【动态规划/背包问题】完全背包求方案数

前言

今天是我们讲解「动态规划专题」中的「背包问题」的第二十篇。

今天将学习「背包问题求具体方案」问题。

另外，我在文章结尾处列举了我所整理的关于背包问题的相关题目。

背包问题我会按照编排好的顺序进行讲解（每隔几天更新一篇，确保大家消化）。

你可以先尝试做做，也欢迎你向我留言补充，你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~

题目描述

这是 LeetCode 上的「1449. 数位成本和为目标值的最大数字」，难度为 「困难」。

Tag : 「完全背包」、「背包问题」、「动态规划」

给你一个整数数组

和一个整数

。请你返回满足如下规则可以得到的 最大 整数：

• 给当前结果添加一个数位

的成本为

（

数组下标从

开始）

• 总成本必须恰好等于

• 添加的数位中没有数字

由于答案可能会很大，请你以字符串形式返回。

如果按照上述要求无法得到任何整数，请你返回 "0" 。

示例 1：

输入：cost = [4,3,2,5,6,7,2,5,5], target = 9

输出："7772"

解释：添加数位 '7' 的成本为 2 ，添加数位 '2' 的成本为 3 。所以 "7772" 的代价为 2*3+ 3*1 = 9 。 "977" 也是满足要求的数字，但 "7772" 是较大的数字。
 数字     成本
  1  ->   4
  2  ->   3
  3  ->   2
  4  ->   5
  5  ->   6
  6  ->   7
  7  ->   2
  8  ->   5
  9  ->   5

示例 2：

输入：cost = [7,6,5,5,5,6,8,7,8], target = 12

输出："85"

解释：添加数位 '8' 的成本是 7 ，添加数位 '5' 的成本是 5 。"85" 的成本为 7 + 5 = 12 。

示例 3：

输入：cost = [2,4,6,2,4,6,4,4,4], target = 5

输出："0"

解释：总成本是 target 的条件下，无法生成任何整数。

示例 4：

输入：cost = [6,10,15,40,40,40,40,40,40], target = 47

输出："32211"

提示：

• cost.length == 9
• 1 <= cost[i] <= 5000
• 1 <= target <= 5000

基本分析

根据题意：给定

~

几个数字，每个数字都有选择成本，求给定费用情况下，凑成的最大数字是多少。

通常我们会如何比较两数大小关系？

首先我们 根据长度进行比较，长度较长数字较大；再者，对于长度相等的数值，从高度往低位进行比较，找到第一位不同，不同位值大的数值较大。

其中规则一的比较优先级要高于规则二。

基于此，我们可以将构造分两步进行。

完全背包 + 贪心

具体的，先考虑「数值长度」问题，每个数字有相应选择成本，所能提供的长度均为

。

问题转换为：有若干物品，求给定费用的前提下，花光所有费用所能选择的最大价值（物品个数）为多少。

每个数字可以被选择多次，属于完全背包模型。

当求得最大「数值长度」后，考虑如何构造答案。

根据规则二，应该尽可能让高位的数值越大越好，因此我们可以从数值

开始往数值

遍历，如果状态能够由该数值转移而来，则选择该数值。

代码：

class Solution {
    public String largestNumber(int[] cost, int t) {
        int[] f = new int[t + 1];
        Arrays.fill(f, Integer.MIN_VALUE);
        f[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= 9; i++) {
            int u = cost[i - 1];
            for (int j = u; j <= t; j++) {
                f[j] = Math.max(f[j], f[j - u] + 1);
            }
        }
        if (f[t] < 0) return "0";
        String ans = "";
        for (int i = 9, j = t; i >= 1; i--) {
            int u = cost[i - 1];
            while (j >= u && f[j] == f[j - u] + 1) {
                ans += String.valueOf(i);
                j -= u;
            }
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：

• 空间复杂度：

思考 & 进阶

懂得分两步考虑的话，这道题还是挺简单。虽然是「DP」+「贪心」，但两部分都不难。

其实这道题改改条件/思路，也能衍生出几个版本：

1. 【思考】如何彻底转化为「01 背包」或者「多重背包」来处理？ 完全背包经过一维优化后时间复杂度为

。是否可以在不超过此复杂度的前提下，通过预处理物品将问题转换为另外两种传统背包？

• 对于「多重背包」答案是可以的。由于给定的最终费用

，我们可以明确算出每个物品最多被选择的次数，可以在

的复杂度内预处理额外的

数组。然后配合「单调队列优化」，做到

复杂度，整体复杂度不会因此变得更差。 但转换增加了「预处理」的计算量。为了让转换变成“更有意义”，我们可以在「预处理」时顺便做一个小优化：对于相同成本的数字，只保留数值大的数字。不难证明，当成本相同时，选择更大的数字不会让结果变差。

• 对于「01 背包」答案是不可以。原因与「多重背包」单纯转换为「01 背包」不会降低复杂度一致。因此本题转换成「01 背包」会使得

发生非常数级别的增大。

1. 【进阶】不再是给定数值

~

（取消

数组），转为给定

数组（代表所能选择的数字，不包含

），和相应

数组（长度与

一致，代表选择

所消耗的成本为

）。现有做法是否会失效？ 此时

中不再是只有长度为

的数值了。但我们「判断数值大小」的两条规则不变。因此「第一步」不需要做出调整，但在进行「第二步」开始前，我们要先对物品进行「自定义规则」的排序，确保「贪心」构造答案过程是正确的。规则与证明都不难请自行思考。

1. 【进阶】在进阶

的前提下，允许

出现

，且确保答案有解（不会返回答案

）,该如何求解？ 增加数值

其实只会对最高位数字的决策产生影响。 我们可以 通过预处理转换为「分组 & 树形」背包问题：将

中的非

作为一组「主件」（分组背包部分：必须选择一个主件），所有数值作为「附属件」（树形背包部分：能选择若干个，选择附属件必须同时选择主件）。

背包问题（目录）

1. 01背包 : 背包问题 第一讲
   1. 【练习】01背包 : 背包问题 第二讲
   2. 【学习&练习】01背包 : 背包问题 第三讲
2. 完全背包 : 背包问题 第四讲
   1. 【练习】完全背包 : 背包问题 第五讲
   2. 【练习】完全背包 : 背包问题 第六讲
   3. 【练习】完全背包 : 背包问题 第七讲
3. 多重背包 : 背包问题 第八讲
4. 多重背包（优化篇）
   1. 【上】多重背包（优化篇）: 背包问题 第九讲
   2. 【下】多重背包（优化篇）: 背包问题 第十讲
5. 混合背包 : 背包问题 第十一讲
6. 分组背包 : 背包问题 第十二讲
   1. 【练习】分组背包 : 背包问题 第十三讲
7. 多维背包
   1. 【练习】多维背包 : 背包问题 第十四讲
   2. 【练习】多维背包 : 背包问题 第十五讲
8. 树形背包 : 背包问题 第十六讲
   1. 【练习篇】树形背包 : 背包问题 第十七讲
   2. 【练习篇】树形背包 : 背包问题 第十八讲
9. 背包求方案数
   1. 【练习】背包求方案数 : 背包问题 第十九讲
   2. 【练习】背包求方案数
10. 背包求具体方案
    1. 【练习】背包求具体方案：本篇
11. 泛化背包
    1. 【练习】泛化背包