这个魔术源于我的好朋友常天天，再往前的原作者则是格林了。不过无论是台词还是流程内容本身，已经作了大幅修改。当我第一次看到这个作品的时候，整体的原理自然我一眼就发现了是Si Stebbins序列的周期性和Gilbreath原理的应用。但是，其台词里和日月星辰，阴阳五行的结合，让这个效果如此天衣无缝地和我们的生活结合在一起，让我觉得十分惊艳。因此，在整体结构不变的情况下，改编成了这个作品。

魔术赏析

这个魔术的每个单独的效果都不算强，但是好在其递进的结构，以及熟悉的故事背景，从整体上看，让人有一种熟悉而美好的感觉。其讲述首先利用了扑克牌本身和天文历法之间的关系，扑克牌的花色代表四季更替，点数则是一个季度内第几周的编号，一年刚好52周。而每个花色的点数之和91刚好也是一个季度的天数，合起来刚好是364天，加上鬼牌刚好一年。而在呈现效果上，用到了时钟代表的天的周期性，且其内又分为白天黑夜两个子周期，分别对应红和黑；四季也同样用花色呈现在周期的表盘上，寓意着每个时刻，在1年里都有4个季节状态，而每个子状态持续一个季度的不变长度，就像一天的黑白两个状态，每个持续12个小时一样，在每个下一次都会状态变化。

最后，当已经摆完大半叠牌以后，剩下的牌中，居然各自13张也是刚好构成排列，而且二者相同点数的颜色还刚好对应，更不可思议的是，魔术师手里的牌排好A~K的顺序后，刚好花色从方块以此间隔若干张后走到了黑桃，就像完美地走过一个一年的轮回一样！

魔术操作上，我提一个基本点。就是我们在执行Gilbreath shuffle的时候，通常需要加一步奇怪的数牌操作，目的是为了reverse牌叠，但实际上，这在观众看来是多余而且很奇怪的操作。有两种处理，一方面，把数牌表演成观众选大概一半牌的张数的过程，后面只是恰好拿数出来的去洗牌而已；另一种就是，直接翻转整个牌叠，为什么这样可以呢？是因为，扑克牌的序有从牌叠本身的相邻方式，是背面对正面还是反过来，来决定序的方向，以及在空间位置上，谁在上谁在下，或者左右来决定的。这二者都可以，取决于你怎么看待这些扑克牌，但是在一些操作发生以后，二者会发生分歧。比如，把某些牌翻过来，这个动作除了原本相邻的两张被切开破坏掉以外，物理的顺序就没什么变化了，但空间上，是所有翻过来的牌进行了reverse操作，这和把折叠牌连续地数下来是一个意思。但只要最后使用性质的时候不碰这些分歧，那就没人去惹这些事。因此，这里我采用的是直接翻转方法，速度快，虽然奇怪，但是起到了把牌洗得更乱的意思，反而效果增强了。

不过就在上周，有读者看了前面文章的视频，提出因为翻转过来洗，会有一些牌正面向上，这样可能会不太美，还露破绽。但我之所以用这个方案是为了解决数一次的尴尬。但他提出，可以以“能否精准拿起一半牌”作为任务让观众完成，然后检查张数的时候自然要数一遍，这样就使得这个操作合理多了。另外，这里的精准，巧合的神奇，又可以和后续流程的效果形成对比，一举两得。我觉得这个改进挺不错，后续借鉴。

无论原理如何，这个呈现出来的艺术现象是很美的，值得我们欣赏和学习。

数学原理剖析

这里先强调一点，就是我们对有限长周期序列的研究，有几个关键属性要把握。最小子周期长度和周期个数，以及其周期性是针对二切或是位置的循环移动来的。而且，周期性可以交错在不同的属性上，只有间隔的某个相同长度后某属性的相等，才是周期性。比如点数有13间隔的周期性，而花色是连续排列的时候，是没有周期性的，或者就1个真实周期而已，多副牌的时候才会真的有。所以，时钟上的红黑代表的白天黑夜，其实是一个周期内两个不同的点，且刚好一圈就是下一个点。四季也是类似，只不过其更新周期不再是1天，而是1个季度，要转180多圈，也就是90多天，才更替一次，且要4个季度，才完成一次周而复始。

