矩阵分析笔记（七）特征值与特征向量

线性变换的特征值与特征向量

设\mathscr{A}是数域\mathbb{F}上的n维线性空间V的线性变换，若存在\alpha \neq 0, \lambda \in \mathbb{F}，使

则称\lambda为\mathscr{A}的一个特征值，称\alpha是\mathscr{A}的属于特征值\lambda的一个特征向量

用通俗的语言解释特征向量，其实就是在线性空间V中存在某些特殊的向量，这些向量经过线性变换之后得到的向量方向不变，长度可能会进行伸缩

线性变换$\mathscr{A}$与矩阵表示$A$的特征值和特征向量的关系

1. \lambda是\mathscr{A}的一个特征值\Leftrightarrowlambda是A的一个特征值
2. \alpha是\mathscr{A}的属于特征值\lambda的一个特征向量\Leftrightarrowalpha的坐标(x_1,x_2,...,x_n)^T是A的属于特征值lambda的特征向量

不同基下线性变换的特征值与特征向量的关系

定理：相似矩阵有相同的特征值

线性变换在不同基下的矩阵表示的特征值保持不变，特征向量不同，但是存在关系，具体关系如下

若\xi=(x_1,x_2,...,x_n)^T是n阶矩阵A属于特征值\lambda的特征向量，B=P^{-1}AP，则P^{-1}\xi是B的属于特征值\lambda的特征向量

特征子空间

设\lambda_i是\mathscr{A}\in \mathcal{L}(V)的特征向量（\mathcal{L}(V)表示线性空间V上的全体线性变换的集合），则

是V的子空间，V_{\lambda_i}称为\mathscr{A}的特征子空间，\dim(V_{\lambda_i})称为\lambda_i的几何重数

• 代数重数：设矩阵A的特征值\lambda_i的重根数为p_i，则称p_i为\lambda_i的代数重数
• 几何重数：设\lambda_i为矩阵A的特征值，且\dim(V_{\lambda_i})=q，则称q_i为\lambda_i的几何重数。且有q_i≤p_i

线性变换的不变子空间

设\mathscr{A}是线性空间V的线性变换，W是V的子空间，如果对于任意向量\alpha \in W都有\mathscr{A}(\alpha)\in W，则称W是\mathscr{A}的不变子空间。并且\mathscr{A}可以看作子空间W上的一个线性变换，称为\mathscr{A}在W上的限制，记做\mathscr{A}|_W，而且

图示说明如下

不变子空间的判定定理

\mathscr{A}\in \mathcal{L}(V)，W是V的一个子空间，\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m是W的一个基，若

则W是\mathscr{A}的不变子空间

方针准对角化与不变子空间的关系

tips：准对角矩阵也叫分块对角矩阵

设\mathscr{A}是线性空间V的线性变换，则V可以分解为\mathscr{A}的不变子空间的直和

的充分必要条件是\mathscr{A}在V的某个基下的矩阵是准对角矩阵

其中A_i为\mathscr{A}|_{W_i}在相应基下对应的矩阵

证明：

（充分性）设V可以分解为\mathscr{A}的不变子空间的直和V=W_1\oplus W_2

取W_1的基\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r，W_2的基\alpha_{r+1}, \alpha_{r+2}, \alpha_n

则\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1},...,\alpha_{n}为V的基

$$ \because W_i为\mathscr{A}的不变子空间\\ \therefore \mathscr{A}(\alpha_j)\in W_1,\ j=1,2,...,r\\ \mathscr{A}(\alpha_j)\in W_2,\ j=r+1,r+2,...,n\\ \Rightarrow \mathscr{A}(\alpha_j)=\sum_{i=1}^r a_{ij}\alpha_i,\ j=1,2,...,r\\ \mathscr{A}(\alpha_j)=\sum_{i=1}^r a_{ij}\alpha_i,\ j=r+1,r+2,...,n $$

故\mathscr{A}在基\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1},...,\alpha_n下的矩阵为\begin{bmatrix}A_1\\&A_2\end{bmatrix}

（必要性）设\mathscr{A}在V的某个基\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1},...,\alpha_n下的矩阵为准对角矩阵diag\{A_1,A_2\}

令W_1=\mathcal{L}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}，W_2=\mathcal{L}\{\alpha_{r+1}, \alpha_{r+2},...,\alpha_n\}

则W_1,W_2为\mathscr{A}的不变子空间，且W_1+W_2=\mathcal{L}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1},...,\alpha_n\}=V

又\dim V=\dim W_1+\dim W_2，故V=W_1\oplus W_2

注：上述定理可以推广到s个情况

即设\mathscr{A}\in \mathcal{L}(V)，则V可以分解为\mathscr{A}的不变子空间的直和V=W_1\oplus W_2\oplus ···\oplus W_s

方阵的相似对角化

定理：矩阵A可对角化的充要条件是A的每一个特征值的几何重数等于代数重数

例1

设A^2=E，试证：A的特征值只能是+1或-1

证明：设\lambda是矩阵A的任一特征值，其对应的特征向量为\alpha，即有A\alpha=\lambda\alpha，那么有A^2\alpha=\lambda^2\alpha，又A^2=E，于是可得(\lambda^2-1)\alpha=0，注意到\alpha\neq0，从而有\lambda^2=1，因此A的特征值只可能是+1或-1

例2

设A^2=A，试证：A的特征值只可能是0或1

证明：设\lambda是矩阵A的任一特征值，其对应的特征向量为\alpha，即有A\alpha=\lambda\alpha，那么有A^2\alpha=\lambda^2\alpha，又A^2=A，于是可得(\lambda^2-\lambda)\alpha=0，注意到\alpha\neq0，从而有\lambda^2=\lambda，因此A的特征值只可能是0或1

例3

求矩阵A=\begin{bmatrix}0&1&0\\-4&4&0\\-2&1&2\end{bmatrix}

解：A的特征多项式

A的特征值\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=2

当\lambda=2时，特征矩阵

对应于特征值\lambda=2的线性无关特征向量为：\alpha_1=[1,2,0]^T,\alpha_2=[0,0,1]^T，于是属于特征值\lambda=2的全部特征向量为k_1\alpha_1+k_2\alpha_2，其中k_1,k_2不全为0