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社区首页 >专栏 >【动态规划/背包问题】加餐一道「01 背包」变形题

【动态规划/背包问题】加餐一道「01 背包」变形题

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宫水三叶的刷题日记
发布2021-10-20 16:17:52
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发布2021-10-20 16:17:52
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文章被收录于专栏:宫水三叶的刷题日记

前言

今天是我们讲解「动态规划专题」中的「背包问题」的第二十一篇

今天将加餐/补充一道「01 背包」的题目。

另外,我在文章结尾处列举了我所整理的关于背包问题的相关题目。

背包问题我会按照编排好的顺序进行讲解(每隔几天更新一篇,确保大家消化)。

你可以先尝试做做,也欢迎你向我留言补充,你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~

题目描述

这是 LeetCode 上的「1049. 最后一块石头的重量 II」,难度为「中等」

Tag : 「动态规划」、「背包问题」、「01 背包」、「数学」

有一堆石头,用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合,从中选出任意两块石头,然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y,且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下:

  • 如果 x == y,那么两块石头都会被完全粉碎;
  • 如果 x != y,那么重量为 x 的石头将会完全粉碎,而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后,最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下,就返回 0。

示例 1:

代码语言:javascript
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输入:stones = [2,7,4,1,8,1]
输出:1
解释:
组合 2 和 4,得到 2,所以数组转化为 [2,7,1,8,1],
组合 7 和 8,得到 1,所以数组转化为 [2,1,1,1],
组合 2 和 1,得到 1,所以数组转化为 [1,1,1],
组合 1 和 1,得到 0,所以数组转化为 [1],这就是最优值。

示例 2:

代码语言:javascript
复制
输入:stones = [31,26,33,21,40]
输出:5

示例 3:

代码语言:javascript
复制
输入:stones = [1,2]
输出:1

提示:

  • 1 <= stones.length <= 30
  • 1 <= stones[i] <= 100

基本分析

根据题意:可对任意石子进行操作,重放回的重量也不是操作石子的总和,而是操作石子的差值。

基于此,我们可以这样进行分析。

假设想要得到最优解,我们需要按照如下顺序操作石子:

[(sa, sb), (sc, sd), ... ,(si, sj), (sp, sq)]

其中

abcdijpq

代表了石子编号,字母顺序不代表编号的大小关系

如果不考虑「有放回」的操作的话,我们可以划分为两个石子堆(正号堆/负号堆):

  • 将每次操作中「重量较大」的石子放到「正号堆」,代表在这次操作中该石子重量在「最终运算结果」中应用
+

运算符

  • 将每次操作中「重量较少/相等」的石子放到「负号堆」,代表在这次操作中该石子重量在「最终运算结果」中应用
-

运算符

这意味我们最终得到的结果,可以为原来

stones

数组中的数字添加

+/-

符号,所形成的「计算表达式」所表示。

那有放回的石子重量如何考虑?

其实所谓的「有放回」操作,只是触发调整「某个原有石子」所在「哪个堆」中,并不会真正意义上的产生「新的石子重量」。

什么意思呢?

假设有起始石子

a

b

,且两者重量关系为

a \geq b

,那么首先会将

a

放入「正号堆」,将

b

放入「负号堆」。重放回操作可以看作产生一个新的重量为

a - b

的“虚拟石子”,将来这个“虚拟石子”也会参与某次合并操作,也会被添加

+/-

符号:

  • 当对“虚拟石子”添加
+

符号,即可

+(a - b)

,展开后为

a - b

,即起始石子

a

b

所在「石子堆」不变

  • 当对“虚拟石子”添加
-

符号,即可

-(a - b)

,展开后为

b - a

,即起始石子

a

b

所在「石子堆」交换

因此所谓不断「合并」&「重放」,本质只是在构造一个折叠的计算表达式,最终都能展开扁平化为非折叠的计算表达式。

综上,即使是包含「有放回」操作,最终的结果仍然可以使用「为原来

stones

数组中的数字添加

+/-

符号,形成的“计算表达式”」所表示。

动态规划

有了上述分析后,问题转换为:

stones

中的每个数字添加

+/-

,使得形成的「计算表达式」结果绝对值最小。

494. 目标和 类似,需要考虑正负号两边时,其实只需要考虑一边就可以了,使用总和

sum

减去决策出来的结果,就能得到另外一边的结果。

同时,由于想要「计算表达式」结果绝对值,因此我们需要将石子划分为差值最小的两个堆。

其实就是对「计算表达式」中带

-

的数值提取公因数

-1

,进一步转换为两堆石子相减总和,绝对值最小。

这就将问题彻底切换为 01 背包问题:

stones

数组中选择,凑成总和不超过

\frac{sum}{2}

的最大价值。

其中「成本」&「价值」均为数值本身。

整理一下:

定义

f[i][j]

代表考虑前

i

个物品(数值),凑成总和不超过

j

的最大价值。

每个物品都有「选」和「不选」两种决策,转移方程为:

f[i][j] = \max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - stones[i - 1]] + stones[i - 1])

与完全背包不同,01 背包的几种空间优化是不存在时间复杂度上的优化,因此写成 朴素二维、滚动数组、一维优化 都可以。

建议直接上手写「一维空间优化」版本,是其他背包问题的基础。

代码:

代码语言:javascript
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class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] ss) {
        int n = ss.length;
        int sum = 0;
        for (int i : ss) sum += i;
        int t = sum / 2;
        int[][] f = new int[n + 1][t + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int x = ss[i - 1];
            for (int j = 0; j <= t; j++) {
                f[i][j] = f[i - 1][j];
                if (j >= x) f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j - x] + x);
            }
        }
        return Math.abs(sum - f[n][t] - f[n][t]);
    }
}
代码语言:javascript
复制
class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] ss) {
        int n = ss.length;
        int sum = 0;
        for (int i : ss) sum += i;
        int t = sum / 2;
        int[][] f = new int[2][t + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int x = ss[i - 1];
            int a = i & 1, b = (i - 1) & 1;
            for (int j = 0; j <= t; j++) {
                f[a][j] = f[b][j];
                if (j >= x) f[a][j] = Math.max(f[a][j], f[b][j - x] + x);
            }
        }
        return Math.abs(sum - f[n&1][t] - f[n&1][t]);
    }
}
代码语言:javascript
复制
class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] ss) {
        int n = ss.length;
        int sum = 0;
        for (int i : ss) sum += i;
        int t = sum / 2;
        int[] f = new int[t + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int x = ss[i - 1];
            for (int j = t; j >= x; j--) {
                f[j] = Math.max(f[j], f[j - x] + x);
            }
        }
        return Math.abs(sum - f[t] - f[t]);
    }
}
  • 时间复杂度:
O(n * \sum_{i = 0}^{n - 1} stones[i])
  • 空间复杂度:
O(n * \sum_{i = 0}^{n - 1} stones[i])

背包问题(目录)

  1. 01背包 : 背包问题 第一讲
    1. 【练习】01背包 : 背包问题 第二讲
    2. 【学习&练习】01背包 : 背包问题 第三讲
    3. 【加餐/补充】01 背包: 本篇
  2. 完全背包 : 背包问题 第四讲
    1. 【练习】完全背包 : 背包问题 第五讲
    2. 【练习】完全背包 : 背包问题 第六讲
    3. 【练习】完全背包 : 背包问题 第七讲
  3. 多重背包 : 背包问题 第八讲
  4. 多重背包(优化篇)
    1. 【上】多重背包(优化篇): 背包问题 第九讲
    2. 【下】多重背包(优化篇): 背包问题 第十讲
  5. 混合背包 : 背包问题 第十一讲
  6. 分组背包 : 背包问题 第十二讲
    1. 【练习】分组背包 : 背包问题 第十三讲
  7. 多维背包
    1. 【练习】多维背包 : 背包问题 第十四讲
    2. 【练习】多维背包 : 背包问题 第十五讲
  8. 树形背包 : 背包问题 第十六讲
    1. 【练习篇】树形背包 : 背包问题 第十七讲
    2. 【练习篇】树形背包 : 背包问题 第十八讲
  9. 背包求方案数
    1. 【练习】背包求方案数 : 背包问题 第十九讲
    2. 【练习】背包求方案数 : 背包问题 第十五讲

[注:因为之前实在找不到题,这道「求方案数」题作为“特殊”的「多维费用背包问题求方案数」讲过]

  1. 背包求具体方案
    1. 【练习】背包求具体方案 : 背包问题 第二十讲
    2. 【练习】背包求具体方案
  2. 泛化背包
    1. 【练习】泛化背包
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原始发表:2021-10-11,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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