斐波那契数列的数学形式就是递归的,写成代码就是这样:
int fib(int N) {
if (N == 1 || N == 2) return 1;
return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}
这个不用多说了,学校老师讲递归的时候似乎都是拿这个举例。我们也知道这样写代码虽然简洁易懂,但是十分低效,低效在哪里?假设 n = 20,请画出递归树:
PS:但凡遇到需要递归的问题,最好都画出递归树,这对你分析算法的复杂度,寻找算法低效的原因都有巨大帮助。
这个递归树怎么理解?就是说想要计算原问题 f(20),我就得先计算出子问题 f(19) 和 f(18),然后要计算 f(19),我就要先算出子问题 f(18) 和 f(17),以此类推。最后遇到 f(1) 或者 f(2) 的时候,结果已知,就能直接返回结果,递归树不再向下生长了。
递归算法的时间复杂度怎么计算?就是用子问题个数乘以解决一个子问题需要的时间。
首先计算子问题个数,即递归树中节点的总数。显然二叉树节点总数为指数级别,所以子问题个数为 O(2^n)。
然后计算解决一个子问题的时间,在本算法中,没有循环,只有 f(n - 1) + f(n - 2) 一个加法操作,时间为 O(1)。
所以,这个算法的时间复杂度为二者相乘,即 O(2^n),指数级别,爆炸。
观察递归树,很明显发现了算法低效的原因:存在大量重复计算,比如 f(18) 被计算了两次,而且你可以看到,以 f(18) 为根的这个递归树体量巨大,多算一遍,会耗费巨大的时间。更何况,还不止 f(18) 这一个节点被重复计算,所以这个算法及其低效。
这就是动态规划问题的第一个性质:重叠子问题。下面,我们想办法解决这个问题。
明确了问题,其实就已经把问题解决了一半。即然耗时的原因是重复计算,那么我们可以造一个「备忘录」,每次算出某个子问题的答案后别急着返回,先记到「备忘录」里再返回;每次遇到一个子问题先去「备忘录」里查一查,如果发现之前已经解决过这个问题了,直接把答案拿出来用,不要再耗时去计算了。
一般使用一个数组充当这个「备忘录」,当然你也可以使用哈希表(字典),思想都是一样的。
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int helper(vector<int>& memo, int n)
{
if(n == 1 || n == 2)
{
return 1;
}
else if (memo[n] != 0)
{
return memo[n];
}
memo[n] = helper(memo, n - 1) + helper(memo, n - 2);
return memo[n];
}
int fib(int n)
{
if ( n < 1)
{
return 0;
}
vector<int> memo(n + 1, 0);
return helper(memo, n);
}
int main()
{
cout << "fib(20) = " << fib(20) << endl;
}
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