今天是我们讲解「动态规划专题」中的「背包问题」的第二十一篇。
今天将加餐/补充一道「01 背包」的题目。
另外,我在文章结尾处列举了我所整理的关于背包问题的相关题目。
背包问题我会按照编排好的顺序进行讲解(每隔几天更新一篇,确保大家消化)。
你可以先尝试做做,也欢迎你向我留言补充,你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~
这是 LeetCode 上的「1049. 最后一块石头的重量 II」,难度为「中等」。
Tag : 「动态规划」、「背包问题」、「01 背包」、「数学」
有一堆石头,用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
每一回合,从中选出任意两块石头,然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y,且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下:
最后,最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下,就返回 0。
示例 1:
输入:stones = [2,7,4,1,8,1]
输出:1
解释:
组合 2 和 4,得到 2,所以数组转化为 [2,7,1,8,1],
组合 7 和 8,得到 1,所以数组转化为 [2,1,1,1],
组合 2 和 1,得到 1,所以数组转化为 [1,1,1],
组合 1 和 1,得到 0,所以数组转化为 [1],这就是最优值。
示例 2:
输入:stones = [31,26,33,21,40]
输出:5
示例 3:
输入:stones = [1,2]
输出:1
提示:
根据题意:可对任意石子进行操作,重放回的重量也不是操作石子的总和,而是操作石子的差值。
基于此,我们可以这样进行分析。
假设想要得到最优解,我们需要按照如下顺序操作石子:
。
其中
代表了石子编号,字母顺序不代表编号的大小关系。
如果不考虑「有放回」的操作的话,我们可以划分为两个石子堆(正号堆/负号堆):
运算符
运算符
这意味我们最终得到的结果,可以为原来
数组中的数字添加
符号,所形成的「计算表达式」所表示。
那有放回的石子重量如何考虑?
其实所谓的「有放回」操作,只是触发调整「某个原有石子」所在「哪个堆」中,并不会真正意义上的产生「新的石子重量」。
什么意思呢?
假设有起始石子
和
,且两者重量关系为
,那么首先会将
放入「正号堆」,将
放入「负号堆」。重放回操作可以看作产生一个新的重量为
的“虚拟石子”,将来这个“虚拟石子”也会参与某次合并操作,也会被添加
符号:
符号,即可
,展开后为
,即起始石子
和
所在「石子堆」不变
符号,即可
,展开后为
,即起始石子
和
所在「石子堆」交换
因此所谓不断「合并」&「重放」,本质只是在构造一个折叠的计算表达式,最终都能展开扁平化为非折叠的计算表达式。
综上,即使是包含「有放回」操作,最终的结果仍然可以使用「为原来
数组中的数字添加
符号,形成的“计算表达式”」所表示。
有了上述分析后,问题转换为:为
中的每个数字添加
,使得形成的「计算表达式」结果绝对值最小。
与 494. 目标和 类似,需要考虑正负号两边时,其实只需要考虑一边就可以了,使用总和
减去决策出来的结果,就能得到另外一边的结果。
同时,由于想要「计算表达式」结果绝对值,因此我们需要将石子划分为差值最小的两个堆。
其实就是对「计算表达式」中带
的数值提取公因数
,进一步转换为两堆石子相减总和,绝对值最小。
这就将问题彻底切换为 01 背包问题:从
数组中选择,凑成总和不超过
的最大价值。
其中「成本」&「价值」均为数值本身。
整理一下:
定义
代表考虑前
个物品(数值),凑成总和不超过
的最大价值。
每个物品都有「选」和「不选」两种决策,转移方程为:
与完全背包不同,01 背包的几种空间优化是不存在时间复杂度上的优化,因此写成 朴素二维、滚动数组、一维优化 都可以。
建议直接上手写「一维空间优化」版本,是其他背包问题的基础。
代码:
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] ss) {
int n = ss.length;
int sum = 0;
for (int i : ss) sum += i;
int t = sum / 2;
int[][] f = new int[n + 1][t + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x = ss[i - 1];
for (int j = 0; j <= t; j++) {
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (j >= x) f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j - x] + x);
}
}
return Math.abs(sum - f[n][t] - f[n][t]);
}
}
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] ss) {
int n = ss.length;
int sum = 0;
for (int i : ss) sum += i;
int t = sum / 2;
int[][] f = new int[2][t + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x = ss[i - 1];
int a = i & 1, b = (i - 1) & 1;
for (int j = 0; j <= t; j++) {
f[a][j] = f[b][j];
if (j >= x) f[a][j] = Math.max(f[a][j], f[b][j - x] + x);
}
}
return Math.abs(sum - f[n&1][t] - f[n&1][t]);
}
}
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] ss) {
int n = ss.length;
int sum = 0;
for (int i : ss) sum += i;
int t = sum / 2;
int[] f = new int[t + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x = ss[i - 1];
for (int j = t; j >= x; j--) {
f[j] = Math.max(f[j], f[j - x] + x);
}
}
return Math.abs(sum - f[t] - f[t]);
}
}
[注:因为之前实在找不到题,这道「求方案数」题作为“特殊”的「多维费用背包问题求方案数」讲过]