算法面试题：均分纸牌

01

故事起源

有N堆纸牌编号为1~N，每堆有若干张，但纸牌总数必为N的倍数。可在任一堆上取若干张移动。

移牌规则：

• 编号为1的堆上取的纸牌只能移到编号为2的堆上
• 编号为N的堆上取的纸牌只能移到编号为N-1的堆上
• 其他堆上取的纸牌可向左右相邻堆移动

问最少要移动几次可使每堆上纸牌一样多？

02

小规模分析

2.1

一堆纸牌

如果只有一堆纸牌，那就不用移动，也就是移动0次。

2.2

两堆纸牌

如果有两堆纸牌，一种情况是两堆已经一样多了，那就不用移动，最少0次。

另一种情况是不一样多，那只需要将多的移动到少的使两堆一样，最少1次。

2.3

三堆纸牌

如果三堆已经一样多，即都为平均数，那就不用移动。

另外的情况就是有一堆为平均数，或者0堆为平均数，当然肯定不可能只有两堆为平均数。

如果为下面这种情况，移动1次可以完成。

如果为下面这种情况，移动2次可以完成。

多列举几种不同的情况，你就会发现，三堆纸牌无论哪种情况，移动次数都在0~2次就可以完成。 那N堆纸牌是不是移动次数也在0~(N-1)次就可以完成呢？继续往下分析。

2.4

小规模总结

根据上面的分析，三堆纸牌移动的次数在0~2。那什么原因导致移动的次数不同呢？

总结：

• 0次：3堆都为平均数
• 1次：第一堆或者第三堆为平均数
• 2次：其它情况

为1次时，有一堆为平均数不用移动，那这时和两堆也没有区别啊，三堆可以分解成两堆+一堆，到这里小K已经隐约感觉到了有子问题的存在。

03

分割子问题

想象这种场景，N堆纸牌，从中间某位置分开，左右两边都刚好够分，那么把每一边都看成整体时，一定不会有互相移动。因为如果你从左边移x张到右边，你必然还会从右边移x张回来，属于多余操作。 这样两边其实可以看成两个完全独立的子问题。

根据上面的规则，可以先将一个大问题分为多个不可再分割的子问题。

到这里我们已经成功向前推进了一步，接下来思考每个子区间的情况。

04

子问题分析

4.1

不可再分性

对于一个不可再分割的子区间，从任意位置切一刀，都无法再分割。

也就是任意位置切一刀，一定是一边均摊后小于平均数，另一边均摊后大于平均数。

现在我们要想办法让它能继续分割，即通过移动使得两边变成刚好够分。 如果不考虑移动次数肯定可以做到，那能否通过一次移动使子区间可以分割开呢？

4.2

均摊后大于平均数(充分性)

从左开始扫描每一堆纸牌，如果大于平均数，就把多余的移到右边相邻的堆上。这样左右两边都是刚好够分的情况，即通过一次移动就把该区间分割成两个更小的子区间。

4.3

均摊后小于平均数(充分性)

从左开始扫描每一堆纸牌，如果小于平均数，就继续向右扫描，这时判断整个左区间是否够分，直到扫描到。 区间[1,i+1]均摊后大于平均数(只有扫到末尾才可能刚好等于平均数)，这时只需从上移动区间[1,i]还缺少的x个到上，使得区间[1,i]刚好够分，这样一次移动也能把区间分割成两个更小的子区间。

4.4

X堆最少移动X-1次(必要性)

通过一次移动可将区间一分为二，对于一个有X堆纸牌的子区间，一定能通过X-1次将它分割为全部均等的X堆。那最少一定要X-1次吗，还能否更少？

不论在哪个位置移动，每移动一次，只会改变相邻的两堆纸牌的数量，所以只能影响左右两个区间是否可分割。 即移动一次最多一分为二，不可能一分为三，那么有X堆的子区间最少也得移动X-1次。

05

算法及实现

5.1

算法思想

分析到这里问题的本质规律已经找出来了，先将整个区间分割开，然后对于每一个不可再分割的子区间，设有X堆纸牌，按上述方法移动X-1次可使得每堆都相等。 我们不需要真正去移动，只需要求出最少的次数。所以如果初始区间可以分割为Y个子区间，那么整个区间最少移动就是N-Y次。

5.2

代码实现

int main() {
    int n, a[100], sum = 0, interval = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> a[i];
        sum += a[i];
    }
    int avg = sum / n, last = -1;
    sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        sum += a[i];
        if (sum == (i - last) * avg) {
            interval++;
            sum = 0;
            last = i;
        }
    }
    cout << n - interval << endl;
    return 0;
}

06

总结

估计最后给大家的感觉就是：编码一分钟，思考两小时，哈哈。 实现代码非常简单，但思考过程并不简单，需要找出问题的本质规律，要证明算法的正确性，这个还是有一些思考量在里面的。大家跟着小K的思路多思考，勤用脑，总有一天你会感叹：原来都是套路啊，哈哈。