那到底是什么原理，使得这么多眼花缭乱的现象能够一起存在呢？这些有些相似，规模不同的效果背后，有没有一些共通的规律呢？

答案是Si Stebbins序列的周期性，以及在Gilbreath原理下，对其周期的保持。Gilbreath原理简单来说，就是在一般的riffle shuffle之前，对顶部叠进行reverse操作，这样得到序列的所有前缀，都一定是原序列子串的排列。更严格来说，是一段子串切成两段以后，其中一段倒转以后的洗牌排列，新的排列是这个对折相连后的新子串的二阶循环递增子序列。

这个原理用扑克牌叠的循环序列模型其实很好理解，所谓倒序相当于换了个方向看待序列，那么刚好从切口处，得到的顶部n张，都是从左右各自选择后，一共n次的结果。显然这是2 ^ n种可能，但并不是所有排列。而且，虽然是连续序列的集合，但是具体是从哪个位置截取的，并不知道。于是这样看来，对于一般序列的Gilbreath规律，顶多知道了是连续的一段扑克牌，减少一点混乱度的作用，但并难堪大用，还得想办法和序列的其他性质结合起来才是。

那怎样的序列在任意的子串上有共性呢？

更具体的是，因为排序已经被左右不可控的选择破坏，相当于一次riffle shuffle的洗乱，那么这层共性，我们优先放在无序的集合性质上。

我们不妨把子串长度限制为相等，这在操作上不是什么难事，却大大限定了问题的范围，因为相等的集合大小是集合相等的前提。

问题变成，什么样的序列，任意截取一段连续子串，对应的取值集合不变呢？

答案是周期序列！截取周期长度倍数的序列，所得的序列和原序列之间仅相差相位，是相同元素集合的循环群下的不同排列元素，所对应的有重集合值完全相同。而在Gilbreath Shuffle以后，无非是又把这些元素打乱了一把，那也超不过排列群的魔掌心啊！（实际元素数却并达不到所有排列n!那么多）

所以，序列本身的子周期性，和Gilbreath shuffle的连续取值性质，就共同构成了这副奇妙的景象！

有人会怀疑，确实，顶部开口处，一定是一个周期镜像切割以后，在riffle shuffle下的重排，那去掉这个周期以后，接下来的n张牌，是否还有此性质呢？答案是肯定的，这等价于，原周期序列，在去掉一个周期以后，剩下的，依旧是周期序列，进行了同样的Gilbreath shuffle的结果，自然和前面一样。更关键的是，这里的周期，是人为赋予扑克牌的属性，和物理过程无关，也就是说，也许存在多重的周期性，共同作用在整个过程上，这也是这个魔术最精彩的原理：

Si Stebbins序列的颜色周期为2，共26个周期，因此，Gilbreath洗牌以后，每2张牌的集合都是1红1黑；

Si Stebbins序列的花色周期为4（某种意义上可以看作由两个颜色周期拼成后重新命名后的结果），共13个周期，因此，Gilbreath洗牌以后，每4张牌的集合都是各种花色各一张（并没有24种，循环群加这是其一次Gilbreath shuffle洗牌群的大小，达不到整个排列群）；

Si Stebbins序列的点数周期为13，共4个周期，因此，Gilbreath洗牌以后，每13张牌的点数都恰好是A~K的一个排列。

因此，时钟上的红黑表示的日夜阴阳，4个花色表示的四季，以及最后出现的两个13张牌的一条龙，就都完美地解释了。其实这些都是在局部，呈现了想呈现的部分，而这些就足够构成一个故事了，多出来的没呈现的性质，就像边角料一样，丢了毫不可惜。

留有悬念

关于Gilbreath的详细内容，我们还可以用更通用的排列群上的语言来描述，也还会有专门的文章来介绍。

于是这个魔术整体的数学原理就解释清楚了，但如果你细心观察，里面还有几个细节问题没有说清楚：

1. 为什么最后两个周期的同样点数的牌的颜色会不相同？

2. 为什么魔术师手上的A~K周期，刚好就是4个花色，连续和以此地出现呢？

3. 为什么方块A一定在魔术师的牌叠里呢？

我们留个悬念，下一讲揭晓答案。

再放一个后面将讲解的魔术：

视频2 savvi magic

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！