对拟合函数值基本没影响）

附录：特定问题采用最小二乘法拟合的基本过程

基于线弹性断裂力学，Paris等学者将疲劳裂纹扩展速率da/dN与裂纹尖端的应力强度因子幅值ΔK联系了起来，例如著名的Walker模型形式为：

其中，m、b和Cf是需要确定的模型参数，根据实验数据确定模型参数的基本过程为：

对方程两边取对数可得：

定义如下参数：

方程左右两边误差的平方和 I 可以定义为：

其中 n 是试验数据数，根据最小二乘法定义，误差的平方和 I 取最小值时，下式成立：

即：

进而可以求解方程组得到参数u, v和w，实现实验数据的拟合。